Esercizi con soluzione su calcolo combinatorio Livello elementare

Esercizi con soluzione su calcolo combinatorio Livello elementare, senza spiegazione delle formule usate

Disposizioni semplici Dn, k = n(n-1)(n-2)…. (n-k+1) n=7 , k=4 > D 7, 4 = 7*6*5*4 = 840 n=10, k=3 > D 10, 3 = 10*9*8 = 720 n=12 k, 4 > D 12, 4 = 12*11*10*9 = 11880 Con cifre 1, 3, 7, 9 distinte, quanti numeri con 2 cifre si possono ottenere? n=4 , k=2 > D 4, 2 = 4*3 = 12 1 3 5 7 Con 21 lettere, quante parole con 4 lettere si possono ottenere? N=21 , k=4 > D 21, 4 = 21*20*19*18 = 143640 a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z

Quanti oggetti si devono avere per ottenere 20 disposizioni semplici prendendoli 2 a 2 ? Dx, k = 20 ; x(x-1) = 20 >> x^2 -x-20=0 >> x = 5 Con 5 oggetti, ripetibili, presi 2 a 2, quante combinazioni con ripetizione sono possibili? n=5 , k =2 >> Cn, k = n(n+k-1)/k! = 5*6 / 2 = 15 Con 4 oggetti, ripetibili, presi 3 a 3, quante combinazioni con ripetizione sono possibili? n=4 , k =3 >> Cn, k = n(n+k-1)(n+k-2)/k! = 5*6*4 / 3! = 120/6 = 20

Disposizioni con ripetizione Dn, k = n^k Con 4 oggetti presi due a due, disposizioni con ripetizione possibili? n=4 , k=2 > 4^2 = 16 Con due oggetti presi 4 a 4 , c on ripetizioni, disposizioni possibili ? n = 2, k=4 > 2^4 = 16 Con sette oggetti presi 3 a tre, con ripetizione, disposizioni possibili? n= 7 , k = 3 > 7^3 = 343 Con numeri 1, 3, 5, 7 presi tre per volta, anche ripetendoli, quanti numeri con tre cifre si possono ottenere ? 1 3 5 7 n= 4 ; k =3 > D 4, 3 = n^k = 4^3 = 64

Con cifre 0, 1, 2, 3, 4 , distinte, prese 3 a 3 , numeri possibili? 0, 1 , 2, 3, 4 n=5, k= 3 > Dn, k = 5*4*3 = 60 60/5 = 12 numeri con iniziale 0 , vanno ignorati : 12*4 = 48 012 – 021 - 031 -041 …. . da ignorare 102 - 103 – 104 - 123……. 12 201 - 203 - 204 - 213……. 12 301. …………. … 12 401…………. . . … 12 Con cifre 0, 1, 2, 3 , 4, ripetibili, prese 3 a 3 , numeri possibili? 0, 1, 2 , 3 , 4 n=5 , k=3 > D 5, 3 = 5^3 = 125/5 = 25 numeri con iniziale 0, vanno ignorati : 125 -25=100 012………. . 25 da ignorare 123………. . 25 213………. . 25 312………. . 25 412………. . 25

Con le cifre 1, 2, 3, 4, 5 distinte, prese 3 a 3 : numeri possibili con inizio 1 ? 1, 2, 3, 4, 5 n = 5, k= 3 > D 5, 3 = 5*4*3 = 60 60/5 = 12 numeri con inizio 1 123… 132………. . 12 iniziano con 1 213… 234………. . 12 312… 323………. . 12 412… 423………. . 12 512… 521………. . 12 Con le cifre 1, 2, 4, 6, 8 , ripetibili, prese 3 a 3: numeri dispari possibili? 1, 2, 3, 6, 8 n=5, k=3 > D 5, 3 = 5^3 = 125/5 = 25 numeri che finiscono con 1 o 2 o 4 o 6 0 8 125 -100 = 25 dispari

Calcolare permutazioni possibili con 6 oggetti n=6 P 6 = n! = 6! =*2*3*4*5*6 =720 Calcolare numeri di 5 cifre distinte possibili usando 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, , 5 n = 5 Pn = P 5 = n! = 5! = 120 Con le cifre distinte 0, 1, 2, 3, 4, quanti sono i numeri di 5 cifre possibili? 0, 1, 2, 3, 4 n=5 > Pn = P 5 = 5! = 120 / 5 = 24 gruppi che iniziano con 0, 1, 2, 3, 4 ignorare 24 gruppi che iniziano con 0 120 -24 = 96 numeri possibili 01234…. . 24 ignorare 12340…. . 24 23410…. . 24 32104…. . 24 43210…. . 24

Calcolare numero permutazioni 4 oggetti dei quali 2 uguali n=4 > Pn = n! / c! = 4! / 2! = 1*2*3*4 / 2 = 12 Calcolare numero permutazioni 7 oggetti dei quali 2 e 3 uguali n=7 > Pn, s, c = P 7, 2, 3 = 7! / 2!3! = 1*2*3*4*5*6*7 / 2*(1*2*3) =4*5*6*7/2 =420

Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola lodare n=6 Pn = P 6 = 6! = 1*2*3*4+5*6 = 720 Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola votare n=6 Pn = P 6 = 6! = 720 Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola potere n = 6 Pn, x = P 6, 2 = 6! / 2! 720 / 2 = 360 Calcolare numero di anagrammi possibili con la parola toppata n=7 Pn, x, y, z = P 7, 2, 2, 2 = 7! / 2!2!2! = 5040 / 8 = 630 Calcolare numero di allineamenti possibili con 5 oggetti distinti n =5 Pn = P 5 = 5! = 120

Calcolare numero combinazioni semplici con 6 oggetti distinti, 2 a 2 n=6 , k=2 > Cn, k = C 6, 2 = n! / (n-k)!k! = 6! /(4!)*2! = 720 / 48 = 15 Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 4 a 4 n=10 , k = 4 > Cn, k = C 10, 4 = 10! / (6!)(4!)=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10/(1*2*3*4*5*6)(1*2*3*4) = =7*8*9*10/1*2*3*4 = 5040/24 = 210

Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 6 a 6 n=10 , K =6 > Cn, k = C 10, 6 = 10! / (4!)(6!) = =1*2*3*4*5*6*7*8*9*10/ (1*2*3*4)(1*2*3*4*5*6)= =5*6*7*8*9*10 / 1*2*3*4*5*6 = 151200 / 720 = 210 Calcolare numero combinazioni semplici con 10 oggetti distinti, 5 a 5 n=10 , k=5 > Cn, k = C 10, 5 = 10! /(5!) = =1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / (1*2*3*4*5)*120 = =6*7*8*9*10 /120 = 30240 / 120 = 252

Calcolare numero combinazioni semplici con 12 oggetti distinti, 4 a 4 n=12 , K =4 > Cn, k = C 12, 4 = 12! / (8!)(4!) = = 11880 / 24 = 495 Calcolare numero combinazioni semplici con 12 oggetti distinti, 3 a 3 n=12 , k=3 > Cn, k = C 12, 3 = 12! /(9!)(3!) = 1320 / 6 = 220

Calcolare numero di ambi possibili con 90 numeri lotteria 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. . 90 n=90 , k=2 > Dn, k = D 90, 2 = 90* (90 -1)/(2!) = 90*89 / 2 = 8010 / 2 = 4005 Calcolare numero di cinquine possibili con i 90 numeri della lotteria 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. 90 n=90, k=5 > Dn, k = D 90, 5 = 90(90 -1)(90 -2)(90 -3)(90 -4)/5! = 90*89*88*87*86 / 120 = 43949268

Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in quadrilateri B A n=4 ; K = 2 AB BC CD DA AC BD D Dn, k = n(n-1)/k! = 4(3)/2 = 6 Da 6 togliere 4 lati = 2 diagonali C A A D B B C D C

Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in pentagono n=5 ; k=2 Dn, k = D 5, 2 = 5*4/2 = 10 Da 10 togliere 5 lati > 5 diagonali 5 AB BC CD DE EA A B E D C 5 AC AD EB EC DB

Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in esagono n=6 ; k=2 Dn, k = D 6, 2 = 6*5/2 = 15 Da 15 togliere 6 lati > 9 diagonali 3 a 3 b 2 c f 6 9 ab bc cd de ef fa ac ad ae bd be bf ce cf df e d 1

B 7 n=10 ; k=2 Dn, k = D 10, 2 = 10*9/2 = 45 7 A 10 AB BC CD DE EF FG GH HK KJ JA C 6 BJ BK BH BG BF D 5 BE BD j E 4 K F 3 H 1 Da 45 togliere 10 lati > 35 diagonali G 2 GJ GK CJ CK CH CG CF CE FJ FK FH HJ Disegnare, contare, calcolare numero di diagonali possibili in decagono AC AD AE AF AG AH AK DJ DK DH DG DF EJ EK EH EG