Estadstica Descriptiva para una variable Conceptos bsicos Tipos

Estadística Descriptiva para una variable Conceptos básicos. Tipos de variables Organización de datos. Tablas de frecuencias Descripciones gráficas de los datos Descripciones Numéricas Ejercicios

Conceptos Básicos La ESTADISTICA es la ciencia que se ocupa de la a iv pt • Sistematización, recogida, ordenación y presentación ri c de los datos referentes a un fenómeno que presenta Des variabilidad o incertidumbre para su estudio d a d metódico, con objeto de ili b • deducir las leyes que rigen esos fenómenos, • y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones. a b o Pr In ia c en r fe

Conceptos Básicos ¡ Población: es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia). l Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo. ¡ Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población estadística en estudio. Es un ser observable que no tiene por qué ser una persona, puede ser un objeto, un ser vivo, etc… ¡ Muestra: es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones) l Debería ser “representativo” l Esta formado por miembros “seleccionados” de la población (individuos, unidades experimentales).

Conceptos Básicos Caracteres o variables: Cualquier cualidad o propiedad inherente al individuo. Una característica observable que varía entre los diferentes individuos de una población. La información que disponemos de cada individuo es resumida en variables, que representamos normalmente por las últimas letras mayúsculas X, Y, Z, … En los individuos de la población española, de uno a otro es variable: l l El grupo sanguíneo ¡ {A, B, AB, O} Var. Cualitativa Su nivel de felicidad “declarado” ¡ {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz} Var. Ordinal El número de hijos ¡ {0, 1, 2, 3, . . . } Var. Numérica discreta La altura ¡ {1’ 62 ; 1’ 74; . . . } Var. Numérica continua Podemos distinguir los siguientes tipos de variables:

Conceptos Básicos ¡ Cualitativas Si sus valores no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos) l l ¡ Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar ¡ Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No) Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar ¡ Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor Cuantitativas o Numéricas Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos) l l Discretas: Si toma valores enteros ¡ Número de hijos, Número de cigarrillos que fuma Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. ¡ Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado

Conceptos Básicos ¡ ¡ Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con facilidad en un ordenador. Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué significan los códigos numéricos. l Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios) ¡ 1 = Hombre 2 = Mujer l Raza (Cualit: Códigos arbitrarios) ¡ 1 = Blanca 2 = Negra, . . . l Felicidad Ordinal: Respetar un orden al codificar. ¡ 1 = Muy feliz ¡ 2 = Bastante feliz ¡ 3 = No demasiado feliz Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como ¡ 0 = No sabe 9 = No contesta Estas situaciones deberán ser tenidas en cuenta en el análisis. Datos perdidos (‘missing data’)

Conceptos Básicos ¡ ¡ Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico. No todo está permitido con cualquier tipo de variable.

Conceptos Básicos Modalidades o valores de las variables: Cada uno de los posibles valores que puede tomar una variable y se representan con las letras minúsculas x 1, x 2, …, xn. Ejemplo: La variable cualitativa estado civil puede tomar los valores o modalidades: casado, soltero o viudo. La variable cuantitativa edad puede tomar las modalidades o valores: 10 años, 12 años, 15 años, etc… ¡ Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos) l Edad (Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años) ¡ Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y excluyente: l Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable l Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)? l Excluyente: Nadie puede presentar dos valores simultáneos de la variable l Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)

Organización de los datos Antes de trabajar con cualquier conjunto de datos obtenidos de un experimento debemos organizarlos. ¡ Género Frec. Hombre 4 Mujer 6 Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.

Organización de los datos ¡ La tabla de frecuencias es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca). l l l Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas y son muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante) ¡ ¡ Variable ¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83, 8 ¿Entre 4 y 6 hijos? Sol 2ª: 97, 3% - 83, 8% = 13, 5% Frecuencias absolutas Frecuencias relativas (Valor) Simple Acumulada x 1 n 1 N 1= n 1 f 1 = n 1 / N F 1= f 1 x 2 n 2 N 2= n 1 + n 2 f 2 = n 2 / N F 2= f 1 + f 2 . . . . xn-1 nn-1 Nn-1= n 1 + n 2 +. . . + nn-1 fn-1 = nn-1 / N Fn-1= f 1 + f 2 +… + f n-1 xn nn Nn = Sn = N fn = n n / N Fn = Sf =1

Organización de los datos Ejemplo ¡ ¿Cuántos individuos tienen menos de 2 hijos? l frec. indiv. sin hijos + frec. indiv. con 1 hijo = 419 + 255 = 674 individuos ¡ ¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos? l 97, 3% ¡ ¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual? l 2 hijos ≥ 50%

Descripciones gráficas Datos de un carácter cualitativo ¡ Diagramas de barras l l ¡ Diagramas de sectores (tartas, polares) l l ¡ Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o rel. ) Se pueden aplicar también a variables discretas No usarlo con variables ordinales. El área de cada sector es proporcional a su frecuencia (abs. o rel. ) Pictogramas l l Fáciles de entender. El área de cada modalidad debe ser proporcional a la frecuencia.

Descripciones gráficas Datos, sin agrupar, de un carácter cuantitativo Diagrama de barras Diagrama de frecuencias acumuladas Nº de hijos (Xi) 0 1 2 3 4 Nº de familias (ni) 5 6 8 4 2

Descripciones gráficas Datos, agrupados, de un carácter cuantitativo Histogramas Polígono de frecuencias acumuladas Ii ni fi Ni Fi 7'5 - 9 3 0'088 9 – 10'5 8 0'236 11 0'324 10'5 - 12 10 0'294 21 0'618 12 - 13'5 10 0'294 31 0'912 13'5 - 15 1 0'029 32 0'941 15 - 16'5 2 0'059 34 1

Descripciones Numéricas ¡ ¡ Posición l Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. ¡ Percentiles, cuartiles, deciles, . . . Centralización l Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. ¡ Media, mediana y moda Dispersión l Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. ¡ Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza Forma l Asimetría l Apuntamiento o curtosis

Descripciones Numéricas Medidas de posición q Cuartiles: Sea q un número real tal que 0 q 4. El cuartil q (cq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q/4 de las observaciones son menores o iguales que cq. . El cuartil 2 es la mediana q Deciles: Sea q un número real tal que 0 q 10. El decil q (dq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q/10 de las observaciones son menores o iguales que dq. . El decil 5 es la mediana. q Percentiles: Sea q un número real tal que 0 q 100. El percentil q (pq) es un valor del recorrido de las observaciones tal que el q % de las observaciones son menores o iguales que pq. El percentil 50 es la mediana.

Descripciones Numéricas Medidas de posición (EJEMPLO) ¡ El 5% de los recién nacidos tiene un peso demasiado bajo. ¿Qué peso se considera “demasiado bajo”? ¡ Percentil 5 o cuantil 0, 05

Descripciones Numéricas Medidas de posición (EJEMPLO) ¿Qué peso es superado sólo por el 25% de los individuos? ¡ Percentil 75 o tercer cuartil

Descripciones Numéricas Medidas de posición (EJEMPLO) l El colesterol se distribuye simétricamente en la población. Supongamos que se consideran patológicos los valores extremos. El 90% de los individuos son normales ¿Entre qué valores se encuentran los individuos normales?

Descripciones Numéricas Medidas de centralización ¡ Media Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral. l Media de 2, 2, 3, 7 es (2+2+3+7)/4=3, 5 l Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos. l Centro de gravedad de los datos ¡ Mediana Es el valor de la variable que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Si el número de datos es par, se elige el primer valor de la variable que cubra el 50%. l Mediana de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 8 es 5 l Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a valores extremos. ¡ Mediana de 1, 2, 4, 5, 6, 6, 800 es 5. ¡La media es 117, 7! ¡ Moda Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo.

Descripciones Numéricas Altura mediana

Descripciones Numéricas Medidas de centralización q Media Ø Media Aritmética q Moda: Es el valor que más se repite en la muestra q Mediana : Datos sin agrupar Me = x[N/2] + 1 Datos agrupados Me = xj

Descripciones Numéricas xi ni Ni 0 3 3 1 2 5 2 2 7 ordenamos los valores en orden creciente 0 0 0 1 1 2 2 el 1 será el valor que cumple la definición de mediana. 7 Ejemplo: La distribución de frecuencias acumuladas del ejemplo del número de hijos era Nº de hijos (xi) 0 1 2 3 4 Frec. Acumuladas (Ni) 5 11 19 23 25 y como es n/2=12'5 y 11 < 12'5 < 19, en consecuencia la mediana será Me= 2.

Descripciones Numéricas Datos Agrupados: Las gráficas siguientes, correspondientes a polígonos de frecuencias absolutas acumuladas, nos plantea dos situaciones diferentes a considerar: El más sencillo, el de la derecha, en el que existe una frecuencia absoluta acumulada Nj tal que n/2 = Nj, la mediana es Me = xj. Si la situación es como la que se representa en la figura de la izquierda, en la que Nj-l < n/2 < Nj entonces, la mediana, está en el intervalo [xj-1, xj), es decir entre xj-1 y xj, tomándose en ese caso, por razonamientos de proporcionalidad, como mediana el valor

Descripciones Numéricas Ejemplo: La distribución de frecuencias del ejemplo de los niveles de colinesterasa es: Intervalo Ii 7'5 -9 9 -10'5 -12 12 -13'5 -15 15 -16'5 Frecuencia ni 3 8 10 1 2 Frecuencia Acumulada Ni 3 11 21 32 34 Al ser n/2 = 17 y estar 11 < 17 < 21 la mediana estará en el intervalo [10'5 , 12), y aplicando la fórmula anterior, será

Descripciones Numéricas Medidas de dispersión Conjunto 1: 10 20 30 40 50 media = 30, mediana = 30, moda = no existe Conjunto 2: 10 30 30 30 50 media = 30, mediana = 30, moda = 30 Conjunto 3: 30 30 30 media = 30, mediana = 30, moda = 30 A la vista de estas medidas podríamos llegar a la conclusión equivocada de que los tres conjuntos de datos son muy similares. Sin embargo, si dibujamos los histogramas: vemos claramente la diferencia entre los tres conjuntos: en el primero, la dispersión de los datos es total, en el tercero es la máxima concentración y el segundo es una situación intermedia.

Descripciones Numéricas Medidas de dispersión Miden el grado de dispersión (variabilidad) de los datos, independientemente de su causa. ¡ Amplitud o Rango: Diferencia entre observaciónes extremas. l 2, 1, 4, 3, 8, 4. El rango es 8 -1=7 l Es muy sensible a los valores extremos. ¡ Rango intercuartílico: l Es la distancia entre primer y tercer cuartil. ¡ Rango intercuartílico = P 75 - P 25 l Parecida al rango, pero eliminando las observaciones más extremas inferiores y superiores. l No es tan sensible a valores extremos.

Descripciones Numéricas ¡ Medidas de dispersión Varianza S 2: Mide el promedio de las desviaciones (al cuadrado) de las observaciones con respecto a la media. l l l Es sensible a valores extremos (alejados de la media). Sus unidades son el cuadrado de las de la variable. De interpretación difícil para un principiante. La expresión es fea, pero de gran belleza ‘natural’ (físicamente). Contiene la información geométrica relevante en muchas situaciones donde la energía interna de un sistema depende de la posición de sus partículas. ¡ Energía de rotación (vía el coeficiente de inercia): patinadores con brazos extendidos (dispersos) o recogidos (poco dispersos) ¡ Energía elástica: Muelles ‘estirados’ con respecto a su posición de equilibrio (dispersos) frente a muelles en posición cercana a su posición de equilibrio (poco dispersos)

Descripciones Numéricas Medidas de dispersión Desviación típica: Es la raíz cuadrada de la varianza ¡ Tiene las misma dimensionalidad (unidades) que la variable. Versión ‘estética’ de la varianza. ¡ Cierta distribución que veremos más adelante (normal o gaussiana) quedará completamente determinada por la media y la desviación típica. l A una distancia de una desv. típica de la media hay ‘más de la mitad’. l A una distancia de dos desv. típica de la media las tendremos casi todas.

Descripciones Numéricas Medidas de dispersión ¡ Centrado en la media y a una desv. típica de distancia hay aproximadamente el 68% de las observaciones. ¡ A dos desviaciones típicas tenemos el 95% (aprox. )

Descripciones Numéricas Medidas de dispersión Coeficiente de variación: Es la razón entre la desviación típica y la media. Mide la desviación típica en forma de “qué tamaño tiene con respecto a la media” l También se la denomina variabilidad relativa. l Es frecuente mostrarla en porcentajes ¡ Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0, 25=25% (variabilidad relativa) Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables. l Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más dispersión en peso que en altura. No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente l Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF Los ingenieros electrónicos hablan de la razón ‘señal/ruido’ (su inverso). l ¡ ¡ ¡

Descripciones Numéricas Medidas de forma Asimetría o sesgo ¡ ¡ ¡ Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha. En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución. La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas). Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.

Descripciones Numéricas Medidas de forma Asimetría o sesgo ¡ ¡ Hay diferentes estadísticos que sirven para detectar asimetría. l Basado en diferencia entre estadísticos de tendencia central. l Basado en la diferencia entre el 1º y 2º cuartiles y 2º y 3º. l Basados en desviaciones con signo al cubo con respecto a la media (coeficiente de asimetría de Fisher). ¡ Los calculados con ordenador. Es pesado de hacer a mano En función del signo del estadístico diremos que la asimetría es positiva o negativa. l Distribución simétrica asimetría nula. g 1< 0 Asimétrica Negativa g 1 = 0 Simétrica g 1 > 0 Asimétrica Positiva

Descripciones Numéricas Medidas de forma Apuntamiento o Curtosis ¡ La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución con respecto a la distribución normal o gaussiana. Es adimensional. g < 0 Platicúrtica l l l ¡ Platicúrtica (aplanada): curtosis < 0 Mesocúrtica (como la normal): curtosis = 0 Leptocúrtica (apuntada): curtosis > 0 2 g 2 = 0 Mesocúrtica g 2 > 0 Leptocúrtica En el curso serán de especial interés las mesocúrticas y simétricas (parecidas a la normal).

Ejercicios 1) En una clínica infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar. Obteniéndose así la tabla adjunta: Número de niños 2 6 10 5 10 3 2 2 Número de metros 2 3 4 5 6 7 8 1 Se pide: 1. Tabla de frecuencias. 2. Diagrama de barras para frecuencias absolutas. 3. Diagramas de frecuencias acumuladas (absolutas). 4. Mediana, Moda y Cuartiles. 5. Media aritmética.

Ejercicios 2) Se han medido los pesos y alturas de seis personas, obteniéndose los datos siguientes: Pesos 65 60 65 63 68 68 Alturas 1, 70 1, 50 1, 68 1, 70 1, 75 1, 80 Se quiere saber: a) ¿Qué medidas están más dispersas, los pesos o las alturas? . b) ¿Cuál es el coeficiente de variación de Pearson en cada caso? .

Ejercicios 3) En la caja de reclutas se ha medido la altura de 110 jóvenes, obteniéndose la siguiente tabla: Altura Nº jóvenes 1, 55 -1, 60 18 1, 60 -1, 70 31 1, 70 -1, 80 24 1, 80 -1, 90 20 1, 90 -2, 00 17 Calcúlense: a) Los percentiles 21 y 87 y los deciles 3 y 9. b) Se consideran "bajos" a aquellos cuya altura esté bajo el percentil 3. ¿Cuál es la altura máxima que pueden alcanzar? c) Se consideran "altos" aquellos cuya altura está sobre el percentil 82. ¿Cuál será su altura mínima? . d) ¿En qué percentil estará un joven de altura 1, 78? e) Coeficiente de asimetría de Fisher.