Estadstica Captulo 4 7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1

Estadística Capítulo 4. 7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1

Distribución Normal 2

Distribución Normal Es la distribución de probabilidad más importante, que corresponde a una variable continua. También se la llama distribución gaussiana. En esta distribución no es posible calcular la probabilidad de un valor exacto, siempre se trabaja con rangos. 3

Distribución Normal En la práctica, muchas variables que se observan tienen distribuciones que sólo se aproximan a la normal. Esto es, las variables tienen propiedades que sólo se acercan a las propiedades teóricas de la distribución normal. 4

Propiedades de la distribución normal 1. Tiene forma de campana (es simétrica) 2. Sus medidas de tendencia central son idénticas (media, mediana, moda, rango medio y eje medio 5

Propiedades de la distribución normal 3. El “intervalo medio” es 1. 33 desviaciones estándar (1. 33σ) 4. La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito ( -∞ < X < +∞) 6

Distribución Normal La fórmula de la distribución normal es un complicado modelo matemático desarrollado por Gauss; pero con facilidad para realizar la estandarización mediante una tabla definida que facilita la búsqueda de resultados. 7

Fórmula Distribución Normal e = constante matemática con valor aproximado de 2. 71828 π = constante matemática con valor aproximado de 3. 14159 µ = media de la población σ = desviación estándar de la población 8

Distribución Normal Si los datos son estandarizados, de manera que se aproximen a su valor normal en la distribución, se puede utilizar una tabla para encontrar los resultados de las probabilidades. Para ello se utiliza la fórmula de estandarización, que es denotada por Z 9

Fórmula de la Estandarización Los elementos base para estandarizar los datos son los parámetros de la Media Aritmética y la Desviación Estándar. Al estandarizar los datos de la población, la media se convierte en 0 y la desviación estándar en 1 10

Supongamos que los datos de una muestra van de 30 a 90 (en el plano cartesiano se traza la recta en una escala de 10 en 10). En la muestra, la media aritmética es 60 y la desviación estándar es 10. Estandarizar cada uno de los datos de la recta del plano cartesiano; es decir, cuál es el valor de Z de cada dato desde 30 hasta 90. 11

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Las probabilidades en una curva normal es el área que está rodeada por: • El valor entre 0 y Z • El eje horizontal • La curva de la Normal (ver zona sombreada). 14

Para calcular el área en una curva normal, no se utiliza la fórmula, sino el diseño una tabla para buscar el resultado. Usualmente los valores de Z están entre -4 y 4, y su representación se denota por un número de dos decimales. 15

Es una tabla trazada en filas y columnas que calcula el valor entre 0 y z 16

La tabla de la distribución normal de nuestro curso solamente tiene el 50% del total de área, porque como la figura es igual antes del 0 que después del 0, las áreas solamente se homologan; lo mismo resulta al calcular un área con Z=1. 25 que con Z= -1. 25. El procedimiento es el siguiente: 17

• Se configura el valor de Z de manera que tenga 2 decimales 18

• Se divide en dos números; el primero formado por la parte entera y el primer decimal; el segundo formado por el segundo decimal 19

• En la primer columna se busca el que tiene la parte entera 20

• En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal. 21

• En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal. 22

Encontrar el área para Z=1. 02 • • Z se convierte en 1. 0 y 0. 02 Localizar 1. 0 en la tabla 23

Encontrar el área para Z=1. 02 • • Localizar 0. 02 en la tabla Ubicar la intersección En la tabla de la curva normal se muestra la probabilidad 0. 3461 La probabilidad es de 34. 61% 24

En la curva, por tratarse de áreas, no es posible calcular valores con el signo igual; siempre se hace referencia con el signo de menor o con el mayor. 25

Enunciado: Acción : Calcular P(zi < Z) Encuentra el área entre 0 y Z 26

Calcular P(Z < 1. 11) • Se va a calcular el área de 0 a 1. 11 • El # 1. 11 se convierte en : 1. 1 y 0. 01 • Buscar en la columna 1. 1 • Buscar en la fila 0. 01 27

Calcular P(Z < 2. 01) • Se calculará el área de 0 a 2. 01 • El # 2. 01 se convierte en 2. 00 y 0. 01 • Columna: 2. 0 • Fila: 0. 01 28

Calcular P(Z > - 1. 28) • Se calculará el área de -1. 28 a 0 • 1. 28 = 1. 2 + 0. 08 • Buscar en la columna 1. 2 • Buscar en la fila 0. 08 29

Calcular P(Z > 1. 28) • Primero el área de 0 a 1. 28 • 1. 28 = 1. 2 + 0. 08 • El área encontrada se resta de 0. 50 • El área es 0. 1003 30

Calcular P(Z < -2. 23) • Calcular área de -2. 23 a 0 • 2. 23 = 2. 2 + 0. 03 El área es 0. 0129 31

Calcular P(-0. 57 < Z < 1. 02) • El área total es la suma de ambos resultados. Área = 0. 2157+0. 3461 Área = 0. 5618 32

Calcular P(1. 00 < Z < 1. 253) Calcular el área que va de 0 a 1. 25 Calcular el área que va de 0 a 1. 00 ÁREA =0. 3944 – 0. 3413 = = = 0. 0531 0. 3944 0. 3413 33

Calcular • • P(-1. 25 < Z < -1. 00) Calcular el área que va de 0 a 1. 25 Calcular el área que va de 0 a 1. 00 Se restan ambas áreas de 0. 5 Se suman los resultado ÁREA izquierda = 0. 5 -0. 3944 = 0. 1056 AREA derecha = 0. 5 -0. 3413 = 0. 1587 = = 0. 3944 0. 3413 34

Distribución normal estándar Un conjunto de datos con distribución normal siempre se puede convertir en su forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de la tabla de distribución normal. 35

El gerente de una ensambladora de automóviles estudia el proceso para montar una pieza específica de un automóvil, con el fin de reducir el tiempo requerido para el montaje. Después de estudiar el proceso, el equipo determina que el tiempo de montaje se aproxima a una distribución normal con media aritmética (µ) de 75 segundos y desviación estándar (σ) de 6 segundos. Como puede el equipo aprovechar esta información para responder preguntas acerca del proceso actual. 36

Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar requiera más de 81 segundos para ensamblar la pieza µ = 75 σ=6 37

La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza en mas de 81 segundos es de 15. 87% 38

Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 75 y 81 segundos µ = 75 σ=6 39

La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza Entre 75 y 81 segundos es de 34. 13% 40

Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de 81 segundos o menos de 75 segundos µ = 75 σ=6 41

1. ) Calcular la P(X > 81) = P(Z>1) = 0. 5 – 0. 3413 = 0. 1587 42

2. ) Calcular la P(X < 75) P(X <75) = P(Z<0) = 0. 5000 43

3. ) Sumas ambas probabilidades La probabilidad de que un empleado tarde menos de 75 ó más de 81 segundos es de 66% 44

Tarea • Entregar un resumen de los aspectos éticos que se deben observar en el uso de las probabilidades. • ¿Qué se hace para realizar una verificación de la normalidad? • Cuales son los pasos que se siguen paa construir un diagrama de probabilidad normal 45

Fin del capítulo 6. 1 Continúa 7. 1 46