ESTADSTICA UNIDIMENSIONAL TEMA 11 Angel Prieto Benito Matemticas
ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL TEMA 11 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN TEMA 11. 6 @ Angel Prieto Benito * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I 2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN • Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media. • RECORRIDO variable. • DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden ser valores negativos o positivos. La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero. • Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la • DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores absolutos de todas las desviaciones de una serie. • • ∑ | xi - x |. fi Dm = ---------, que da siempre un valor positivo. ∑ fi Se emplea para comparar dos series semejantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
• VARIANZA • Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. • • ∑ [ (xi - x )2. fi ] ∑ xi 2. fi V = ------------ = ------ -- x 2 ∑ fi • DESVIACIÓN TÍPICA • • • Es la raíz cuadrada de la varianza. s = √V Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética. • • CV = s / x , que suele darse en porcentajes. Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4
Frecuencias relativas Desviación Típica (σ) El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x-σ) y (x+σ) 68 % x-σ @ Angel Prieto Benito x x+σ Modalidades ( valor de x ) Matemáticas Aplicadas CS I 5
Frecuencias relativas x-3σ 68 % x-2σ x-σ x 95 % x+σ x+2σ x+3σ 99 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6
Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas xi fi |xi-x|. fi fi xi 2 3 40 120 1, 80 72 360 5 30 150 0, 20 6 750 7 30 210 3, 20 96 1470 100 480 174 2580 • VARIANZA • DESVIACIÓN MEDIA • • Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 = ∑ fi. xi 2 • V = ------- - x 2 = 25, 80 – 4, 82 = • = 2, 76 ∑ fi • DESVIACIÓN TÍPICA • S = √V =√ 2, 76 = 1, 66 @ Angel Prieto Benito • = 1, 74 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 1, 66 / 4, 8 = 0, 346 Matemáticas Aplicadas CS I 7
Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas clases xi = m. c. fi xi fi |xi-x|. fi fi xi 2 [0, 5 , 3, 5] 2 40 80 2, 70 108 160 (3, 5 , 6, 5] 5 30 150 0, 30 9 750 (6, 5 , 9, 5] 8 30 240 3, 30 99 1920 100 470 216 2830 • VARIANZA • ∑ fi. xi 2 • V = ------- - x 2 • ∑ fi = 28, 30 – 4, 72 V = 6, 21 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√ 6, 21 = 2, 49 @ Angel Prieto Benito • DESVIACIÓN MEDIA Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 = = 2, 16 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 2, 49 / 4, 7 = 0, 53 Matemáticas Aplicadas CS I 8
Ejemplo_3 Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina. clases xi = m. c. fi xi fi |xi-x|. fi fi xi 2 [9, 7 , 9, 8] 9, 75 54 526, 50 13, 3974 5133, 375 (9, 8 , 9, 9] 9, 85 65 640, 25 9, 6265 6306, 4625 (9, 9 , 10] 9, 95 406 4039, 70 19, 5286 40195, 015 [10 , 10, 1] 10, 05 342 3437, 10 17, 7498 34542, 855 (10, 1, 10, 2] 10, 15 87 883, 05 13, 2153 8962, 9575 (10, 2 , 10, 3] 10, 25 46 471, 50 11, 5874 4832, 875 1000 9998, 10 85, 1050 99973, 54 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
• RESOLUCIÓN EJEMPLO_3 • • • MEDIA • DESVIACIÓN MEDIA ∑ xi. fi 9998, 10 x = ----------- = 9, 9981 ∑ fi 1000 • • • ∑ |xi-x|. fi 85, 1050 Dm = ------- = 0, 0851 ∑ fi 1000 • VARIANZA • • • ∑ xi 2. fi 99973, 54 V = ------- -- x 2 = ------- -- 9, 99812 = 99, 9735 – 99, 9620 = 0, 0115 ∑ fi 1000 • DESVIACIÓN TÍPICA • S=√ 0, 0115 = 0, 1072 • El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9, 89 y 10, 10 mm • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 0, 1072 / 9, 9981 = 0, 01075 1, 07 % @ Angel Prieto Benito x – s = 9, 8909 , , x + s = 10, 1053 Matemáticas Aplicadas CS I 10
Ejemplo_4 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi. xi 2 0, 10 2 0, 08 8 2 8 0, 20 0, 02 0, 30 6 0, 24 24 8 32 1, 80 0, 54 0, 50 9 0, 36 36 17 68 4, 50 2, 25 0, 70 5 0, 20 20 22 88 3, 50 2, 45 0, 90 3 0, 12 12 25 100 2, 70 2, 43 25 1 100 12, 70 7, 69 • DESVIACIÓN TIPICA • Media : 0, 5 • VARIANZA • S = √V =√ 0, 0576 = 0, 24 • • COEFICIENTE DE VARIACIÓN 7, 69 • V = ----- – 0, 5 2 • 25 @ Angel Prieto Benito = 0, 0576 • CV = s / x = 0, 24 / 0, 50 = 0, 48 Matemáticas Aplicadas CS I 11
Ejemplo_5 Resultados de un test. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) xi. fi fi xi 2 0 17 0, 2125 21, 25 17 21, 25 0 0 1 8 0, 10 10 25 31, 25 8 8 2 27 0, 3375 33, 75 52 65 54 108 3 17 0, 2125 21, 25 69 86, 25 51 153 4 9 0, 1125 11, 25 78 97, 50 36 144 5 2 0, 025 2, 5 60 10 50 80 1 100 159 463 • Media: 2 • VARIANZA • 463 • V = ------ – 22 • • s = √V =√ 1, 78 = 1, 34 80 @ Angel Prieto Benito = 1, 7875 • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s/x = 1, 34 / 2 = 0, 67 = 67 % Matemáticas Aplicadas CS I 12
Ejemplo_6 Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas Clases m. c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni. xi 2 [0 , 2] 1 15 0, 075 7, 50 15 15 (2 , 4] 3 50 0, 250 25 65 32, 50 150 450 (4 , 6] 5 75 0, 375 37, 50 140 70 375 1875 (6 , 8] 7 40 0, 20 20 180 90 280 1960 (8 , 10] 9 20 0, 10 10 200 180 1620 200 1 1000 5920 • • • ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos? 40 ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos? 140 ¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos? 10 % ¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %? 75 ¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos? 0, 25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13
Ejemplo_7 Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos. clases m. c. fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi. xi fi xi 2 [1 , 3] 2 33 0, 4125 41, 25 33 41, 25 66 132 (3 , 5] 4 12 0, 15 15 45 56, 25 48 192 (5 , 7] 6 15 0, 1875 18, 75 60 75 90 540 (7 , 9] 8 20 0, 25 25 80 100 160 1280 80 1 100 364 2144 • ¿Cuántos insectos han obtenido un peso entre 5 y 7 gramos? 15 • ¿Cuántos insectos han obtenido un peso de hasta 5 gramos? 45 • ¿Qué porcentaje de insectos han obtenido entre 3 y 5 gramos? 15 % • ¿A cuantos insectos corresponde una frecuencia acumulada del 75 %? 60 • ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a un peso de 90 gramos? 0, 1875 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14
Ejemplo_8 Valoración de un político en una encuesta. clases xi = m. c. [0, 0 , 2, 5] 1, 25 160 20 200 560 250 (2, 5 , 5, 0] 3, 75 240 30 900 240 3375 (5, 0 , 7, 5] 6, 25 320 40 2000 480 12500 (7, 5 , 10, 0] 8, 75 80 10 700 320 6125 800 100 3800 1600 22250 • • fi hi % xi fi fi. |xi – x| fi. xi 2 ¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente? 20+30 ¿Cuántas personas lo han valorado de 7, 5 a 10 puntos 80 ¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2, 5 y 5 puntos? 30 % ¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %? 320 ¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos? 30 % ¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media? 160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15
• RESOLUCIÓN EJEMPLO_8 • MODA MEDIANA • • • MEDIA • Mo = 6, 25 Md = 5 ∑ xi. fi 3800 x = ------- = 4, 75 ∑ fi 800 • DESVIACIÓN MEDIA • VARIANZA • • • ∑ |xi-x|. fi 1600 Dm = ------- = 2 ∑ fi 800 • • • ∑ xi 2. fi 22250 V = ------- -- x 2 = ------ -- 4, 752 = 27, 8125 – 22, 5625 = 5, 25 ∑ fi 800 • DESVIACIÓN TÍPICA • S=√ 5, 25 = 2, 29 • El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2, 46 y 7, 04 puntos • COEFICIENTE DE VARIACIÓN • CV = s / x = 2, 29 / 4, 75 = 0, 48 % @ Angel Prieto Benito x – s = 2, 46 , , x + s = 7, 04 Matemáticas Aplicadas CS I 16
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