ESK AKDENZ MATEMATKLER Prof Dr Hatice Kandamar Ahmes

ESKİ AKDENİZ MATEMATİKÇİLERİ Prof. Dr. Hatice Kandamar

Ahmes (Rhind) Papirüsü n n n İ. Ö. 1700 -1600 yıllar arasında, Mısırlı Ahmes tarafından, önceden yazılan bilgilerin kopyası olarak yazıldığı söylenir. Bilgilerin kaynağı İ. Ö. 3400 lere kadar gider. 1858 yılında İskoç antikacı A. H. Rhind satın aldığı için adına Rhind papirüsü de denir. Sağdan sola hiyeratik karakterlerle yazılmıştır. 85 problemi içerir. Birim kesirler, doğrusal denklemler ve çözümleri, üçgen, dörtgen, yamuk, paralelkenarın alanları, trigonometriye ilk adım, dairenin alanı, benzer üçgenler.

Rhind Papirüsü (Hiyeratik-Hiyerolif)

Moskova Matematik Papirüsü n Yirminci hanedanlık döneminde yazıldığı sanılıyor (İ. Ö. 1890 larda) 1893 yılında V. S. Golonischev tarafından alınmıştır. 5 metre uzunluğunda, 8 cm eninde 25 problem içeriyor Ahmes papirüsünden farklı n Kesik pramidin hacmi hesaplanmıştır n n

Eski Mısırda Aritmetik Eski mısırda aritmetik 10 lu sayı sistemine dayanır. 10 ve 10 nun katları için özel simgeler kullanılır. Yazım sağdan sola veya soldan sağa doğru

Çarpma ardışık toplamalar yoluyla ele ediliyor. Bir sayının 13 ile çarpması 1 2 11 22 n n 4 44 n 8 88 13 143 n 11 ile 13 sayısının çarpımı Önce sayı yazılır (11) Sonra sayının iki katı yazılır(22) Elde edilen sayının iki katı bulunur (44) Bir kez daha iki kat alınır (88) Birinci üçüncü ve dördüncü sayılar toplanır (143)

Birim Kesirler Örnek 5 7 9 97

KESİRLER Mısırda birim kesirlere örnekler

Bazı problemlerin teorik yanları ağır n Bilinmeyenleri göstermek için hau veya aha denilen bir basıyor hiyerolif kullanıyorlar. n Problemler, değişik bira çeşitlerinin sertlik dereceleri, hayvanların beslenmesi, tahılın depolanması, ekmek ve yiyeceklerle ilgili.

Örnekler n n 100 somun ekmeği 5 kişi arsında, her birine düşen pay aritmetik olarak artacak ve en büyük üç payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak şekilde bölüştürülmesi problemi 7 evin her birinin 7 kedisi, her kedinin kovaladığı 7 fare…. problemi geometrik olarak artan bir serinin toplamını bildiklerini gösterir.

Eski Mısırda Geometri n Üçgenin alanı: A = a x h /2 n Dairenin Alanı: n Küp, paralelyüz, silindir ve kare pramitin, kesik kare pramitin hacmi biliniyor. Pi sayısının değeri olarak 256 / 81 = 3, 16. . 3 + 4 + 5 = 12 düğüm bulunan iple dik üçgen oluşturuyorlar. n n

Ahmes Papirüsünde Dairenin Alanı n n d dairenin çapı d kenarlı karenin her kenarı üç eşit parçaya bölünüyor. Dört köşede bulunan taralı alanlar atılıyor. Geriye kalan d çaplı dairenin alanı oluyor.

Eski Mısırda Astronomi n n n 1 yıl, 365 gün 1 yıl, 12 ay 1 ay 30 gün 5 tane bayram günleri İ. Ö. 4212 yında takvimin hesaplanmasında, büyük köpek yıldızına ait devre denen yöntemi kullanarak takvim oluşturduklarına dair öykü vardır.

Eski Mısırda Pramitler n n n Pramitlerin yapımına, İ. Ö. 4500 de başlanmış ve yapılmasına 2700 yıl devam edilmiştir. Önce küçük bir pramit yapılıyor, onun çevresine gittikçe daha büyük taşlardan kılıflar ekliyorlardı. Firavun mezarları olarak yapıldığı tahmin ediliyor. En bilinenleri Keops, Kefren, Mikerinos’tur. Günümüze 80 tanesi gelebilmiştir.

Mısır yazıları ve nehir aracı

Mezopotamya Matematiği

Geç Sümer Dönemine Ait Metinlerde İ. Ö 2100 n n n 10 lu sayı sistemi üzerine 60 lı sistemin eklendiği çarpım tabloları var. 1, 10, 20, 30, 40, 50 sayılarını gösteren çiviyazısı simgeler bulunur. 1 1 sayısı 61 anlamına gelir. 5 6 3 ün karşılığı 5 x 3600+6 x 60+3=1863 tür. Pers dönemine kadar sıfır özel bir simgeyle gösterilmedi.

Sümerler Zamanında n n n 1 saat 60 dakikaya bölünmüş, 1 dakika 60 saniyeye bölünmüş Daire 360 dereceye Her derece 60 dakikaya Her dakika 60 saniyeye bölünmüş

I. Babil Hanedanlığı Dönemine (İ. Ö. 1950) ait çivi yazısı metinlerde n n Birinci dereceden denklemlerle çözülen problemler İkinci hatta üçüncü derece denklemlerle çözülen problemler Bazı katsayılı dördüncü dereceden denklemlerin çözümü Basit düz çizgili geometrik şekillerin alan ve hacimleri

Örnek problem n İki karenin alanlarının toplamından oluşan A alanı 1000 birim karedir. Karelerden birinin kenarı, diğerinin kenarının 2/3 ünden 10 birim kısa olduğuna göre karelerin kenarlarının uzunluğu nedir? n n n 10 un karesini al, 100 elde edilir. 1000 den 100 ü çıkart 900 elde edilir… 1000 =16 x 60+40 900=15 x 60 Devam ediliyor Sonuç 30

Yeni Babil, Pers ve Selevkoslar Döneminde İ. Ö. 600 -İ. S. 300 n n n Değişik astronomik takvimler Günümüzde bile çözülmesi sayısal yeteneğe dayanan zor denklemlerin çözümü 60 lı tabana göre 17 basamağa kadar uzanan sayılarla işlemler yapıldı. Çarpım tabloları, sayıların terslerini, kareköklerini, küpköklerini gösteren listeler Özellikle şeklinde yazılabilen sayıların listesi

Geometri problemi ve Karekök Hesabı n A sayısının karekökünü İle hesaplıyorlar, n 2 nin kare kökü yerine 17/12 sayısını kullanıyorlardı. n Faiz problemleri çözüyorlardı

İki Bilinmeyenli Denklem Çözümü

ESKİ YUNAN n n n n Akdeniz bölgesinde İkinci Binin son yüzyıllarında büyük iktisadi ve siyasi değişiklikler oldu. Girit’teki Minos Uygarlığı ve Hitit İmparatorluğu yok oldu. Mısır ve Babil’in gücü azaldı. Museviler, Asurlular, Fenikeliler, Yunanlılar. İki büyük buluş; Eski Doğu yazısı yerini öğrenilmesi kolay olan alfabeye bıraktı ve madeni para ortaya çıktı. Anadolu ve Yunanistan kıyılarında yeni kentler kuruldu. Tüccar sınıfı üstünlüğü ele geçirdi. Uzun süre Milet öndeydi, sonra Korint, Atina, Kroton, Tarentum, Siracusa Mileti izledi.

ESKİ YUNAN 1. Syracuse 3. Elea 5. Tarentum 7. Elis 9. Stagira 11. Byzantium 13. Nicaea 15. Pergamum 17. Samos 19. Miletus 21. Rhodes 23. Chalcis 25. Alexandrea 2. Crotona 4. Rome 6. Cyrene 8. Athens 10. Abdera 12. Chalcedon 14. Cyzicus 16. Chios 18. Smyrna 20. Cnidus 22. Perga 24. Gerasa 26. Syene

Eski Yunan Matematiği n n n VI. Yüzyılın ilk yarısında Tales ile başlar. Eski Yunan matematiğinin temel amacı, insanın evrendeki yerini akılcı bir biçimde açıklamaktır. Açının üçe bölünmesi Küpün iki katına çıkarılması Dairenin kareleştirilmesi

TALES İ. Ö. 640 -548 Miletli Tales, bilgin, bilge, tüccar, politikacı ve iyi bir matematikçi. Milet’te okul kurdu ve Anaximander, Anaximedes, Mamercus gibi birçok öğrenci yetiştirmiştir. Mıknatısın çekim özelliğini ilk görenlerden biridir. Yunan şehirlerini bir konfederasyon haline getirmeyi istemiştir. İ. Ö. 585 yılın mayıs ayının 28. günü güneşin tutulacağını önceden tahmin etmiştir. Batı felsefesinin kurucusu sayılır. Ana maddenin su olduğunu söylemiştir.

n n n İkiz kenar üçgenin taban açıları birine eşittir. Ters açılar eşittir. Bir kenarı ve o kenara bitişik açıları verilen üçgen çizilebilir. Çapı gören çevre açı 90 derecedir. Benzer üçgenlerde, eşit açılar karşısında bulunan kenarlar orantılıdır. Tales’in bu teoremi ile yanına varılamayan uzaklıkların hesabı yapılabilmiştir.

Pisagor İ. Ö. 580 -495 n n n Sisam Adasında doğmuştur. Filozof, politikacı, matematikçi, fizikçi, mistik bir kişilik. Mısır ve Babil’e gitmiştir. Politik baskılardan kaçarak Kroton’a (İtalya) gitmiş ve orada felsefe okulunu kurmuştur. Gizli bir tarikatın başkanıdır.

n n n Sayılar kuramını disiplinli bir biçimde ortaya koymuş ve özelliklerini belirlemiştir. Yunanistan’da tümdengelimli aksiyomatik düşünceyi matematiğe Thales ve Pisagor sokmuştur. “Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor. ” demiştir. Dünyanın Güneş etrafında döndüğünü söylemiştir. “Doğadaki her şey matematiksel olarak açıklanabilir” demiştir.

Pisagor Teoremi n n Dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı hipotenüs üzerine kurulan üçgenin alanına eşittir. İlk yazılı ispat Euclides’e aittir.

ZENON İ. Ö. 495 -435 n n n Elea (İtalya) kentinde doğmuştur. Yunan düşünürü ve matematikçisidir. Atina’ya da gitmiştir. Paradoksları ile ünlüdür. Her türlü hareket olanaksızdır.

HİPPOCRATES İ. Ö. 470 -377 n n Chioslu Hippokrates Geometrinin Elemanları isimli kitabını, Euclides’ten yüzyıl önce yazmıştır. Dairenin kareselleştirilmesi problemini aycıklarla karelemeye çalışmış, özel halde kareleme olmuş fakat genelini yapamamıştır. Okulunda okuttuğu ilk geometri kitabında geometrik şekilleri harflerle isimlendirmiştir. Çemberi ve daireyi en ince noktalarına kadar Hippocrates incelemiştir. Bununla ilgili çok sayıda önerme ve teorem ispatlamıştır.

Hippocrates’in dairenin bir parçasını karelemesi n AD yarıçaplı bir çember ile BD yarıçaplı çember arasında kalan aycığın alanı ile ABCD karesinin alanı birbirine eşittir.

ARCHYTAS İ. Ö. 428 -348 n n Tarentum’da (İtalya) doğmuş ünlü bir Pisagorcudur. Geometri değil yalnız aritmetik derdi. Elements kitabını yazdı. Küpün iki katına çıkartılması probleminin çözümünde, koni ile silindiri kesiştirerek elde ettiği şekli kullanmıştır. Oranları müziğe uyguladı, yeni ses perdelerini ayırt eden aralıklar buldu.

n n Archytas’ın Oransızlar (İrrasyonel) Sayıları Doğal sayıların kareköklerini öğrencisi Theodorus ile birlikte pergel ve cetvelle ilk çizen Archytas’tır. Dik kenarları 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsü 2 sayısının karekökünü verir. Dik kenarlardan biri hipotenüs diğeri 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsü 3 sayısının kareköküdür.

n n n Makaraları ilk kez bulan ve mekanizmasını inceleyen Archytas’tır. Kuşların nasıl uçtuklarının mekanizmasını çizmiş, çocuk oyuncakları yapmıştır. Müzik, aritmetik, astronomi, varlık, bilgelik, ruh, duyu, yasa, adalet, ahlak, mekanik, tarım, eğitim ve flütler gibi konularda 60 kadar kitap yazdı.

EUDOXUS İ. Ö. 408? -355 n n Knidos’lu bir düşünür, astronom ve matematikçidir. Atina okulunda Archytas’ın yanında öğrenim gördü. Matematik dışında tıp öğrenimi yapmış ve doktor olmuştur. Tutarlı ve ciddi astronomi çalışmaları yapmıştır.

n n n Eudoxus, alan, hacim ve bazı cisimlerin yüzölçümleri üzerinde çalışmış ve bunlar hakkında birçok teorem ispatlamıştır. Güneş saatini bulan, yılın 365, 25 gün olduğunu saptayan ilk matematikçidir. Euclides, orantı kuramını Pisagorculardan değil, Eudoxus’tan almıştır. Alan ve hacim hesaplarında tüketme yöntemini ilk uygulayan yine Eudoxus olmuştur. Altın oranlar da onun tarafından incelenmiştir.

ALTIN ORAN n n n Birim kare çizilir. Karenin alt kenarının orta noktası merkez, merkezden karşı köşeye olan uzaklık yarıçap olmak üzere bir çember çizilir. Çemberin alt kenarının uzantısını kestiği nokta işaretlenir. Alt kenar uzunluğu Şekil dikdörtgene tamamlanır. Elde edilen dik dörtgene altın dikdörtgen denir.

Eudoxus’un evreni Evren, sabit olarak kabul edilen yere (Dünya) göre sıralanan yedi gezegenden oluşuyordu. Bunlar sırasıyla Ay, Merkür, Venüs, Güneş, Mars, Jüpiter ve Satürn idi.

Euclides İ. Ö. 330 -260 n n n Mısırın İskenderiye kentinde doğmuştur. I. Ptolemaios döneminde İskenderiye’de bir okul kurarak öğretmenlik yapmıştır. Elements adlı kitabını yazmıştır.

ELEMENTS n n n Verilen iki noktadan bir doğru geçirilebilir. Sonlu bir doğru istenildiği kadar uzatılabilir. Merkezi ve üzerindeki bir noktası verilen çember çizilebilir Tüm dik açılar birbirine eşittir. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin aynı yanında oluşan iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse doğrular uzatıldığında bu tarafta kesişirler.

n n n Genel Kabuller Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir. Eşit şeylere eşit şeyler katılırsa oluşan bütünler birbirine eşittir. Eşit şeylerden eşit şeyler çıkartılırsa kalanlar birbirine eşittir. Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir. Bütün, parçalardan büyüktür

Elements Kitabı Hakkında n n n İncilden sonra en çok basılan kitap. Kitap, Euclides’in ölümünden tam 700 yıl sonra İskenderiyeli Theon(365) tarafından tam olarak düzenlenmiş ve kopyalanmıştır. İlk baskısı İ. S. 1482 de yapılmıştır. Bu tarihten öncekiler el yazmaları olarak çoğaltılmıştır. 13 kitapta 465 tane önerme vardır. 2300 yıldır bu kitabı kullanıyoruz ve kullanmaya devam edeceğiz.

Elements Kitabının İçeriği n n n İLK DÖRT CİLT: Düzlem Geometri, Doğrular ve Açıların Temel Özellikleri, Üçgenlerin Eşitliği, Pisagor Teoremi , Alanı Verilmiş Dikdörtgenle Aynı Alana Sahip Kare Çizme, Altın Oran, Daire ve Düzgün Çokgenler 5. KİTAPTA: Eudoxus’un Oranlar Kuramı 6. KİTAPTA: Oranlar kuramı benzer düzlem şekillerine uygulanır. Çevresi aynı olan dikdörtgenlerin en büyüğü karedir. Yeniden Pisagor Teoremi ele alınır. Benzerlikler ele alınır.

n n n 7. - 9. KİTAPTA: Sayılar Kuramı, Bölünebilme, Geometrik Seriler Toplamı, Asal Sayıların Özellikleri, EBOB-Öklit Algoritması, Sonsuz Sayıda Asalın Varlığı 10. KİTAPTA: Geometrik Tartışmalar, İrrasyonel Sayılar (2. Derece Denklem Çözümleri), Köklerin Sınıflandırılması SON ÜÇ KİTAP (11 -13): Uzay Geometri, Paralelyüzlü-Prizma-Piramit-Küre Hacimleri, Platonun Beş Düzgün Katı Cismi Tartışılır.

Euclides’in Elements Kitabında Yer Alan İki Önerme

Pisagor Teoremi n n n n C köşesinde dik olan ABC üçgenini çizilir. AJKD = 2. ACD AFGC = 2. AFB ACD = AFB AJKD = AFGC Benzer şekilde BEKJ = BCHI ABED=AJKD+BEKJ =AFGC+BCHI

Pisagor teoreminin değişik dillere tercümesi

Sayılar Kuramı İle İlgili Örnek n Euclides matematik semboller kullanmamıştır. Geometride, Sayıları doğru parçası, iki sayının çarpımını dikdörtgen, üç sayının çarpımını dikdörtgenler pirizması olarak almıştır.

ARİSTARCHUS İ. Ö. 310 -230 n n n Samos (Sisam) adasında doğmuştur. Astronom ve bilgin Ay’ın ilk ve son dördün zamanlarında, yerkürenin Ay ve Güneş’e olan uzaklıklarını hesaplamıştır. Güneşin yarıçapı ile dünyanın yarıçapı arasındaki oranın 43/6 ile 19/3 arasında olduğunu hesaplamıştır. Hesaplamalar için izlediği yolun doğru olmasına karşın gözlemlerdeki ölçümlerin yanlış olması onu hatalı sonuçlara götürmüştür. Ay’daki kraterlerden biri halen onun adı ile anılır.

Dünya- Güneş- Ay n n n Ay’ın yarı karanlık kaldığı zamanda, Güneş ay ve Dünya arasında bir dik açı oluştuğunu saptadı. Güneş’in Ay’a göre Dünyadan 18 kat daha uzakta olduğu ve Dünyadan en az 300 kat daha büyük olabileceği sonucuna vardı. Böylesine büyük bir cisim olan Güneş’in Dünya etrafında dönmesi düşüncesine karşı çıktı.

Aristarchus’un hesapları

ARCHİMEDES (İ. Ö. 287 -212) n n n n Siraküzada doğdu. Astronom Fidiyas’ın oğlu. Büyük Matematikçi ve Fizikçi. Siraküza Kralı II. Hieron tarafından korundu. Mısır’a giderek Euclides’den ders aldı. Orada Conon ve Eratosthenes ile tanıştı. Kuramsal Matematikte ve mekanikte çok buluşu var. Basit aletlere çok önem vermiştir; kaldıraç, palanga, dişli çark… Bana bir dayanak noktası verin, Dünyayı yerinden oynatayım.

ARCHİMEDES n n Katı ve sıvıların mekaniği üzerinde bir çok çalışması vardır. Bir sıvıya batırılan her cisim, yerini değiştirdiği sıvının ağırlığı kadar kendi ağırlığından kaybeder. Pi sayısının hesabı, dairenin alanı, çember uzunluğu, değişik eğrilerle sınırlı alan hesapları yapmıştır. Eğrisel yüzeylerle sınırlandırılmış cisimlerin hacimlerini hesaplamak için genel yöntemler bulmuş, bu yöntemlerle silindir, küre, koninin yüzey alanı ve hacimlerini hesaplamıştır.

Archimedes Burgusu ve Archimedes Sarmalı

Pi Sayısının Hesabı, Tuzluk, Bir Açının Üçe Bölünmesi

Hacim hesapları

ERATOSTENES İ. Ö. 276 -194 n n n Yunanlı bir astronom, coğrafyacı, matematikçi ve düşünürdür. Asal sayıların bulunmasına yarayan Eratosthenes eleğini buldu. Dünya’nın yarıçapını ve çevresini hesapladı.

Apollonius İ. Ö. 267? -170? n n n Bergamalı Apollonius, Pamfiye denilen Teke sancağının Perga kentinde doğmuştur. Tümü geometriye ait yedi ya da sekiz kitabı vardır. Bir çok eseri kaybolmasına karşın bazı kitapları Pappus(İ. S. 285 -? ) tarafından derlenmiştir.

Konikler

Hipparcus İ. Ö. 160 -127 n n n Yunan astronomu ve matematikçisidir. Nikaia (Iznik) doğumludur. Trigonometriyi ilk kuran üstün zekalı biridir. Hipparchus üzerine olan bilgiler Amasyalı Strabon (İ. Ö. 66 - İ. S. 24) tarafından verilmiştir. Astrolabın Hipparchus tarafından bulunduğuna inanılır. Hipparchus’un yapıtları daha sonra Ptolemaios’ın yapıtlarında çok geçer.

Dünya, Güneş, Ay uzaklıklarının oranları

Heron (I. Yüzyıl) n n Mısırlı geometrici, mekanikçi ve tam bir mühendistir. Matematik üzerine çok sayıda kitabı vardır. Heron çeşmesi gibi çok sayıda mekanik aletin bulucusudur. Işığın yansıması, kırılması, aynalar ve mercekleri incelediği Yansıma adlı eseri vardır.

Heron’un Buhar Tribüni n n Bir buhar kazanının üzerinde serbestçe dönebilecek biçimde yerleştirilmiş içi boş bir küreden oluşur. Küre üzerindeki kıvrık borulardan kaçan su buharı kürenin sürekli olarak döndürülmesini sağlar.

Ptolemaios İ. S. 108 -168 n n n Yunanlı bir astronom, matematikçi ve coğrafyacıdır. Ptolemy ya da Batlamyus olarak bilinir. Tam kırk yıl fizik, matematik, coğrafya ve felsefe çalışmıştır. İskenderiye’de gözlemler yapmış, Hipparchus ve Eflatun’dan çok yararlanmıştır. On üç ciltlik eseri Arapçaya çevrilmiştir. Bu eseri daha çok Almagest olarak bilinir Haritaları ve gök yüzü çizimleri vardır.

Diophantus İ. S. 210 -294 n n n İskenderiye’de yaşamış ünlü bir matematikçi ve cebircidir. On üç kitaplık bir dizisi vardır. Denklemleri sembollerle çözen bir matematikçidir. Babilliler gibi denklem çözümlerinde işaretler ve gösterimler kullanmıştır. Onun bu yöntemi daha sonra Rönesans matematikçilerini çok etkilemiştir. 13 ciltlik Aritmatica isimli eseri vardır.

Toplamları 20 ve kareleri farkı seksen olan iki sayı bulunuz.

HYPATİA İ. S. 370 -415 n n İskenderiye okulunun son düşünürü ve matematik tarihinin ilk kadın matematikçisidir. Felsefeci ve matematikçi Theon’un kızıdır. Diophantus’un Aritmatikasını, Apollonius’un Koniklerini, Ptolemaios’un Astronomisini yorumladı ve kaleme aldı. İskenderiye papazı Cyrille’nin kışkırttığı halk tarafından taş ve sopalarla dövülmüş, derisi midye kabuğu ile yüzülerek tüm vücudu parçalanmış ve sokaklara atılmıştır.

Kaynakça n n n Aydın Sayılı, Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp, 1991, Türk Tarih Kurumu Basımevi Ali Dönmez, Matematiğin Öyküsü ve Serüveni, 2002, Toplumsal Dönüşüm Yayınları Dirk, J. Struik, Kısa Matematik Tarihi, 2002, Doruk Yayımcılık.