Estabilidade e Estacionariedade em Sries Temporais Adaptado de
Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2
Objeto de estudo • A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.
Séries Discretas no Tempo • Seja y = f(t), portanto • Δy = f(t 0 + h) – f(t 0) • Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempo • Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questão
Séries discretas • Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta. • A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1 • Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinística
Séries Discretas • Os elementos de uma série econômica {y 0, y 1, . . . , yt} podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico. • Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, yt é uma variável aleatória. • Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.
Objetivo do modelo • A partir de valores observados de uma séries temporal (i. e. , uma amostra), identificar os aspectos essenciais do “verdadeiro” processo gerador de dados (i. e. , do universo). • As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.
Equações de diferenças • Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex: yt = 8, 2 + 0, 75 yt-1 – 0, 12 yt-2 + εt
Ruído Branco • Uma seqüência {εt} é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.
Ruído Branco
Ruído Branco E(εt) =. . . = 0 Var(εt) =. . . = 2 E(εt. εt-s) = 0 para todo s 0
Solução de equações de diferenças • A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea. • A parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazo • A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)
Exemplo: Equação de ordem 2 yt = a 0 + a 1 yt-1+ a 2 yt-2 + εt Equação homogênea yt - a 1 yt-1 - a 2 yt-2 = 0 Equação característica x 2 - a 1 x - a 2 = 0 • As raízes dessa equação são chamadas raízes características
Raízes e estabilidade • As raízes características serão funções dos coeficientes a 1 e a 2 • As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente) • Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a 1 e a 2
Série convergente (estável)
Série divergente (instável)
Condições de Estabilidade • Condição necessária • Condição suficiente • Se algum ai = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)
Estabilidade e Estacionariedade • Se yt é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {yt} seja estacionária.
Estacionariedade • Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se: • E[y(t)] = • Var[y(t)] = E[y(t) - ]2 = 2 • E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k) • Obs. : um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).
Interpretação • Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo • A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da “distância” temporal entre eles. Cov(Yt, Yt-k) = k k
Interpretação Cov(Yt, Yt-k) = k k • significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor “alto” de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento. • A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.
Não-estacionariedade • No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária. • Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempo
Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1) • É representado como: Yt = a 1 Yt-1 + t • significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória. • Note que se tomou a 0 = 0.
Média do modelo AR(1) E(yt) = a 0/(1 – a 1)
Variância do modelo AR(1) Var(yt) = 2/[1 – (a 1)2]
Covariância do modelo AR(1) Cov(yt, yt-s) = 2(a 1)s/[1 – (a 1)2]= γs Portanto γ 0 é a variância de yt
Autocorrelação • Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre yt-s como: s = γ s /γ 0 • A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.
Restrições para estacionariedade do AR(1) • Seja Yt = a 0 + a 1 Yt-1 + t • Dada a condição inicial y = y 0 para t = 0, a solução da equação é: Yt = a 0 i=0 t-1 a 1 i + a 1 t Y 0 + i=0 t-1 t-i
Restrições (continuação) • Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que: E (yt) E(yt+s) • Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionário
Restrições (conclusão) • Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de yt: lim yt = a 0/(1 – a 1) + i=0∞ t-i = a 0/(1 – a 1) • Portanto a estacionariedade requer |a 1| < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longo • Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.
Autocorrelação parcial • Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais Yt = 11 Y 1 + t 11= 11 Yt = 11 Y 1 + 22 Y 2 + t 22= 22 Yt = k 1 Y 1 + k 2 Y 2 +. . . + kk. Yk + t kk= kk • a seqüência de pares (k, kk) constitui a função de autocorrelação parcial
Interpretação • Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Yt forem altamente correlacionados com os valores de Yt-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.
- Slides: 31