ESTADO NO ESTACIONARIO CON GRADIENTES Rafael Fernndez Flores

ESTADO NO ESTACIONARIO (CON GRADIENTES) Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

MENÚ Ø Ø Problema Objetivos Ecuación de difusión, condiciones a la frontera y geometría Métodos de resolución • • • Ø Analítico “a pie” Analítico computacional Numérico Tablas y gráficas Excel Cuestionario Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

PROBLEMA ¿Cómo encontrar solución a la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas? Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

OBJETIVOS v v v Conocer la ecuación que controla el fenómeno de transferencia de energía en estado no estacionario. Entender el rol de las condiciones de frontera al especificar el problema. Traducir las condiciones físicas de un problema al lenguaje matemático. Conocer diferentes métodos analíticos y computacionales para la solución de la ecuación de calor. Resolver problemas de conducción de calor en estado no estacionario en geometría cartesiana. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

LA ECUACIÓN La ecuación de difusión describe la conducción de calor en estado no estacionario, cuando no hay fuentes internas de generación de calor. Donde α, la difusividad térmica, es el cociente k/ρCp Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

LAS CONDICIONES A LA FRONTERA • Esta ecuación representa una gran familia de fenómenos • Para aplicarla a la solución de un caso particular es necesario fijar la: • • Geometría (Rectangular, cilíndrica…) Las condiciones iniciales y de frontera que lo describen. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

APROXIMACIONES Y ADIMENSIONALIZACIÓN En una dimensión. De manera adimensional Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. VENTAJAS Y DESVENTAJAS • Analítico «A pie» : Separación de variables. • Unas pocas geometrías simples. • Analítico computacional. Mathematica, Maple • Numérico: Diferencias finitas y elemento finito. • Programándolo. Fortran, C, etc. • Programas comerciales: Fluent, Abaqus… • Programas de acceso abierto. • Tablas y gráficas. • De libros como Geankoplis. • Excel. • No es un método de cálculo. • Permite programar el algoritmo de diferencias o elemento finito. • Permite graficar soluciones obtenidas analíticamente. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA «A PIE» . PLACA DE ESPESOR 2 H 2 H Condición Inicial T = T 0 en t = 0 y x = x T 0 cuando t = 0 Condiciones a la frontera. T = T 1 en t = t y x = 0 T 1 T cuando t = t T 1 Condiciones a la frontera. T = T 1 en t = t y x = 2 H Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

SEPARACIÓN DE VARIABLES Se propone una solución de la forma: Se realiza la derivada temporal: Se realiza la derivada espacial: Se sustituye dentro de la ecuación de difusión: Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

SEPARACIÓN DE VARIABLES Se divide entre T(x, t) = X(x) Ʈ(t) Como ambas ecuaciones dependen de variables diferentes, deben ser -ambas- iguales a una constante: Lo que lleva al sistema de ecuaciones: Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

USANDO LAS CONDICIONES A LA FRONTERA Por este método de separación de variables encontramos: La solución particular es: Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

COMENTARIOS • Una ecuación en derivadas parciales de 2 do orden se transformó en un sistema de dos ecuaciones ordinarias. • La ecuación temporal debe cumplir las condiciones iniciales. • La ecuación espacial debe cumplir las condicione de frontera. • Existe un número infinito de valores de λ para los que se cumplen las condiciones de frontera. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

COMENTARIOS Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

OTRO EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA «A PIE» : SÓLIDO SEMI-INFINITO La ecuación es la misma: Pero diferentes condiciones iniciales: T = T 0 en t=0 y de frontera: Tx (0, t) = -h T(0, t) con h =Cte. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

LAS ECUACIONES SON LAS MISMAS Pero no las condiciones a la frontera. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

PERO NO LAS CONDICIONES A LA FRONTERA T=0 Xizq Xder 2 H T 0 T 1 Placa semiinfinita T 0 h(T 1 -Ts) Nótese que aunque la ecuación que describe el problema es la misma, los dos os representan situaciones físicas diferentes. Por ejemplo, en el caso de la placa semiinfinita hay transferencia de calor, lo que no ocurre en la de espesor 2 H Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

SOLUCIÓN ANALÍTICA Nuevamente, separando variables y usando las condiciones iniciales y de frontera: Una buena referencia para los aspectos teóricos de la solución analítica de la ecuación de calor es el libro de Kreider «Introducción al análisis lineal» Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EJEMPLO DE SOLUCIÓN ANALÍTICA CON MATHEMATICA: CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA PLACA BIDIMENSIONAL Considere la ecuación: Con las siguientes condiciones de frontera e iniciales Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

SOLUCIÓN. MÉTODO ANALÍTICO COMPUTACIONAL MATHEMATICA Ejemplo: Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

OTRO EJEMPLOS EN: WOLFRAM DEMOSTRATIONS Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EJEMPLO DE SOLUCIÓN NUMÉRICA. ABAQUS Tomado de: https: //onedrive. live. com/? authkey=!AMZMy 9 Evl 2 q 0 Kzo&id=7 EDB 1 EC 9396 CB 4 A 3!4111&cid=7 EDB 1 EC 9396 CB 4 A 3 Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EJEMPLO DE SOLUCIÓN MEDIANTE GRÁFICAS. TEMPERATURA DEL SUELO Durante cierto día de otoño, la temperatura del suelo tiene un valor constante de 15. 6 o. C (6. 0 o. F) hasta una profundidad de varios metros. Una onda fría reduce repentinamente la temperatura del aire de 15. 6 hasta unos -17. 8 o. C (0 o. F)). El coeficiente convectivo por encima del suelo es ll . 36 W/m 2 o. K. Las propiedades del suelo son: α = 4. 65 x 10 -7 m 2/s y k= 0. 865 W/m o. C K . Desprecie los efectos del calor latente para encontrar: a) ¿Cuál será la temperatura de la superficie después de 5 h? b) ¿Hasta qué profundidad del suelo penetrara la temperatura de congelación de 0 o. C en 5 h? Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EL MÉTODO DE LAS GRÁFICAS Viajando al pasado, el problema se puede resolver usando tablas. ∞ x Hay tablas para diferentes geometrías. Los valores a la frontera e iniciales se reflejan en las distintas curvas. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

SOLUCIÓN Para usar la tabla es necesario calcular los parámetros Para la pregunta del a) x=0 y por lo tanto también Sustituyendo los valores numéricos: = = 1. 2 Con lo que podemos ir a buscar en la tabla, el valor correspondiente de la temperatura adimensional y despejando: T= 267. 76 K o -5. 44 Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

El mismo tipo de problema puede resolverse para el aumento de temperatura en un día de verano. Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

EJEMPLO DE SOLUCIÓN USANDO EXCEL Aun falta dar ejemplos del uso de Excel en la solución de problemas de transferencia de energía en estado no estacionario. En este curso Excel lo utilizaremos en la próxima clase al resolver problemas de transferencia de energía en estado no estacionario en coordenadas cilíndricas Finalmente, Hay muchos otros casos, que pueden resolverse con la misma ecuación. Para otras geometrías: • Pared vertical • Cilindro • Esfera Y otras condiciones a la frontera Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM Continuara… erreefeefe@gmail. com

CUESTIONARIO (1/2) o ¿Por qué pueden resolverse diferentes problemas usando la misma ecuación diferencial? o Enumera los diferentes métodos que existen para resolver la ecuación de difusión. o ¿En qué consiste el método de separación de variables? o ¿Qué métodos numéricos se emplean para resolver numéricamente la ecuación de transferencia de calor en estado no estacionario? Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com

CUESTIONARIO (2/2) o¿Qué programas de cómputo pueden usarse para resolver numéricamente la ecuación de transferencia de calor en estado no estacionario? o¿Qué ventajas y desventajas tiene el método de resolver la ecuación de transferencia de calor en estado no estacionario, usando gráficas? Rafael Fernández Flores. Curso: Transferencia de energía. Facultad de Química UNAM erreefeefe@gmail. com