Estrazione Casuale palline Urna con 3 palline rosse

Estrazione Casuale palline

Urna con 3 palline rosse R 1, R 2, R 3 e 2 azzurre A 1, A 2 si estrae una pallina , la si rimette nell’urna, si estrae una seconda pallina Spazio campioni S = [R 1, R 2, R 3, A 1, A 2] Eventi = 25 1^ estratta, reinserita 2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione Cfr. prossima

P(nessuna azzurra)=9/25 [R 1, R 2, R 3, A 1, A 2] P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25 P(con due palline azzurre)=4/25 Eventi = 25 R 1 R 2 R 3 A 1 A 2

S= [R, V, A] Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre Probabilità uscita prima pallina P 1, seconda pallina P 2 P 1 r(2/6 = 1/3 P 1 v(2/6 = 1/3) Prima pallina estratta P 1 a(2/6 = 1/3) Seconda pallina estratta P 2 r(1/5) P 2 a(2/5) P 2 v(2/5) P 2 r(2(5) P 2 a(2/5) P 2 v(1/5) P 2 r(2/5) P 2 a(1/5) P 2 v(2/5)

r 1 Urna con 3 palline rosse e due azzurre r 2 r 3 a 1 a 2 Si estrae una prima pallina, non si reinserisce; si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti Numero campioni 5*4 = 20 Prima pallina Seconda pallina P(nessuna azzurra)=6 P(una azzurra) = 12 P(con 2 azzurre) = 2 Determinare alcune probabilità

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1 -2 azzurre, 3 -4 rosse 3 2 vengono estratte insieme due palline numero oggetti ? n Probabilità che escano due rosse ? Pr probabilità che escano due con lo stesso colore ? Ps probabilità che escano due con colore diverso ? Pd 1 n=6 2 1 1 Pr = 1/6 3 4 1 4 3 2 3 3 2 4 Ps =2/6 = 1/3 1 3 Pd = 4/6 = 2/3 1 1 3 4 2 2 3 4 4 4

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4: 1 -2 azzurre, 3 -4 rosse 3 4 2 1 vengono estratte insieme due palline numero oggetti ? n Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpd probabilità che escano due con lo stesso colore , pari? Psp probabilità che escano due con colore diverso , pari o dispari? Pdppdd n=6 1 2 1 3 Pdpd = 2/6 = 1/3 1 2 4 3 4 Psp = 0 /6 = 0 3 2 3 1 2 4 Pdppdd = 2/6 = 1/3 2 4 1 3 4

Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = n. Rosse / n. Totale 5 / 10 = ½ = 0. 5 PA= n. Azzurre/n. Totale 5 / 10 = ½ = 0. 5 Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y) Eventi favorevoli a X (rossa= = 5 eventi favorevoli a Y (azzurra=5) eventi totali = 10

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = n. Rosse / n. Totale 2 / 10 = 1/5 = 0. 2 PA= n. Azzurre/n. Totale 8 / 10 = 4/5 = 0. 8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = n. Rosse / n. Totale 2 / 10 = 1/5 = 0. 2 PA= n. Azzurre/n. Totale 8 / 10 = 4/5 = 0. 8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0. 43 PA = 4/7 = 0. 57 PR= 5/7 = 0. 71 PA= 2/7 = 0. 29 Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C 2

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0. 43 PA = 4/7 = 0. 57 PR= 5/11 = 0. 45 PA= 6/11 = 0. 55 Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C 2

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete: sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una moneta è decrescente la probabilità di estrarre una determinata moneta P 100 > P 50 > P 20 manca la possibilità che venga estratta una moneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilità P 100 = 7/10 = 0. 7 P 50 = 2/10 = 0. 2 P 20 = Px = 0/10 = 0

Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre: la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = x. Rosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = x. Azzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875

Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore p. R = 14 / 56 = 0. 25 p. V = 14 / 56 = 0. 25 p. A = 14 / 56 = 0. 25 p. M = 14 / 56 = 0. 25 p. R = p. V = p. A = p. M = 0. 25 S= 56 14 R 14 V 14 M 14 A S=4 1 R 1 V 1 A 1 M Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta , rapida: da quale urna sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?

Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60 Estrazione una pallina : calcola probabilità uscita rossa, verde, blu E 1 = rossa (5) p(E 1) = 5 / 60 = 1 /12 E 2 = verde ( 25) p(E 2) = 25 / 60 = 5 / 12 E 3 = blu (30) p(E 3) = 30 / 60 = 1 / 2

Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30 Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu E 1 = uscita rossa p(E 1)= 15 / 30 = 1/2 E 2 = uscita verde p(E 2)= 7 / 30 = 7/30 E 3 = uscita blu p(E 3)= 8 / 30 = 4/15

Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T, C) Esiti possibili con tre lanci (8) TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste E 1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3 E 1 = Dn, k =n^k = 2^3 =8 P(E 1)= 3 / 8 Disposizioni con ripetizione TTC, TCT, CTT

Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30 Estrazione di una pallina calcolare probabilità uscita verde o blu, rossa o blu E 1 = esce verde o blu (15, 8) p(verde) = 15/30 P(blu) = 8 /30 p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30 E 2 = esce rossa o blu (7, 8) P(rossa) = 7 / 30 P(blu) = 8 / 30 p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2

p. 282 rosa Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse Estrazione contemporanea di 2 palline p 1 : 2 nere p 2 : nessuna bianca p 3 : 2 colore diverso S=x+5 N = Cs, 2 = (x+5)(x+5 -1)/2 = (x+5)(x+4)/2 estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2 p 1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4) C 5, 2 = 5*4/2 = 10 p 2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4)

Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse , 5 Verdi : S = 30 Estrazione contemporanea di due palline Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu E 1 = due palline blu E 2 = due palline verdi E 3 = palline rossa e blu Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline : gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso dagli altri per almeno 1 pallina combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn, k = C 30, 2 = 30*29/2 = 435 E 1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C 16, 2 = 16*15/2 = 120 E 2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C 5, 2 = 5*4/2 = 10 E 3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB p(E 1) = 120 / 435 = 8/29 p(E 2) = 10 / 435 = 2 / 87 p(E 3) = 144 / 435 = 48 / 145 Vedi diapositive seguenti per descrizione mediante immagini

Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse , 5 Verdi : S = 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 2 1 1 2 2 Con stesso numero: escludere 1 2 2 1 Solo ordine diverso: duplicati prendere solo una coppia Immaginare di numerare le palline da 1 a 16 Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioni escludere associazioni che usano gli stessi numeri , cambiando solo ordine escludere coppie con numeri uguali associati (16) coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120

Coppie totali 16*16 = 256 – 136 = 120 valide 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 1… 16(15) Escludere coppie tra stesso numero= 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 2…. 16(14) Escludere coppie con stessi numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 3… 16(13) duplicate 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 4… 16(12) Contare coppie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 5… 16(11) valide 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 6… 16(10) 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 7… 16(9) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 8… 16(8) 11 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 9… 16(7) 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 10… 16(6) 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >>11… 16(5) 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 12… 16(4) 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 13… 16(3) 4 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 14… 16(2) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 15… 16(1) 1 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 16. . 16(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 136

1 -1 1 -2 1 -3 1 -4 1 -5 1 -6 1 -7 1 -8 1 -9 1 -10 1 -11 1 -12 1 -13 1 -14 1 -15 1 -16 11 -10 11 -11 11 -12 11 -13 11 -14 11 -15 11 -16 2 -1 2 -2 2 -3 2 -4 2 -5 2 -6 2 -7 2 -8 2 -9 2 -10 2 -11 2 -12 2 -13 2 -14 2 -15 2 -16 12 -11 12 -12 12 -13 12 -14 12 -15 12 -16 3 -1 3 -2 3 -3 3 -4 3 -5 3 -6 3 -7 3 -8 3 -9 3 -10 3 -11 3 -12 3 -13 3 -14 3 -15 3 -16 13 -12 13 -13 13 -14 13 -15 13 -16 4 -1 4 -2 4 -3 4 -4 4 -5 4 -6 4 -7 4 -8 4 -9 4 -10 4 -11 4 -12 4 -13 4 -14 4 -15 4 -16 5 -1 5 -2 5 -3 5 -4 5 -5 5 -6 5 -7 5 -8 5 -9 5 -10 5 -11 5 -12 5 -13 5 -14 5 -15 5 -16 6 -1 6 -2 6 -3 6 -4 6 -5 6 -6 6 -7 6 -8 6 -9 6 -10 6 -11 6 -12 6 -13 6 -14 6 -15 6 -16 7 -1 7 -2 7 -3 7 -4 7 -5 7 -6 7 -7 7 -8 7 -9 7 -10 7 -11 7 -12 7 -13 7 -14 7 -15 7 -16 8 -1 8 -2 8 -3 8 -4 8 -5 8 -6 8 -7 8 -8 8 -9 8 -10 8 -11 8 -12 8 -13 8 -14 8 -15 8 -16 9 -8 9 -9 9 -10 9 -11 9 -12 9 -13 9 -14 9 -15 9 -16 10 -9 10 -10 10 -11 10 -12 10 -13 10 -14 10 -15 10 -16 136 -16 = 120 valide 14 -13 15 -14 16 -15 14 -14 15 -15 16 -16 14 -15 15 -16 14 -16 16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =136 Coppie non duplicate 136 – 16 identiche = 120

1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 >> 1 …. 5 (4) 1 2 3 4 5 >> 2 … 5 (3) 1 2 3 4 5 >> 3…. . 5 (2) 1 -1 1 -2 1 -3 1 -4 1 -5 2 -1 2 -2 2 -3 2 -4 2 -5 3 -1 3 -2 3 -3 3 -4 3 -5 4 -1 4 -2 4 -3 4 -4 4 -5 5 -1 5 -2 5 -3 5 -4 5 -5 1 2 3 4 5 >> 1 … 5 (1) 1 2 3 4 5 >> 1… 5 ( 0) Doppiette valide = 10 Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9 Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 2 5 3 5 4 5 16 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 (16 B) * (9 R) = 144 BR 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

488/52 Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a 8 8 Estrazione contemporanea di due cubetti 4 E 1 = somma 2 numeri risulta pari 7 3 E 2 = somma 2 numeri risulta dispari Calcolare p(E 1), p(E 2) E 2 = 16 p(E 2) = 16 /28 = 4 / 7 2 -3 2 -4 2 -5 2 -6 2 -7 2 -8 3 -4 3 -5 3 -6 3 -7 3 -8 4 -5 4 -6 4 -7 4 -8 6 2 5 Eventi possibili Cn, k = C 8, 2 = 8*7/2 = 28 E 1 = 12 p(E 1) = 12 / 28 = 3 / 7 1 -2 1 -3 1 -4 1 -5 1 -6 1 -7 1 -8 1 5 -6 5 -7 5 -8 6 -7 6 -8 7 -8

488/53 Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu Estrazione contemporanea di 2 palline E 1 = uscita 2 rosse E 2 = uscita 2 blu E 3 = uscita rossa, blu S = 10 Calcolare probabilità p(E 1), p(E 2) , p(E 3) Eventi possibili, Cn, k = C 10, 2 = 10*9 / 2 = 45 E 1 = Cn, k = C 6, 2 = 6*5/1 15 E 2 = Cn, k = C 4, 2 = 4*3/2 = 6 E 3 = 6*4 = 24 p(E 1)= 15/45 = 3/15 p(E 2) = 6 / 45 = 2/15 p(E 3) = 24/45 = 8 /15 R 1 -B 1 R 1 -B 2 R 1 -B 3 R 1 -B 4 R 2 -B 1 R 2 -B 2 R 2 -B 3 R 2 -B 4 R 4 -B 1 R 4 -B 2 R 4 -B 3 R 4 -B 4 R 5 -B 1 R 5 -B 2 R 5 -B 3 R 5 -B 4 R 3 -B 1 R 3 -B 2 R 3 -B 3 R 3 -B 4 R 6 -B 1 R 6 -B 2 R 6 -B 3 R 6 -B 4 Cfr. diapositiva seguente

10*10 = 100 …C 10, 2 = 10*9/2 = 45 rosa 53

36 coppie 6*6 C 6, 2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse 6 da ignorare (stessi numeri) 15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento r 1 r 2 r 3 r 1 r 1 r 1 r 2 r 1 r 3 r 2 r 1 r 2 r 2 r 2 r 3 r 3 r 1 r 3 r 2 r 3 r 3 r 4 r 1 r 4 r 2 r 4 r 3 r 5 r 1 r 5 r 2 r 5 r 3 r 6 r 1 r 6 r 2 r 6 r 3 r 4 r 5 r 6 r 1 r 4 r 2 r 4 r 3 r 4 r 4 r 4 r 5 r 4 r 6 r 4 r 1 r 5 r 2 r 5 r 3 r 5 r 4 r 5 r 5 r 5 r 6 r 5 r 1 r 6 r 2 r 6 r 3 r 6 r 4 r 6 r 5 r 6 r 6 r 6

6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 B 1 B 2 B 3 B 4 R 1 B 1 R 2 B 1 R 3 B 1 R 4 B 1 R 5 B 1 R 6 B 1 R 1 B 2 R 2 B 2 R 3 B 2 R 4 B 2 R 5 B 2 R 6 B 2 R 1 B 3 R 2 B 3 R 3 B 3 R 4 B 3 R 5 B 3 R 6 B 3 R 1 B 4 R 2 B 4 R 3 B 4 R 4 B 4 R 5 B 4 R 6 B 4

C 4, 2 =4*3/2 = 6 B 1 B 2 B 3 B 4 B 1 B 1 B 2 B 1 B 3 B 1 B 4 B 1 B 2 B 1 B 2 B 2 B 2 B 3 B 2 B 4 B 2 B 3 B 1 B 3 B 2 B 3 B 3 B 3 B 4 B 1 B 4 B 2 B 4 B 3 B 4 B 4 B 4 4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri) 6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento

Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilità di ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dell’altro Si estrae prima pallina, si rimette nell’urna, si estrae seconda pallina R 1 = prima pallina estratta: rossa V 2 = seconda pallina estratta : verde p. E = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde p. R 1 = 3 / 5 p. V 2 = 2 /5 E = R 1 ∩ V 2 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi p. E = p( R 1 ∩ V 2) = p. R 1*p. V 2 3/5 * 2/5 = 6 /25 P ( A ∩ B ) = p. A * p. B Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità Eventi interdipendenti

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità Eventi interdipendenti

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto Eventi indipendenti

Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilità di uno dipende dal verificarsi o meno dell’altro Si estrae prima pallina, non rimette nell’urna, si estrae seconda pallina R 1 = prima pallina estratta: rossa V 2 = seconda pallina estratta : verde p. E = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde p. R 1 = 3 / 5 p. V 2 = 2 /4 = 1/2 p. V 2 = 2 /5 E = R 1 ∩ V 2 S = 5 palline : 3 rosse e 2 verdi La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½ per effetto del verificarsi dell’uscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)

Probabilità condizionata E : uscita come seconda pallina V p. D = 2/9 = 0. 22 1 uscita 2 uscita 1 uscita p. D = 1/9 = 0. 11 U con S = 10 : 8 R 2 V C = esce rossa p. C = 4/10 = 0. 8 S=9 : R=7 V=2 Situazione iniziale D = esce verde p. D = 2/10 = 0. 2 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0. 22 > 0. 20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0. 11 < 0. 20 Probabilità evento D , uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina: cambia sempre la sua probabilità

Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E 1 , E 2 indipendenti : S = costante Eventi indipendenti E 1 = prima pallina rossa: p. E 1 =15/25=3/5 E 2 = seconda pallina verde: p. E 2 =10/25=2/5 E = (R ∩ V) : prima rossa, seconda verde : 6/25 S = 5 : R 3, V 2 (3/5)*(2/5)= 6/25 Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = p. R * PV

Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R 1 , V 2 dipendenti : S variabile R 1 = prima pallina rossa: p. R 1 =12/20=3/5 V 2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 p(V 2 | R 1) = 10/20 = 1/2 E = (R ∩ V) : prima R, seconda V : 6/20=3/10 S = 4 : R 2, V 2 (3/5)*(1/2)=3/10 p(R 1 ∩ V 2) = p. R 1 * p(V 2|R 1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta: segue Urna con 10 oggetti , tre deteriorati : S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali p. A = 7/10 i : se vero condiziona risultato : p. B = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B ∩ A)=p. A*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto

5 Eventi indipendenti 6 Urna 1 con 20 palline , 5 rosse urna 2 con 30 palline , 6 rosse Si estrae una pallina da U 1 e poi una da U 2 E 1 = esce R da U 1 con p. E 1 = 5/20 E 2 = esce R da U 2 con p. E 2 = 6/30 U 1 20 U 2 30 30 rosse su 600 palline E = escono due palline R , da U 1 e da U 2 con p. E = 5*6 / 600 = 1/20 L’uscita di R da U 2 non dipende dall’uscita di R da U 1 E = E 1 ∩ E 2 con p(E) = p(E 1 ∩ E 2) = (5/20)*(6/30) =1/20= p. E 1*p. E 2 La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E 1 e E 2 : quindi i due eventi E 1 e E 2 sono indipendenti Cfr. seguente per immagini

1 2 3 1 4 2 3 4 5 5 6 Ogni pallina rossa di U 1 (1, 2, 3, 4, 5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U 2 (1, 2, 3, 4, 5, 6) L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U 1 (20) con ogni pallina di U 2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

Eventi indipendenti, non correlati Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E 1 = esce pallina rossa con p(E 1) = 5/8 E 2 = esce pallina rossa con p(E 2)= 5/8 E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E 1 e E 2 indipendenti P(E) = p(E 1 ∩ E 2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 E 2 E 1 U 5/8 U 4/7 U 5/8

Eventi indipendenti, non correlati Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte E : E 1 rossa, E 2 rossa, E 3 verde E 1 = 20/30 con p(E 1) = 2/3 E 2 = 20/30 con p(E 2) = 2/3 E 3 = 10/30 con p(E 3) = 1/3 E 1, E 2, E 3 indipendenti perché rimane costante S P(E) = p(E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ) = (2/3)*(1/3) = 4/27 U con S = 30

Eventi indipendenti, non correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Unica estrazione E 1 = con una estrazione, esce pallina rossa con p(E 1) = 5/20 = 1/4 E 1 evento indipendente Due estrazioni successive con reinserimento E 1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita E 2 = la seconda pallina è rossa p(E 2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente) E 1 e E 2 eventi non correlati, indipendenti

Eventi dipendenti, correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento 5/20 4/ 19 E 1 = prima pallina rossa 5/20 E 2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E 2) = 4/19 < 1/4 P(E 2) ridotta per il verificarsi di E 1 precedente : E 2 e E 1 correlati : p(E 2 /E 1) E 2 correlato negativamente a E 1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E 1 = prima pallina verde E 2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E 2) = 5/19 > 1/4 P(E 2) aumentata per il verificarsi di E 1 precedente E 2 e E 1 correlati p(E 2/E 1) E 2 correlato positivamente a E 1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4 5/19

Probabilità condizionata E : uscita come seconda pallina V p. D = 2/9 = 0. 22 1 uscita 2 uscita 1 uscita p. D = 1/9 = 0. 11 U con S = 10 : 8 R 2 V C = esce rossa p. C = 4/10 = 0. 8 S=9 : R=7 V=2 Situazione iniziale D = esce verde p. D = 2/10 = 0. 2 Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0. 22 > 0. 20 Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0. 11 < 0. 20 Probabilità evento D , uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina: cambia sempre la sua probabilità

Probabilità condizionata: segue Se C evento condizionante e D evento condizionato da C avremo notazione : p. D = p(D|C) probabilità che si verifichi evento D condizionato da C C e D risultano interdipendenti, correlati se p. D viene ridotta: correlazione negativa se p. D viene aumentata : correlazione positiva Probabilità composta : la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità dell’altro condizionata al primo P (A ∩ B) = p. A * p(B | A) P (B ∩ A) = p. B * p(A | B)

Si estrae prima pallina e poi si reimmette eventi E 1 , E 2 indipendenti : S = costante Eventi indipendenti E 1 = prima pallina rossa: p. E 1 =15/25=3/5 E 2 = seconda pallina verde: p. E 2 =10/25=2/5 E = (R ∩ V) : prima rossa, seconda verde : 6/25 S = 5 : R 3, V 2 (3/5)*(2/5)= 6/25 Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = p. R * PV

Si estrae prima pallina e non si reimmette eventi R 1 , V 2 dipendenti : S variabile R 1 = prima pallina rossa: p. R 1 =12/20=3/5 V 2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2 p(V 2 | R 1) = 10/20 = 1/2 E = (R ∩ V) : prima R, seconda V : 6/20=3/10 S = 4 : R 2, V 2 (3/5)*(1/2)=3/10 p(R 1 ∩ V 2) = p. R 1 * p(V 2|R 1) La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è uguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta: segue Urna con 10 oggetti , tre deteriorati : S = 10 E estrazione casuale di 2 oggetti trovare probabilità che siano entrambi normali p. A = 7/10 i : se vero condiziona risultato : p. B = (B|A) = 6/9 = 2/3 p(B ∩ A)=p. A*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urna osservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggetto rosso o verde per ogni diversa estrazione Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggiore probabilità

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urna osservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto

5 Eventi indipendenti 6 Urna 1 con 20 palline , 5 rosse urna 2 con 30 palline , 6 rosse Si estrae una pallina da U 1 e poi una da U 2 E 1 = esce R da U 1 con p. E 1 = 5/20 E 2 = esce R da U 2 con p. E 2 = 6/30 U 1 20 U 2 30 30 rosse su 600 palline E = escono due palline R , da U 1 e da U 2 con p. E = 5*6 / 600 = 1/20 L’uscita di R da U 2 non dipende dall’uscita di R da U 1 E = E 1 ∩ E 2 con p(E) = p(E 1 ∩ E 2) = (5/20)*(6/30) =1/20= p. E 1*p. E 2 La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E 1 e E 2 : quindi i due eventi E 1 e E 2 sono indipendenti Cfr. seguente per immagini

1 2 3 1 4 2 3 4 5 5 6 Ogni pallina rossa di U 1 (1, 2, 3, 4, 5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U 2 (1, 2, 3, 4, 5, 6) L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30 i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U 1 (20) con ogni pallina di U 2 (30) = 20*30= 600 La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

Eventi indipendenti, non correlati Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi E 1 = esce pallina rossa con p(E 1) = 5/8 E 2 = esce pallina rossa con p(E 2)= 5/8 E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta E 1 e E 2 indipendenti P(E) = p(E 1 ∩ E 2) = (5/8)*(5/8) = 25/64 E 2 E 1 U 5/8 U 4/7 U 5/8

Eventi indipendenti, non correlati Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte E : E 1 rossa, E 2 rossa, E 3 verde E 1 = 20/30 con p(E 1) = 2/3 E 2 = 20/30 con p(E 2) = 2/3 E 3 = 10/30 con p(E 3) = 1/3 E 1, E 2, E 3 indipendenti perché rimane costante S P(E) = p(E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ) = (2/3)*(1/3) = 4/27 U con S = 30

Eventi indipendenti, non correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Unica estrazione E 1 = con una estrazione, esce pallina rossa con p(E 1) = 5/20 = 1/4 E 1 evento indipendente Due estrazioni successive con reinserimento E 1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita E 2 = la seconda pallina è rossa p(E 2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente) E 1 e E 2 eventi non correlati, indipendenti

Eventi dipendenti, correlati U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi Due estrazioni successive senza reinserimento 5/20 4/ 19 E 1 = prima pallina rossa 5/20 E 2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E 2) = 4/19 < 1/4 P(E 2) ridotta per il verificarsi di E 1 precedente : E 2 e E 1 correlati : p(E 2 /E 1) E 2 correlato negativamente a E 1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4 E 1 = prima pallina verde E 2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E 2) = 5/19 > 1/4 P(E 2) aumentata per il verificarsi di E 1 precedente E 2 e E 1 correlati p(E 2/E 1) E 2 correlato positivamente a E 1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4 5/19

Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm =(TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC): 8 campioni evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT, TTC, CTT) evento B : uscita croce (3 lancio) B =(TTC, TCC, CTC, CCC) Evento C : uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio C = A U B (unione eventi): (TTT, TTC, CTT, TCC, CTC)

Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ? Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre: la frequenza calcolata fornisce Fr = 85 /120 = 17/24 Fa = 35/120 = 7/24 Legge empirica del caso 17 rosse / 24 sferette = x. Rosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125 7 azzurre / 24 sferette = x. Azzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875 O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875