ESTADSTICA BIDIMENSIONAL U D 14 4 ESO E

ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL U. D. 14 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

PARÁMETROS LINEALES U. D. 14. 1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

MEDIAS Y DESVIACIONES TÍPICAS • En una distribución bidimensional existen los siguientes parámetros a calcular, siendo n el número de observaciones o pares de valores (x, y). • • MEDIA MARGINAL de xi: Es la media respecto de xi. x = ∑ xi / n • • MEDIA MARGINAL de yi: Es la media respecto de yi. y = ∑ yi / n • Al punto (x, y) se le llama CENTRO DE GRAVEDAD de la distribución. • • DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de xi: sx = √ [ ( ∑ xi 2 / n ) – x 2 ] • • DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de yi: sy = √ [ ( ∑ yi 2 / n ) – y 2 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

COVARIANZA • • • • La COVARIANCIA es un parámetro estadístico conjunto. Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Presenta dos maneras diferentes para su cálculo. _ _ ∑ (xi – x). (yi – y) ∑ xi. yi __ Vxy = ------------ = ------- – x. y n n Del valor y el signo que presente se pueden deducir ciertas características, unas determinantes y otras orientativas: Si la covarianza es mayor que cero, la correlación es directa. Si la covarianza es menor que cero, la correlación es inversa. Si la covarianza es nula, igual a cero, no existe correlación. Si el valor de la covarianza es grande, la correlación puede ser fuerte. Si el valor de la covarianza es pequeño, la correlación puede ser débil. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL • • • Si la nube de puntos se condensa en torno a una recta existe una correlación lineal entre las variables. El coeficiente de correlación lineal es el parámetro utilizado para medir la relación lineal entre las dos variables. Covarianza Vxy r = -------------------------------- = ------Producto de desviaciones típicas de xi e yi sx. sy Variación de r r=0 0<r<0, 2<r<0, 4<r<0, 7<r<0, 9<r<1 r=1 Nula Muy débil Débil Moderada Fuerte Muy fuerte Dependencia funcional Dependencia aleatoria directa (r > 0) Dependencia aleatoria inversa (r < 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 5

EJEMPLO: TABULACIÓN xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 1 1 1, 5 2 2, 25 4 3 2 2 4 4 4 2 3 4 9 6 2, 5 3 6, 25 9 7, 5 3 4 9 16 12 4 6 16 36 24 4, 5 5 20, 25 25 22, 5 6 9 36 81 54 7 8 49 64 56 33, 5 43 147, 75 249 190 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. • • • Vamos a estudiar analíticamente la correlación existente entre Horas de estudio (xi) y Calificación en los exámenes (yi). Para ello lo primero será tabular los datos que hemos obtenido, los mismos pares de la nube de puntos. El valor de xi siempre de menos a más. 6

Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 33, 5 /10 = 3, 35 y = 43 / 10 = 4, 3 Varianzas Marginales Vx = 147, 75 / 10 – 3, 352 = 3, 55 ; Vy = 249 / 10 – 4, 32 = 6, 61 D. Típicas Marginales sx = 1, 88 sy = 2, 57 Covarianza Coeficiente de Correlación lineal. @ Angel Prieto Benito Vxy = (190 / 10) – 3, 35. 4, 3 = 4, 595 r = Vxy / sx*sy = 4, 595 / 1, 88*2, 57 = 0, 951 La correlación, por el signo y valor de r, es directa y muy fuerte Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Ejemplo 2: TABULACIÓN • En el siguiente ejemplo vamos a estudiar la relación estadística entre el precio de un producto y las ventas del mismo. • xi=Precio de un producto (en €). yi=Miles de unidades vendidas. xi yi xi – x yi – y (xi-x). (yi-y) xi 2 yi 2 xi. yi 1 7 - 1, 5 2 -3 1 49 7 1 6 - 1, 5 1 -1, 5 1 36 6 2 6 - 0, 5 1 -0, 5 4 36 12 3 6 0, 5 1 0, 5 9 36 18 3 5 0, 5 0 0 9 25 15 3 4 0, 5 -1 -0, 5 9 16 12 3 3 0, 5 -2 -1 9 9 9 4 3 1, 5 -2 -3 16 9 12 20 40 - 9 58 216 91 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias x = 20 / 8 = 2, 5 y = 40 / 8 = 5 Varianzas Vx = 58 / 8 – 2, 52 = = 7, 25 – 6, 25 = 1 Vy = 216 / 8 – 52 = = 27 – 25 = 2 D. Típicas sx = √ 1 = 1 sy = √ 2 = 1, 41 Covarianza Vxy = (91 / 8) – 2, 5. 5 = 11, 375 – 12, 5 = – 1, 125 Covarianza También: Vxy = Σ(xi-x). (yi-y) / n = – 9 / 8 = – 1, 125 Coeficiente de Correlación lineal @ Angel Prieto Benito r = Vxy / sx*sy = – 1, 125 / 1. 1, 41 = – 0, 7979 La correlación, por el signo y valor de r, es inversa y fuerte. Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Ejemplo 3: TABULACIÓN • En el siguiente ejemplo vamos a estudiar la correlación estadística entre la edad de un estudiante y su número de calzado. • Lo primero es tabular los resultados en una tabla (xi=Edad de un joven (años), de menor a mayor valor. yi=Nº de calzado. xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 15 37 225 1379 555 15 41 225 1681 615 16 39 256 1521 624 16 43 256 1849 688 17 37 289 1379 629 18 39 324 1521 702 18 43 324 1849 774 115 279 1899 11179 4587 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 115 / 7 = 16, 43 y = 279 / 7 = 39, 857 Varianzas Marginales Vx = 1899 / 7 – 16, 432 = = 271, 28 – 269, 94 = 1, 24 Vy = 11179 / 7 – 39, 8752 = = 1597 – 1590 = 7 D. Típicas Marginales sx = √ 1, 24 = 1, 1135 sy = √ 7 = 2, 6457 Covarianza Vxy = (4587 / 7) – 16, 43. 39, 857 = 655, 2857 – 654, 8505 = 0, 43 Coeficiente de Correlación lineal r = Vxy / sx*sy = 0, 43 / 1, 1135. 2, 6457 = 0, 15 La correlación, por el signo y valor de r, b es directa y muy débil. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 11