ESTATSTICA BSICA Engenharia Mecnica 15032011 1 Probabilidade Condicional

ESTATÍSTICA BÁSICA Engenharia Mecânica 15/03/2011 1

Probabilidade Condicional Probabilidade condicional e teorema do produto: Probabilidade condicional – sejam dois eventos A e B com P(B)>0. A condicional probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B ocorreu é calculada pela seguinte expressão: É a probabilidade de A dado que B ocorreu ou é a probabilidade de ocorrer A quando se sabe que o resultado pertence a B. 2

Teorema do produto – temos que: Teorema do produto , observe também que Logo o Teorema do produto é: Para eventos independentes temos: 3

Exemplos 5 - Os dados, a seguir, representam o sumário de um dia de observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticínio. Tipo do leite Condição de peso B (B) C (C) UHT (U) Total dentro das especif. 500 4500 1500 6500 fora das especif. 30 270 50 350 Total 530 4770 1550 6850 Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850 unidades. Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U são eventos que representam o tipo de leite. Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT? 4

Exemplos 6 - Em uma caixa com 11 peças, quatro delas são defeituosas. São selecionadas 2 peças ao acaso, sem reposição. a. Obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas; b. Obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas. Eventos independentes: São jogados uma moeda e um dado. Obtenha a independentes: probabilidade de sair cara e depois um 6. 5

Probabilidade total e teorema de Bayes Probabilidade Total - é a soma das probabilidades conjuntas sobre todos os valores possíveis. Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade condicional 6

exemplos 1 - Um piloto de fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida? 2 - Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%, 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule a probabilidade dela ser defeituosa. 7

Probabilidade total e teorema de Bayes Teorema de Bayes – está intimamente relacionado ao teorema da probabilidade total. Supõem-se as mesmas condições (eventos Ai mutuamente exclusivos e exautivos e um evento B qualquer). Basicamente, o teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um dos eventos Ai ocorra, sabendo-se que o evento B ocorreu. 8

Exemplos 2 - Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%, 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule a probabilidade de ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. 14 - Uma rede local de computadores é composta por um servidor e três clientes (A, B e C). Registros anteriores indicam que os pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 20% vêm do cliente A, 35% do B, e 45% do C. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 2% do cliente A, 1% do cliente B e 8% do cliente C. a. Defina os eventos e identifique cada uma das probabilidades dadas no enunciado; b. Determine a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente C, sabendo-se que apresentou erro; c. Qual a probabilidade de o sistema apresentar erro? 9

Distribuições Discretas de Probabilidade Distribuição de Probabilidade – enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer às seguintes condições: §Representam frequências relativas, portanto representadas através do histograma de frequência. podem ser 10

Exercícios 1 - Determine se cada uma das distribuições é de probabilidade: x x P(x) 5 0, 28 6 0, 21 x 7 0, 43 8 0, 15 1 P(x) 2 1/2 1 0, 09 3 1/4 2 0, 36 4 5/4 3 0, 49 x P(x) 1 0, 16 2 0, 22 3 0, 28 4 0, 2 5 0, 14 -1 4 0, 06 11

Média, variância, desvio padrão e valor esperado É possível medir a tendência central de uma distribuição de probabilidade por meio de sua média e determinar a variabilidade por meio de sua variância e de seu desvio padrão. x P(x) 1 0, 16 2 0, 22 3 0, 28 Exemplo: Obter a média, a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade ao lado. 4 0, 2 X= dias de chuva; 5 0, 14 P(x)= probabilidade de chover. 12

Distribuição Binomial Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de basquete tenta um lançamento livre, por exemplo, das duas, uma: ou ele faz a cesta ou não. Experimentos probabilísticos como esse são chamados de binomiais n= número de vezes que uma tentativa é repetida; p=P(S)= probabilidade de sucesso em uma única tentativa; q=P(F)= probabilidade de fracasso em uma única tentativa; x= a variável aleatória representa a contagem do número de sucessos em n tentativas. X= 1, 2, 3, . . . , n. (conta o número de tentativas com sucesso). 13

Exemplo 1 - Qual a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? 2 - Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0, 3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? 3 - Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? 14

Média, variância e desvio padrão 1 - No Sul do Brasil, 38% dos dias são ensolarados. Obtenha a média, a variância e o desvio padrão para o número de dias ensolarados durante o mês de junho (30 dias). 2 - Minha filha convidou para seu aniversário 20 amigas da escola. Sabe-se que cada amiga virá com probabilidade 60% e independente das demais. Preparamos lembrancinhas em quantidade igual a 25% a mais do que o valor esperado do número de amigas que comparecerão. Qual a probabilidade de faltarem lembrancinhas? 15

Distribuição Normal de Probabilidade É considerada a distribuição contínua de probabilidade mais importante em estatística. Seu gráfico é chamado de curva normal e é simétrico em torno da média. Exemplo: calcular 16

Distribuição Normal de Probabilidade 2) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é de 1, 3 cm e desvio padrão 0, 002 cm. A finalidade para qual estas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de 1, 298 a 1, 302 cm; se isto não se verificar as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas defeituosas que serão produzidas pela máquina, admitindo -se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 3) Dois estudantes, em concurso alcançaram os seguintes valores de Z: 0, 8 e -0, 4 respectivamente. Se suas notas foram 88 e 64, respectivamente, determine a média e o desvio padrão das notas deste concurso. 17

PRÓXIMA AULA – REVISÃO E entrega dos trabalhos. 18