ESTADSTICA BIDIMENSIONAL U D 14 4 ESO E
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL U. D. 14 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1
INTERPOLACIÓN U. D. 14. 1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2
Interpolación • Una vez que obtengamos la ecuación de la Recta de Regresión de Y sobre X tendremos la función lineal: • y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi, yi ) que no estaban en la nube de puntos. • Esto es lo que hemos hecho al hallar f(5) para trazar la recta de ajuste. Hemos visto que con 5 horas de estudio la calificación esperada es de 6, 44. • Cierto que también hemos hallado f(1), cuyo valor ya sabíamos (valía 1) y nos ha dado 1, 31, diferente. • Pero es que, a diferencia de la correlación funcional, ahora la Recta de Regresión no pasa por la mayoría de los puntos dados en la tabla inicialmente. Si pasa por alguno es simple casualidad. • La interpolación, en correlación estadística, sólo puede ser fiable si la correlación es fuerte o muy fuerte; y si de las dos variables, elegimos como xi la más correcta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3
Ejemplo completo • Beneficios en decenas de miles de € A lo largo de 5 años una empresa se ha visto obligada a duplicar el 6, 5 número de empleados, reduciendo no obstante sus beneficios según se ve en la Nube de Puntos. 6 • Estudiar la distribución, hallando las rectas de ajuste correspondiente. • Obtener, mediante interpolación, los beneficios de la empresa con 6, 8 y 12 empleados. 5, 5 5 5 @ Angel Prieto Benito 7 Matemáticas 4º ESO E. AP. 9 11 13 15 Número de empleados 4
Tabulación Por la nube de puntos está claro que hay una correlación lineal entre el nº de empleados y los beneficios de la empresa. Al aumentar el nº de éstos han disminuido los beneficios. xi yi xi 2 yi 2 xi. Yi 5 6 25 36 30 7 6, 5 49 42, 25 45, 50 9 6 81 36 54 11 5, 5 121 30, 25 60, 50 13 5 169 25 65 15 5 225 25 75 60 34 670 194, 50 330 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 5
Cálculo de parámetros Calculamos los parámetros o medidas de la correlación lineal Medias marginales EMPLEADOS BENEFICIOS ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) x = 60 / 6 = 10 y = 34 / 6 = 5, 66 Varianzas marginales Vx = 670/6 – 102 = 11, 6666 Vy = 194, 5/6 – 5, 662= 0, 3131 D. típicas marginales sy = √ 0, 3131=0, 5595 Covarianza sx = √ 11, 6666=3, 415 Vxy = 330 / 6 – 10. 5, 66 = – 1, 6666 Coeficiente de Correlación lineal r = Vxy /sx*sy = -1, 6666 / 3, 415*0, 5595= -0, 87 Tipo de correlación Muy fuerte, por pasar el valor de |r| de 0, 85. Inversa por tener signo negativo la covarianza. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 6
Rectas de ajuste • Calculemos la Recta de Ajuste (Y sobre X): • • • m = Vxy /Vx = -1, 6666 / 11, 6666 = - 0, 1428 n = y - m*x = 5, 66 - (-0, 1428)*10 = 5, 66 + 1, 42 = 7, 10 y = - 0, 14. x + 7, 10 • • La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de x : x 1 = 5 y 1 = 6, 40 ; x 2 = 15 y 2 = 5 • Calculemos la Recta de Ajuste (X sobre Y): • • • m = Vxy /Vy = -1, 6666 / 0, 3131 = - 5, 3229 n = x - m*y = 10 - (- 5, 3229)*5, 66 = 10 + 30, 16 = 40, 16 • x = - 5, 32. y + 40, 16 La llevamos sobre el Diagrama dado en forma de Nube de Puntos. Para ello tomamos dos valores cualquiera de y : y 1 = 5 x 1 = 13, 5 ; y 2 = 6 x 2 = 8, 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7
Gráficas • • • Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (Y sobre X) son: (5, 6, 4) (10 , 5, 66) (15, 5) Los puntos por los que deberá pasar la Recta de Regresión (X sobre Y) son: (13, 5 , 5) (10 , 5, 66) (8, 10 , 6) Por el pequeño ángulo que forman podemos ver que la correlación es fuerte @ Angel Prieto Benito Beneficios en millones de € 6, 5 6 5, 5 5 5 7 9 Matemáticas 4º ESO E. AP. 11 13 15 Número de empleados 8
Interpolación • • ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 6? . y = f (x) y = – 0, 14. x + 7, 10 f(6) = – 0, 14. 6 + 7, 10 = – 0, 84 + 7, 10 = 6, 26 decenas de miles de €. • • ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 8? . y = f (x) y = – 0, 14. x + 7, 10 f(8) = – 0, 14. 8 + 7, 10 = – 1, 12 + 7, 10 = 5, 98 decenas de miles de €. • • ¿Qué beneficios debemos esperar si el número de empleados es 12? . y = f (x) y = – 0, 14. x + 7, 10 f(12) = – 0, 14. 12 + 7, 10 = – 1, 68 + 7, 10 = 5, 42 decenas de miles de €. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 9
Interpolación • • • ¿Qué número de empleados cabe esperar si los beneficios de la empresa han sido de 5, 75 decenas de miles de €? . x = f (y) x = – 5, 32. y + 40, 16 f(5, 75) = – 5, 32. 5, 75 + 40, 16 = – 30, 59 + 40, 16 = 9, 57 empleados. (9 empleados a jornada completa y otro a media jornada) ¿Qué número de empleados cabe esperar si los beneficios de la empresa han sido de 6 decenas de miles de €? . x = f (y) x = – 5, 32. y + 40, 16 f(6) = – 5, 32. 6 + 40, 16 = – 31, 92 + 40, 16 = 8, 24 empleados. (8 empleados a jornada completa y otro por una semana al mes) Observar que cuando los beneficios fueron de 6 decenas de miles de € los empleados eran 5 y 9 indistintamente. La razón de esta disparidad es que la recta de ajuste no pasa necesariamente por los puntos de la nube. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10
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