Espaos Vetoriais Denominase espao vetorial sobre um corpo

Espaços Vetoriais Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que: Definição: 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades: A 1) Associativa: A 2) Comutativa: A 3) Elemento Neutro: A 4) Elemento Oposto:

2) Existe uma Multiplicação por Escalar, com as seguintes propriedades: M 1) M 2) M 3) M 4) Notação:

◦ Observações: 1. Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES. 2. Os elementos do Espaço Vetorial chamados VETORES. 3. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais. são

Exemplos de Espaços Vetoriais 1. O conjunto de vetores do plano. 2. A reta real. 3. O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: Adição: Multiplicação por Escalar:

4. O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. 5. O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes.

6. O conjunto dos polinômios de grau n

Contra-Exemplos 1. Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação propriedade (M 4), pois não satisfaz a

2. Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação propriedade (M 2), pois não satisfaz a

Exercícios 1. Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:

2. Sejam e dois espaços vetoriais reais. Mostre que vetorial em relação às operações: e é um espaço

PROPRIEDADES: Seja 1. O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único. 2. Para cada vetor , existe um único vetor tal que , em outras palavras, o vetor oposto de u é único. 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . sendo que 8. . 9. Se e , então

SUBESPAÇO VETORIAL Definição: Um subconjunto não vazio é dito subespaço vetorial real de (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real considerando as operações restritas a ele. Teorema: Um subconjunto não vazio é um subespaço vetorial real se, e somente se: i) iii)

Exemplo e Contra-Exemplo de Subespaços Vetoriais 1. . W é subespaço vetorial 2. W não é subespaço vetorial Exercício: Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial real.