ESTADSTICA UNIDIMENSIONAL TEMA 11 Angel Prieto Benito Matemticas

ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL TEMA 11 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

VARIABLES DISCRETAS TEMA 11. 2 @ Angel Prieto Benito * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I 2

VARIABLES DISCRETAS • • Cuando el carácter (característica) es cuantitativo ( de cantidad ) la variable puede ser discreta o continua. Variable discreta es aquella que toma un número finito de valores dentro de un intervalo finito. • Ejemplos • • • 1. Edad de una persona. Modalidades: 12, 13, 14, 15, 16, 17, etc. 2. Número de hijos de una familia. Modalidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. 3. Calificaciones enteras en un examen. Modalidades: 0, 1, 2, 3, …, 10. 4. Medidas exactas de una probeta (en cl). Modalidades: 5, 5´ 50, 6, 6´ 50, … , 9´ 50, 10. (Atención: Discreta no significa una cantidad entera, sin decimales) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

Tablas de Frecuencias • La tabulación de resultados es la recogida de los datos obtenidos en unas tablas, llamadas Tablas de frecuencias. • Cuando la variable es discreta, las tablas de frecuencias presentan múltiples columnas: • • • xi = Columna de modalidades de la variable. fi = Frecuencia o cantidad de veces que se repite cada modalidad. hi = fi / Σ fi = Frecuencia relativa de dicha modalidad, o sea la cantidad de veces que se repite en relación al total. Suele expresarse en porcentaje en lugar del número decimal que resulta. (También se suele denotar como fr ) Fi = Frecuencia absoluta acumulada , que es la acumulación o suma de todas las modalidades anteriores. Hi = Fi / Σ fi = Es la frecuencia relativa acumulada, la frecuencia relativa a la suma de todas las modalidades anteriores. (También se suele denotar como Fr ) • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

Tablas de Frecuencias (y 2) • Con variables cuantitativas hay que ampliar el número de columnas: • • • xi. fi = Columna del producto o peso real de la modalidad. x – xi = Columna de las desviaciones. |x – xi| = Columna de la desviación absoluta. (x – xi)2 = Columna de las cuadrados de las desviaciones. xi 2 = Columna de las cuadrados de las modalidades. fi. xi 2 = Columna del producto de la varianza. • Las columnas señaladas en azul fuerte son obligatorias para realizar cálculos posteriores; del resto se puede prescindir. La última fila de las tablas de frecuencias se reserva para los sumatorios: Σ fi , Σ xi. fi , Σ |x – xi| y Σ fi. xi 2 , imprescindibles. Σ hi , muy conveniente al ser siempre su valor la unidad o el 100%. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas VARIABLE DISCRETA xi fi hi hi(%) Fi Fi(%) xi. fi fi xi 2 0 3 0, 03 3% 3 3 0 0 1 5 0, 05 5% 8 8 5 5 2 8 0, 08 8% 16 16 16 32 3 11 0, 11 11% 27 27 33 99 4 15 0, 15 15% 42 42 60 240 5 18 0, 18 18% 60 60 90 450 6 13 0, 13 13% 73 73 78 468 7 10 0, 10 10% 83 83 70 490 8 8 0, 08 8% 91 91 64 572 9 6 0, 06 6% 97 97 54 486 10 3 0, 03 3% 100 30 300 1 100% 500 3142 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

Ejemplo_2 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. VARIABLE DISCRETA xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi. xi 2 0, 10 2 0, 08 8 2 8 0, 20 0, 02 0, 30 6 0, 24 24 8 32 1, 80 0, 54 0, 50 9 0, 36 36 17 68 4, 50 2, 25 0, 70 5 0, 20 20 22 88 3, 50 2, 45 0, 90 3 0, 12 12 25 100 2, 70 2, 43 25 1 100 12, 70 7, 69 Importante: La variable xi toma sólo 5 valores posibles. Luego, aunque haya decimales, es discreta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

Ejemplo_3 Calificaciones de un trabajo a 40 alumnos. Variable discreta. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi. xi fi xi 2 1 0 0 0 0 3 5 0, 125 12, 50 15 45 5 20 0, 500 50 25 62, 50 100 500 7 15 0, 375 37, 5 40 105 735 9 0 0 0 0 40 1 100 220 1280 Nota: En este ejemplo el profesor, al corregir un trabajo, sólo pone a cada alumno un 1, un 3, un 5, un 7 o un 9. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

Ejemplo 4: Muestras previas Nº de hijos de una muestra de 80 familias 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 3 3 3 3 2 2 0 0 2 2 3 4 4 0 3 4 3 0 2 2 4 2 2 5 2 4 5 4 2 0 2 1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1 4 2 2 2 2 1 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9

Ejemplo_4 Sólo hay 6 posibles resultados. Es pues VARIABLE DISCRETA xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) xi. fi fi xi 2 0 17 0, 2125 21, 25 17 21, 25 0 0 1 8 0, 10 10 25 31, 25 8 8 2 27 0, 3375 33, 75 52 65 54 108 3 17 0, 2125 21, 25 69 86, 25 51 153 4 9 0, 1125 11, 25 78 97, 50 36 144 5 2 0, 025 2, 5 60 10 50 80 1 100 159 463 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS • Para representar gráficamente los fenómenos estadísticos donde tenemos variables cualitativas, podemos hacerlo con: • • • Diagramas de barras. Suelen utilizarse para frecuencias absolutas. Poligonales. Suelen utilizarse para frecuencias absolutas formando polígonos. Diagramas de Sectores. Muy utilizados para frecuencias relativas. • • • Otros, en menor medida: Pictogramas. Mediante figuras representativas de la variable. Diagramas Polares. Haz de rectas donde cada una toma una modalidad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

DIAGRAMAS DE BARRAS Número de alumnos • En el eje de abscisas se ordenan las modalidades. 12 12 10 10 • En el eje de ordenadas se gradúa según las frecuencias. 8 • Cada modalidad se representa por una barra vertical. 6 4 2 3 2 13 14 15 16 Años Gráfico de la edad actual de los 27 alumnos de una clase de 3º ESO @ Angel Prieto Benito • El ancho de las barras no importa, el alto es el que marque la frecuencia absoluta de cada modalidad. • La frecuencia se indica sobre cada barra o dentro de la misma si tiene suficiente ancho. Matemáticas Aplicadas CS I 12

DIAGRAMA POLIGONAL Número de alumnos • En el eje de abscisas se ordenan las modalidades (variable discreta) y en el eje de ordenadas las frecuencias (absolutas o relativas). 12 12 10 10 8 6 4 3 2 • Cada punto es un par de valores modalidadfrecuencia. 2 13 14 15 16 Gráfico de la edad actual de los 27 alumnos de una clase de 3º ESO @ Angel Prieto Benito Años • Si unimos los puntos nos saldrá una línea poligonal. Matemáticas Aplicadas CS I 13

DIAGRAMA DE SECTORES 20% Alumnos de Bachillerato 35% 25% 45% 50% 15% Alumnos de ESO • Al lado de cada sector se señala la modalidad correspondiente. Alumnos de Ciclos FP POBLACIÓN DE UN IES (Sobre un total de 760 alumnos) @ Angel Prieto Benito • En este diagrama un círculo se divide en tantos sectores circulares como modalidades tenga la variable (discreta o continua). • Dentro de cada sector se señala la frecuencia relativa en porcentajes. • En la leyenda hay que hacer constar el número total de elementos de la población. Matemáticas Aplicadas CS I 14

DIAGRAMAS COMPARATIVOS (De barras) 100% 75% 80% 65% 50% 40% 20% 35% 50% 60% 1945 1965 1985 2005 Mujeres Hombres 50% 25% Evolución de la población universitaria en España (en porcentajes ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15

DIAGRAMAS COMPARATIVOS (Poligonales) Se representan dos variables del mismo tipo e idénticas modalidades. Se pretende comparar la evolución de dos fenómenos semejantes. Número de estudiantes 800 700 600 500 Hombres 400 Mujeres 1990 1995 2000 2005 Año Evolución de la población estudiantil en un IES @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 16