ESTATSTICA AULA 11 Modelos probabilsticos mais comuns Unidade

ESTATÍSTICA AULA 11 Modelos probabilísticos mais comuns – Unidade 7 Para variáveis aleatórias contínuas Professor Marcelo Menezes Reis 1

Aulas prévias n n n Conceitos básicos de probabilidade: Variável aleatória: n Conceito, variáveis discretas e contínuas, valor esperado e variância. Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas: n Binomial, Poisson. 2

Conteúdo desta aula n n Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas: n uniforme, n normal, n t. Como usá-los no cálculo de probabilidades. 3

Modelos para variáveis contínuas n n n Variáveis aleatórias contradomínio infinito. Modelo uniforme. Modelo normal. Modelo t Modelo qui-quadrado. contínuas: 4

Modelo uniforme n Faixas de valores de mesma amplitude têm a mesma probabilidade de ocorrer. 1/(b-a) a c d b 5

Modelo uniforme Usado na geração de números pseudo-aleatórios. 6

Modelo normal n n n Se os dados apresentam distribuição simétrica. Se à medida que os valores da variável afastam-se da parte central da distribuição, suas probabilidades de ocorrência diminuem. Possibilidade de uso do modelo normal. 7

Modelo normal n n Muito adequado para descrever várias variáveis aleatórias: n Medidas corpóreas (alturas, comprimentos, etc. ). n Dimensões de peças fabricadas (diâmetros, comprimentos, espessuras). Importante para inferência estatística. 8

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Modelo normal n Para calcular probabilidades de intervalos de valores de uma variável aleatória que siga o modelo normal: n Apenas métodos numéricos de integração. n Os sábios dos séculos XVIII e XIX fizeram isso, sem computador. . . 11

Distribuição normal padrão (z) n Normal com média = 0 e variância = 1. n Probabilidades calculadas para este modelo e registradas em tabela (Tabela 1 do ambiente virtual). n Uma normal qualquer pode ser transformada em normal padrão. 12

Distribuição normal padrão (z) n n = média de uma normal qualquer. σ = desvio padrão de uma normal qualquer. x = valor de interesse. Z = número de desvios padrões a partir da média (se x < , z será negativo). 13

Tabela da normal padrão n Valor de z com duas casas decimais: n P(Z > z) => cauda superior. 14

Exemplo 1 n n n Veja o 10º exemplo da Unidade 7. Considere que uma variável aleatória X segue um modelo normal com média igual a 50 e desvio padrão = 10. Calcule a probabilidade de X assumir valores entre 48 e 56. 15

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Exemplo 1 n n Precisamos encontrar os valores de z correspondentes a 48 e 56. Z 1 = (48 - 50)/ 10 = - 0, 20 Z 2 = (56 - 50)/ 10 = 0, 60 Então: P (48 <X < 56) = P (-0, 20<Z<0, 60) 17

Exemplo 1 n n Repare que a área entre 48 e 56 é igual à área de 48 até + MENOS a área de 56 até +. P(48<X<56) = P(X>48) - P(X>56) = P(-0, 20<Z<0, 60)=P(Z>- 0, 20) - P(Z > 0, 60) 18

Exemplo 1 n n n P(Z > 0, 60) = 0, 2743 P(Z > -0, 20) = 1 - P(Z > 0, 20) = 1 - 0, 4207 = 0, 5793 P(48 < X < 56)= P(-0, 20< Z <0, 60) = P(Z>-0, 20) - P(Z>0, 60) = 0, 5793 - 0, 2743 = 0, 3050 (30, 5%). 19

Exemplo 2 n n Veja o 11º exemplo da Unidade 7. Supondo a mesma variável aleatória X com média 50 e desvio padrão 10. Encontre os valores de X, situados à mesma distância abaixo e acima da média, que contém 95% dos valores da variável. 20

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P(Z > z 2) = 0, 025 P(Z > 1, 96) = 0, 025 z 1 = -1, 96 z 2 = 1, 96 22

Exemplo 2 n Agora é possível obter os valores de x 1 e x 2. n x 1 = m + (z 1× s) = 50 + [(-1, 96) × 10] = 30, 4 n x 2 = m + (z 2× s) = 50 + (1, 96 × 10) = 69, 6 23

Modelo t de Student n n Derivação do modelo normal, desenvolvido por William Gosset (Student). Mais apropriado para o processo de estimação de parâmetros usando pequenas amostras (Unidade 9). 24

Modelo t de Student n n n O modelo tem média igual a zero (como a normal padrão). Mas sua variância é: n/(n-2). n Onde n é o tamanho da amostra que foi retirada para o processo de Estimação. O modelo t tem n – 1 graus de liberdade. 25

Para cada valor de n temos uma curva t. 26

Exemplo 3 n n Veja o 13º exemplo da Unidade 7. Imagine a situação do Exemplo 3, obter os valores de t simétricos em relação à média que contêm 95% dos dados, supondo uma amostra de 10 elementos. 27

Exemplo 3 n n n Encontrar os valores de t 1 e t 2, simétricos em relação à média, que contém 95% dos dados. t 1 = - t 2 P(t > t 2) = 0, 025 n = 10, então t terá 9 graus de liberdade. 28

t 2 = 2, 262 t 1 = - t 2 = -2, 262 29

Tô afim de saber. . n Sobre modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas: n BARBETTA, P. A. , REIS, M. M. , BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2008, capítulo 6. n STEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 2001, capítulo 5. 30

Próxima aula n Inferência estatística n Conceito, tipos, parâmetros e estatísticas. n Distribuições amostrais das principais estatísticas: média e proporção. 31