Erhvervskonomi Managerial Economics Lnetyper Annuitet Kjeld Tyllesen PE

Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Lånetyper Annuitet Kjeld Tyllesen PEØ, CBS Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 1

Det er formålet at - Redegøre for Annuitetslån som lånetype for tilbagebetaling af lån - Forklare sammenhænge og beregningsmetoder for restgæld, ydelse, renter, afdrag m. v. - Vise og gennemgå tal-eksempler på ovenstående Rent principielt og skematisk har låneoptagelse og tilbagebetaling heraf følgende likviditetsforløb Tid Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 2

Når der optages et lån, kan der til selve optagelsen være knyttet en række omkostninger så som - Ekspeditionsgebyr til låneformidler, f. eks. til bank eller ejendomsmægler - Gebyr til långiver - Afgift til det offentlige - Kurstab/-gevinst - etc. Uanset om disse beløb betales særskilt eller fradrages låneprovenuet, før dette udbetales til låntager, skal vi til nærværende formål bruge lånets hovedstol Altså det beløb, som vi skylder långiver og som skal forrentes og tilbagebetales Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 3

Dette beløb kan også findes i lånedokumentet, hvori betingelserne for lånet er fastsat Dernæst skal vi ved tilbagebetalingen af lånet skelne mellem tidspunktet for - beregning og tilskrivning og - betaling af følgende 3 grundydelser, nemlig - afdrag, som nedbringer restgælden, - renter, som jf. teorien (se f. eks. filmen om Kalkulationsrente) er en kompensation for 1. Afsavn og 2. Risiko og som beregnes på grundlag af Restgælden på lånet - øvrige gebyrer, som kan have beregningsgrundlag, der er Tyllesen, CBS, PEØ 4 uafhængige af. Kjeld lånet

Vi har i Danmark en udstrakt grad af aftalefrihed. Derfor er vores udgangspunkt, at foranstående forhold alle frit kan kombineres på de måder, som låntager og långiver selv ønsker at aftale Ved lån til visse formål kan aftalefriheden dog være begrænset. Det drejer sig f. eks. om lån, som ydes af Realkreditinstitutioner til finansiering af køb af private boliger og ejendomme til erhvervsmæssige formål Men med dette in mente er kombinations- og variationsmulighederne ved tilbagebetaling af lån uendelige, så vi vil derfor starte med følgende forsimplende forudsætninger: Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 5

Rentesatsen, som betales af långiver, er konstant i hele lånets forløb - Renter beregnes på grundlag af restgæld primo og er altså, hvad vi kalder ”efterbetalte” - Renter betales kontant ved periodens slutning Der er findes ingen ”øvrige gebyrer” så som Administrationsbidrag til kreditforeninger etc. Den valgte afdragsprofil er uændret i hele lånets løbetid Afdrag på lånet betales kontant ved periodens slutning og er altså også ”efterbetalte” Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 6

Foranstående forudsætninger kan virke restriktive, men i praksis har der udviklet sig kotumer, som gør, at langt de fleste indgåede låneaftaler ude i det virkelige liv ligger indenfor disse ”alligevel i praksis ikke så restriktive forudsætninger” Som en væsentlig undtagelse har vi Realkreditlån til finansiering af anskaffelsen af fast ejendom, hvor der optræder ikke uvæsentlige Administrationsbidrag , altså gebyrer Efterfølgende vil visse af foranstående restriktioner blive udfordret, men langt fra alle For i praksis er kombinationsmulighederne altså i praksis nærmest uendelige, når der netop er en udstrakt grad af aftalefrihed vedr. disse forhold Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 7

På den baggrund kan vi fastslå, at der grundlæggende er følgende 4 måder at tilbagebetale hovedstolen for et lån på: 1. Ingen afdrag i løbetiden, hele lånet tilbagebetales ved lånetidens udløb. Dette er altså, hvad der også kaldes ”Stående lån” 2. Lånets hovedstol afdrages med lige store beløb ult. hver periode. Dette kaldes også Serielån 3. Lånet tilbagebetales ult. hver periode med en ydelse, der er konstant i hele lånets løbetid. Denne lånetype kaldes også for Annuitetslån 4. Såvel Afdrag på lånets hovedstol som de periodevise Ydelser eller Renter aftales individuelt Her behandles pkt. 4, Annuitetslån. Pkt. 1 – 3 behandles i filmen ”Lånetyper – Stående, Serie, Individuelt” Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 8

For alle de efterfølgende lån gælder rent principielt, at Ydelsen = Afdragn + renten + Administrationsbidrag/gebyrern => Ydelsen = Afdragn + (Restgældn-1 * r) + Administrationsbidrag/gebyrern Jf. forudsætningerne foran er der p. t. ingen Administrationsbidrag/gebyrer, så Ydelsen = Afdragn + Restgældn-1 * r Vi ser nu på Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 9

Annuitetslån. Lånet tilbagebetales ult. hver periode med en ydelse, der er konstant i hele lånets løbetid. Denne lånetype kaldes også for Annuitetslån Nedenstående annuitetslån er efterfølgende udregnet for hver periode Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 10 1. 000 5% 10

Afdrag 2 = Ydelse – Rente 2, ∑Restgæld Ydelse = ∑Rente + Annuitetslån: Kontrol: hern ==129, 50 – 46, 02 = 83, 48 Rente n-1 * r, her ∑Afdrag ∑ Afdrag*= =0, 05 Hovedstol, her 1. 000 10 Løbetid Restgæld 920, 50 = 46, 02 Restgæld Afdrag 2 1 2, Ydelse = Uændret, da Hovedstol her annuitetslån = 920, 50 – 83, 48 = 837, 02 1. 000 Pålydende rente på lån = 5% -10) * 1. 000 Ydelse. N 10==Ydelse 0, 05/(1 Etc. , N indtil: (1 + 0, 05) Afdrag –– Rente , altså vandret N N Restgæld 0 1. 000, 00 1 920, 50 2 837, 02 Restgæld efter sidste 3 749, 36 periodes afdrag = 0 4 657, 33 5 560, 69 6 459, 22 7 352, 67 8 240, 80 9 123, 34 10 0, 00 I alt: Rente 50, 00 46, 02 41, 85 37, 47 32, 87 28, 03 22, 96 17, 63 12, 04 6, 17 295, 05 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Lånets hovedstol Afdrag n = Ydelse – Renten, her = 129, 50 - 50 Rente n = Restgældn-1 * r, her =Restgæld 1. 000 * 0, 05 = 50 n = Restgældn-1 Afdrag Ydelse n=, her r/(1=– 1. 000 (1 + r)–-N 79, 50 ) * Hovedstol Ydelse 129, 50 129, 50 129, 50 1. 295, 05 Afdrag 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 96, 64 101, 47 106, 54 111, 87 117, 46 123, 34 1. 000, 00 11

Afdrag udvikler sigi Ydelser, IKKE lineært, men m. v. eksponentielt over tid. Grafisk pr. kanårudviklingen Restgæld over tid illustreres Det kan være lidt svært at se for et 10 -årigt lån. Ved et lån med en således løbetid på 30 år kommer dette forhold mere tydeligt frem 140. 00 Afdrag/år 120. 00 100. 00 Kr. 80. 00 60. 00 40. 00 20. 00 År 0 2 80. 00 4 6 30 -årigt annuitetslån 8 10 12 60. 00 År 40. 00 20. 00 0 5 10 15 År Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 20 25 30 35 12

Restgælden udvikler sig derfor heller IKKE lineært over tid. Det kan være lidt svært at se for et 10 -årigt lån. Ved et lån med en løbetid på 30 år kommer dette forhold mere tydeligt frem 1, 200. 00 Restgæld ult. 1, 000. 00 800. 00 Kr. 600. 00 400. 00 Annuitetslån: 200. 00 - 0 2 År 4 6 År 8 10 12 30 -årigt annuitetslån 1, 200. 00 1, 000. 00 800. 00 600. 00 400. 00 200. 00 0 5 10 15 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 20 25 År 30 35 13

Rentebeløbet i hver ydelse udvikler sig derfor heller IKKE lineært over tid. Det kan også være lidt svært at se for et 10 -årigt lån. Ved et lån med en løbetid på 30 år kommer dette forhold mere tydeligt frem 60. 00 50. 00 40. 00 Kr. 30. 00 20. 00 10. 00 - 60. 00 50. 00 40. 00 År 30. 00 20. 00 10. 00 - Rente/år 0 2 4 6 8 År 10 12 30 -årigt annuitetslån 0 5 10 15 År 20 25 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 30 35 14

Ydelsen pr. år er konstant – en annuitet 140. 00 120. 00 100. 00 80. 00 Kr. 60. 00 40. 00 20. 00 - Ydelse/år 0 2 4 6 8 År 10 12 Jf. ovenfor er fordelingen af den totale Ydelse mellem Rente og Afdrag ikke lineær, men eksponentiel. Se det 30 -årige lån nedenfor 30 -årigt annuitetslån 70. 00 60. 00 50. 00 40. 00 År 30. 00 20. 00 10. 00 - Rente Afdrag 0 5 10 15 20 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 25 30 35 År Ydelse 15

Hvad er det, der sker i et annuitetslån? Her ser vi på de første 4 år: Annuitetslån: Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 10 år 1. 000 kr. 5% p. a. Restgæld 1. 000, 00 920, 50 837, 02 749, 36 657, 33 Rente 50, 00 46, 02 41, 85 37, 47 Ydelse 129, 50 Afdrag 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 Fordi Ydelsen = Afdragn + renten er konstant, falder rente-beløbet i den næste ydelse med Renten af den foregående periodes afdrag – og dette fald i rente-delen tillægges så afdraget, da Ydelse = Rente + Afdrag Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ er konstant 16

Idet N = lånets løbetid og n = aktuel periode, har annuitetslånet altså som karakteristika, at Afdragn+1 – Afdragn = Afdragn * r => Afdragn+1/Afdragn = 1 + r Afdrags-delen af ydelsen vokser altså med (1 + r) pr. år Eksempel fra foregående slide: Afdrag 3 = Afdrag 2* (1 + r) => Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 87, 65 = 83, 48 * (1 + 0, 05) 5% p. a. Restgæld 1. 000, 00 920, 50 837, 02 749, 36 657, 33 Rente 50, 00 46, 02 41, 85 37, 47 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Ydelse 129, 50 Afdrag 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 17

Dermed bliver Afdragn = Afdrag 1 * (1 + r)n-1 Eksempel fra foregående slide: Afdrag 4 = Afdrag 1 * (1 + r)4 -1 => Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 92, 04 = 79, 50 * (1 + 0, 05)3 5% p. a. Restgæld 1. 000, 00 920, 50 837, 02 749, 36 657, 33 Rente 50, 00 46, 02 41, 85 37, 47 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Ydelse 129, 50 Afdrag 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 18

Dermed bliver Renten = Ydelse - Afdrag 1 * (1 + r)n-1 Eksempel fra foregående slide: Rente 3 = Ydelse – Afdrag 1 * (1 + 0, 05)3 -1 => 41, 85 = 129, 50 - 79, 50 * (1 + 0, 05)2 Da annuiteten er efterbetalt, bliver Restgældn = (Ydelse - Afdrag 1 * (1 + r)n)/r Eksempel fra foregående slide: Restgæld 3 = (Ydelse – Afdrag 1 * (1 + 0, 05)3)/0, 05 => 749, 36 = (129, 50 – 79, 50 * (1 + 0, 05)3)/0, 05 Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 5% p. a. Restgæld Rente 1. 000, 00 920, 50 50, 00 837, 02 46, 02 749, 36 41, 85 Kjeld Tyllesen, 37, 47 CBS, PEØ 657, 33 Ydelse 129, 50 Afdrag 79, 50 83, 48 87, 65 19 92, 04

Dermed bliver Restgældn = Restgældn-1 - Afdrag 1 * (1 + r)n-1 Dermed bliver Restgæld 3 = Restgæld 3 -1 - Afdrag 1 * (1 + 0, 05)3 -1 => 749, 36 = 837, 02 – 79, 50 * (1 + 0, 05)2 Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 5% p. a. Restgæld 1. 000, 00 920, 50 837, 02 749, 36 657, 33 Rente 50, 00 46, 02 41, 85 37, 47 Ydelse Afdrag 129, 50 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 Så den eksponentielle – og altså IKKE lineære – udvikling ses igennem (1 + r)n-1 – leddene på siderne ovenfor Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 20

Ved en grafisk baseret sammenligning bliver forskellene tydelige 140. 00 Afdrag/år 120. 00 100. 00 Kr. 80. 00 Serielån: 60. 00 40. 00 20. 00 0 2 4 6 8 1, 200. 00 10 12 År Stående lån Restgæld ult. 1, 000. 00 800. 00 Kr. Serielån: Annuitetslån: Stående lån: 600. 00 400. 00 200. 00 - 0 2 4 6 År 8 10 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 12 21

60. 00 Rente/år 50. 00 40. 00 Serielån: Annuitetslån: Stående lån: Kr. 30. 00 20. 00 10. 00 - 0 2 4 6 År 8 10 12 For at få et mere tydeligt billede fjernes ”Stående lån” 1, 200. 00 160. 00 140. 00 1, 000. 00 120. 00 800. 00 100. 00 80. 00 Kr. 600. 00 60. 00 40. 00 200. 00 20. 00 -- Ydelse/år Serielån: Annuitetslån: Stående lån: 00 22 44 66 År År 88 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 1010 12 12 22

Forudbetalte ydelser Nu ændres det til, at ydelserne bliver forudbetalte; de betales altså primo perioden Rent principielt og skematisk har låneoptagelse og tilbagebetaling heraf altså nu følgende likviditetsforløb 1 periode Tid Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 23

Når man i stedet betaler en efterbetalt ydelse primo perioden, skal man således have forrentet ydelsen med r% Det gælder derfor, at Ydelse. Forudbetalt, år N = Ydelse. Efterbetalt, år N+1/(1 + r) Ved det foranstående annuitetslån bliver Ydelse. Forudbetalt = 129, 50/(1 + 0, 05) = 123, 34 Annuitetslån: Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = N 0 1 2 10 år 1. 000 kr. 5% p. a. Restgæld 1. 000, 00 920, 50 837, 02 Rente 50, 00 46, 02 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Ydelse 129, 50 Afdrag 79, 50 83, 48 24

Ved efterbetalte Annuitetslån er Renten = Restgældn-1 * r Ved forudbetalte Annuitetslån er Renten = Restgældn-1 * r Eksempel fra foranstående: Rente 3 = Restgæld 2 * 0, 05 = 713, 68 * 0, 05 = 35, 68 Annuitetslån: Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 10 år 1. 000 kr. 5% p. a. Restgæld 876, 66 797, 16 713, 68 626, 02 533, 99 Rente 0, 00 43, 83 39, 86 35, 68 31, 30 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Ydelse 123, 34 123, 34 Afdrag 123, 34 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 25

Ved efterbetalte Annuitetslån er Restgældn = Restgældn-1 – Afdragn Også ved forudbetalte Annuitetslån er Restgældn = Restgældn-1 – Afdragn Eksempel fra foranstående: Restgæld 3 = Restgæld 3 -1 – Afdrag 3 => 626, 02 = 713, 68 – 87, 65 Annuitetslån: Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = N 0 1 2 3 4 10 år 1. 000 kr. 5% p. a. Restgæld 876, 66 797, 16 713, 68 626, 02 533, 99 Rente 0, 00 43, 83 39, 86 35, 68 31, 30 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ Ydelse 123, 34 123, 34 Afdrag 123, 34 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 26

For forudbetalte annuitetslån ser alle betalingsrækkerne nu således ud: Annuitetslån: Løbetid Hovedstol Pålydende rente på lån = 10 år 1. 000 kr. 5% p. a. N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Restgæld 876, 66 797, 16 713, 68 626, 02 533, 99 437, 35 335, 88 229, 34 117, 46 0, 00 I alt: Rente 0, 00 43, 83 39, 86 35, 68 31, 30 26, 70 21, 87 16, 79 11, 47 5, 87 0, 00 Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 233, 38 Ydelse 123, 34 123, 34 123, 34 0, 00 1. 233, 38 Afdrag 123, 34 79, 50 83, 48 87, 65 92, 04 96, 64 101, 47 106, 54 111, 87 117, 46 0, 00 1. 000, 00 27

Så derfor vil jeg blot sige ”tak for nu. ” Kjeld Tyllesen, CBS, PEØ 28