ESTRUTURAS HIPERESTTICAS Prof Pedro S Introduo Mtodo dos

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Método dos Esforços Deslocamentos nas Estruturas Formulação do Método dos Deslocamentos Ações de Engastamento Perfeito Formulação do Método Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Bibliografia Análise de Estruturas Reticuladas Humberto Lima Soriano e Sílvio Lima Análise de Estruturas Reticuladas James Gere e William Weaver, Jr. Curso de Análise Estrutural, Vols. 2 e 3 José Carlos Süssekind Análise Matricial de Estruturas Domício Falcão Moreira Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Teoria das Estruturas A Teoria das Estruturas estuda a distribuição, ao longo da extensão de um corpo sólido, dos esforços e deslocamentos que surgem em suas seções planas, provocados pelas cargas que ele recebe de agentes externos. Estrutura é o conjunto das partes do corpo destinadas a receber, absorver e transmitir estas cargas. As cargas são denominadas esforços externos ativos (previamente conhecidos) e provocam os esforços externos reativos esforços internos (ambos incógnitos). Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Teoria das Estruturas Este curso aborda a solução de Estruturas Reticuladas, isto é, constituídas por um conjunto de barras retas. viga grelha pórtico espacial pórtico plano Universidade Federal do Espírito Santo treliça plana treliça espacial

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Eixo: Lugar geométrico dos centróides das seções das barras que compõem a estrutura. Nós: Pontos discretos dos eixos das barras, onde se pretende determinar os esforços e deslocamentos incógnitos. São nós, obrigatoriamente, as extremidades das barras e os pontos que representam os apoios da estrutura. Membro ou Elemento: segmento entre dois nós consecutivos. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Sistema Global (x, y, z) – SG: Sistema de eixos cartesianos ortogonais de referência da estrutura como um todo. Sistemas Locais (x. M, y. M, z. M) – SL: Sistemas de eixos cartesianos ortogonais de referência de cada membro ou elemento. z. M z x. M i k j: nó inicial y k: nó final j y. M i: membro ou elemento x Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Tipos de Nós: Nó Rígido Nó Flexível ou Rotulado Nó Rígido: Transmite forças e momentos Nó Flexível: Transmite apenas forças Universidade Federal do Espírito Santo Nó Rígido - Rotulado

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Tipos de Apoios: No plano x-y: a: a b d e f g c b: c: d: e: f: y x g: z Universidade Federal do Espírito Santo SG

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Tipos de Elementos: Elementos de pórtico espacial: y My, qy Mx, qx x Vy, dy Vx, dx z N, dz y x z Vy, dy Mx, qx N, dz x Vy, dy Mx, qx z T, qz Elementos de pórtico plano: y Elementos de viga: Elementos de grelha: y x Vy, dy Mx, qx z T, qz Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Conceitos Básicos Tipos de Elementos: Elementos de treliça espacial: y x dy z dx N, dz Elementos de treliça plana: y x z dy N, dz Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução O Problema da Teoria das Estruturas As incógnitas de um problema de Análise de Estruturas Reticuladas são as reações de apoio e os esforços internos seus elementos, além dos deslocamentos de suas seções transversais (ou pontos dos seus eixos). d 3 d 4 d 2 R 5 R 4 d 1 R 3 Reações de Apoio: R 1 a R 5 Deslocamentos: d 1 a d 4 Os esforços internos são determinados pelo Método das Seções R 2 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática As reações de apoio podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio da Estática, levando em conta todos os esforços externos ativos e reativos da estrutura, e os esforços internos, pelo Método das Seções, o qual também utiliza as equações de equilíbrio da Estática, porém levando em conta os esforços internos numa determinada seção transversal e os esforços externos em um dos lados desta seção. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática Em suma, o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos pode ser feito por meio das equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada nó da estrutura. Desta forma, as equações de equilíbrio dos esforços externos utilizadas para a determinação das reações de apoio estarão implicitamente consideradas. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática Equilíbrio do Nó 1: Exemplo: y S 1 1 R 1 S 2 L 1 z 2 V 1 1 R 1 M 1 2 M 1 q z 3 L 2 Equilíbrio do Nó 2: R 2 M 2 V 2 3 2 V 1 Incógnitas: R 1, R 2, V 1, V 2, M 1, M 2 R 2 V 2 Equilíbrio do Nó 3: M 2 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática Se a estrutura contém vínculos que oferecem um número de ações externas reativas (reações apoio) superiores ao número de Equações de Equilíbrio da Estática, relativas somente aos esforços externos, ela é dita externamente hiperestática. y Equações de Equilíbrio: q z R 1 R 2 R 3 2 equações e 3 incógnitas Incógnitas: R 1, R 2, R 3 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática Se a estrutura possui um número de elementos tal que o número de esforços internos incógnitos seja superior ao número de Equações de Equilíbrio da Estática oferecido pelo Método das Seções, ela é dita internamente hiperestática. y P 1 S 1 P 3 P 2 N 2 R 3 R 1 N 1 x R 2 M 1 V 1 S 1 M 2 Equações de Equilíbrio: P 3 V 2 R 2 Incógnitas: N 1, M 1, V 1 , N 2, M 2, V 2 Universidade Federal do Espírito Santo 3 equações e 6 incógnitas

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática O Grau de Hiperestaticidade ou de indeterminação estática de uma estrutura é a diferença entre o número de esforços incógnitos e o número de equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o número de equações complementares necessárias ao cálculo de todos os esforços na estrutura. De um modo geral, pode ser calculado pela diferença entre o número de esforços incógnitos (o número de reações de apoio somado ao número de esforços internos em todos os elementos da estrutura) e o número de equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada um dos seus nós. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hiperestática Grau de Hiperestaticidade (g): número de incógnitas = r+Sim número de equações = Sen+nr onde r é o número de reações de apoio, i é o número esforços internos na seção do elemento, m é o número de membros ou de elementos da estrutura, e é o número equações de equilíbrio da Estática aplicáveis a cada nó da estrutura, n é o número de nós da estrutura e nr é o número de equações de equilíbrio adicionais, devidas às seções rotuladas. Observação: Podem existir nós e elementos de natureza distinta na estrutura; nestes casos, os produtos im e en da fórmula podem se desdobrar em mais de uma parcela. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hipergeométrica Se a estrutura contém vínculos suficientes para evitar deslocamentos dos nós ou que, de alguma forma, se conheça todos os seus deslocamentos de nós, ela é dita isogeométrica. Caso contrário, a estrutura é hipergeométrica. estrutura isogeométrica estrutura hipergeométrica Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hipergeométrica O Grau de Hipergeometria ou de indeterminação cinemática de uma estrutura é o número de deslocamentos de nós incógnitos da estrutura, isto é, o número de equações necessárias à determinação destes deslocamentos. O grau de hipergeometria de uma estrutura é facilmente determinado e é também conhecido como o número de graus de liberdade da estrutura, para deslocamentos de nós. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hipergeométrica Grau de Hipergeometria (d): onde d. L é o número de direções livres de cada nó e n é o número de nós da estrutura. Um nó de uma estrutura plana pode ter até três graus de liberdade. Nó de pórtico plano: d. L = 3, dois deslocamentos lineares e um angular; Nó de grelha: d. L = 3, dois angulares e um linear; Nó de viga: d. L = 2, um linear e um angular. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hipergeométrica Grau de Hipergeometria (d): Um nó de uma estrutura espacial pode ter até seis graus de liberdade. d. L = 6, três deslocamentos lineares e três angulares. Nó de pórtico espacial: d. L = 6, três deslocamentos lineares e três angulares. Como os elementos de treliça não transmitem momento, seus nós não estão sujeitos a deslocamentos angulares. Nó de treliça plana: d. L = 2, dois deslocamentos lineares; Nó de treliça espacial: d. L = 3, três deslocamentos lineares. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Definição de Estrutura Hipergeométrica Grau de Hipergeometria (d): Apoios no plano x-y: a, b: d. L = 2, c, d, e: d. L = 1, f, g: d. L = 0 a b d e f g c y x z Universidade Federal do Espírito Santo SG

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo Existem dois métodos de obtenção dos esforços e dos deslocamentos: MÉTODO DOS ESFORÇOS ou MÉTODO DIRETO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ou MÉTODO INDIRETO O objeto da Teoria das Estruturas é a determinação de todos os esforços (externos e internos) que atuam numa determinada estrutura e dos deslocamentos de suas seções, isto é, da sua deformada. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo O Método dos Esforços ou Método Direto, também conhecido por Método da Flexibilidade, determina inicialmente os esforços e, posteriormente, os deslocamentos. O Método dos Deslocamentos ou Método Indireto, também conhecido por Método da Rigidez, determina inicialmente os deslocamentos e, posteriormente, os esforços. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos. No Método dos Esforços, o SP é uma estrutura isostática que, portanto, pode ser resolvida a partir das Equações de Equilíbrio da Estática. As equações utilizadas neste método são Equações de Compatibilidade de Deslocamentos de Nós entre as duas estruturas. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo As equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos. No Método dos Deslocamentos, o SP é uma estrutura isogeométrica que pode ser resolvida pelo Método Direto. As equações utilizadas são Equações de Equilíbrio de Esforços nos Nós correspondentes nas duas estruturas. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo estrutura hiperestática v SP – Método Direto M 1 SP – Método Indireto Universidade Federal do Espírito Santo M 21 M 22 M 3

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo Equação Utilizada pelo Método Direto: v=0 v As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de esforços incógnitos que, por sua vez são aplicados ao SP. As equações utilizadas pelo Método Direto refletem a compatibilização entre os deslocamentos dois sistemas. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Métodos de Cálculo Equações Utilizadas pelo Método Indireto: As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de deslocamentos incógnitos que, por sua vez são impostos ao SP. As equações utilizadas pelo Método Indireto refletem as condições de equilíbrio dos esforços que atuam nos nós do SP, comparados aos que atuam na estrutura original. M 1 = 0 M 21 + M 22 = 0 M 3 = 0 M 1 Universidade Federal do Espírito Santo M 21 M 22 M 3

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Introdução Fim do Capítulo Universidade Federal do Espírito Santo