esk vysok uen technick v Praze Fakulta stavebn

České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební ZRCADLO Miloš Hüttner

Zadání úkolu „Jsou dány dva body v rovině. Určete tvar zrcadla, aby se všechny paprsky vycházejícího z jednoho bodu odrazily od zrcadla do druhého bodu. “

Geometrie y [xo; f(xo)] f´(x) f(x) M [-a; 0] 0 x N [a; 0]

Základní vztahy y α 1 α 2 x Musí platit: α 1 = α 2 => cos α 1 = cos α 2

skalární součin vektorů r 1 a n velikost vektoru r 1 velikost vektoru n skalární součin vektorů r 2 a n velikost vektoru r 2 velikost vektoru n

Uvědomme si, že předchozí vztah musí platit pro každé xo a f(xo) Tedy:

Postupně upravíme

U tohoto výrazu se zastavme Jak dále? ? ? ANALYTICKÁ CESTA NUMERICKÁ CESTA

Numerická cesta Dále tedy upravíme

Runge-Kuttova metoda 4. řádu Předpis: Kde:

Runge-Kuttova metoda 4. řádu Zvolené počáteční podmínky: a=2 xo = 0 yo= 2 Dostaneme Hodnoty vyneseme do grafu h = 0, 15

Přibližný tvar zrcadla

Mohlo by se jednat o elipsu. Nutno dokázat ANALYTICKÁ CESTA

Analytická cesta Co s tím? substituce

Platí: Dosadíme

Dostaneme tuto rovnici Musíme vyřešit Řešení uvedeno na str. 4

Odstraníme logaritmy

Provedeme sérii úprav:

Výsledkem je: rovnice ELIPSY!!! Druhé mocniny velikostí os Velikosti os jsou tedy: KTERÁ JE HLAVNÍ A KTERÁ VEDLEJŠÍ?

Vyšetřeme nerovnost Platí vždy Velikost hlavní osy Velikost vedlejší osy

Velikost excentricity = = = = Velikostí excentricity je vždy vzdálenost a, z toho vyplývá, že OHNISKY elipsy jsou vždy výchozí body M a N!!!

Tvar elips k se blíží 1 M k se blíží N

Shrnutí • Zrcadlo má tvar elipsy. • Velikost excentricita je vždy a. • Ohnisky jsou vždy výchozí body M a N • Proporce elipsy jsou závislé na koeficentu k a vzdálenosti výchozích bodů a.

Použitá literatura [1] Oficiální tahák MA 2, ČVUT fakulta stavební http: //mat. fsv. cvut. cz/BAKALARI/MA 2 SItahak. pdf [2] Přednášky MA 2, Doc. RNDr. Aleš Nekvinda, CSc. http: //mat. fsv. cvut. cz/nales/prednasky 2/kniha. pdf

Poděkování Doc. RNDr. Aleši Nekvindovi, CSc. RNDr. Ivaně Pultarové, Ph. D. a všem ostatním, kteří mi s prací pomáhali…

Děkuji za pozornost Miloš Hüttner