Equazioni di secondo grado quale e perch vera

Equazioni di secondo grado: quale è (e perché è vera) la formula risolutiva? Inizialmente questa presentazione era completamente senza parole. Un giorno i ragazzi della IIA 2008/09 hanno provato a sentire quel che avevano da dire le equazioni e lo hanno messo per iscritto. Ora sta a te scegliere fra le loro 5 diverse versioni. Segnalami tutti i codici diapositiva che preferisci ed io apporterò l'opportuna selezione preparando una dispensa tutta tua

Equazioni complete 1 A Prendiamo un’equazione di secondo grado

Equazioni complete 1 C Per cominciare a lavorare su un’equazione di secondo grado dobbiamo trasportare tutti i numeri al primo membro in questo ordine.

Equazioni complete 1 D Si parte da questa equazione perché contiene un termine di secondo grado, uno di primo grado e un termine noto.

Equazioni complete 2 A Vogliamo trovare il quadrato di un binomio in questa equazione e quindi, per iniziare, moltiplichiamo tutto per “a”.

Equazioni complete 2 B Moltiplichiamo per “a” entrambi i membri perché dobbiamo ottenere il quadrato del binomio.

Equazioni complete 2 C Guardando bene l’equazione possiamo ricondurla ad un quadrato di binomio. Per ottenerlo dobbiamo: - moltiplicare tutta l’equazione per “a”, così otteniamo il quadrato del primo termine

Equazioni complete 2 D Bisogna mettere al secondo grado anche il termine “a”, perciò si moltiplica per “a” entrambi i membri.

Equazioni complete 2 E Moltiplichiamo ogni membro per “a”ottenendo….

Equazioni complete 3 A Abbiamo trovato il primo quadrato e ora dobbiamo cercare di ottenere il doppio prodotto.

Equazioni complete 4 A Per farlo moltiplichiamo per 2 tutta l’equazione

Equazioni complete 4 A Per farlo moltiplichiamo per 2 tutta l’equazione

Equazioni complete 5 A Come si può notare il primo termine non è più un quadrato, infatti il 2 non è un quadrato di un numero razionale

Equazioni complete 6 A Così moltiplichiamo ancora tutto per 2.

Equazioni complete 7 I gruppi B-C-D-E arrivano direttamente qui, dando per scontati i passaggi precedenti

Equazioni complete 8 A Manca il quadrato del II° termine. Perciò aggiungiamo e sottraiamo b 2. In questo modo non cambieremo il valore dell’equazione. Abbiamo scelto b e non c perché solo la prima compare nel doppio prodotto.

Equazioni complete 8 B Aggiungiamo b 2 e allo stesso tempo lo sottraiamo (-b 2) perché così il risultato non cambia. Abbiamo scelto b 2 perché, avendo 4 abx dobbiamo trovare il termine di secondo grado che ci manca per completare il quadrato del binomio.

Equazioni complete 8 C Per essere un doppio prodotto, al secondo termine manca b 2 quindi per ottenerlo aggiungiamo b 2 ma successivamente la “togliamo” così il valore dell’equazione rimane invariato.

Equazioni complete 8 D Aggiungendo e togliendo cose uguali, l’equazione non cambia perciò inseriamo b 2 e -b 2 nell’equazione.

Equazioni complete 8 E Da qui aggiungiamo +b 2 per trovare il quadrato di un binomio, ma allo stesso tempo aggiungiamo -b 2 per non cambiare il risultato dell’equazione.

Equazioni complete 9 C Usando la proprietà associativa della moltiplicazione, raggruppiamo i primi tre membri.

Equazioni complete 9 D Mettendo le parentesi si forma il quadrato di un binomio.

Equazioni complete 10 A Abbiamo trovato il quadrato di binomio ed ora lo scomponiamo.

Equazioni complete 10 C Nei primi tre termini si può riconoscere il quadrato di un binomio e lo riscriviamo in forma base.

Equazioni complete 10 E Poi troviamo la formula iniziale del quadrato di binomio.

Equazioni complete 11 A Non dimentichiamo però che dobbiamo trasportare i termini senza la x nel secondo membro.

Equazioni complete 11 B Portiamo al secondo membro tutti i termini che non fanno parte del quadrato, cambiandoli di segno. Si può notare che nessuno di questi ha la x.

Equazioni complete 11 D Ora trasportiamo i termini fuori dalla parentesi dalla parte opposta dell’uguale perché non contengono la x.

Equazioni complete 12 A Ora mettiamo sotto radice i due membri per evitare così che x sia alla seconda.

Equazioni complete 12 B Per togliere al primo membro l’esponente alla seconda dobbiamo inserire la radice quadrata a entrambi i membri. Abbiamo messo davanti alla radice il perché ci possono essere 2 possibili soluzioni.

Equazioni complete 12 D Per liberarci dell’esponente, mettiamo tutto sotto radice quadrata. Si mette prima della radice quadrata il perché la x può avere più soluzioni.

Equazioni complete 12 E Successivamente mettiamo i membri sotto radice quadrata semplificando il quadrato di binomio (2 ax+b), poi davanti alla radice del secondo membro mettiamo perché il entrambi i casi il risultato rimane b 2 -4 ac.

Equazioni complete 13 A Per isolare la x dobbiamo portare al secondo membro la b mettendolo fuori dalla radice quadrata.

Equazioni complete 13 B Trasportiamo il termine noto del I° membro al secondo cambiandolo di segno.

Equazioni complete 13 D Ora si trasporta +b dall’altro membro fuori dalla radice quadrata per isolare la x.

Equazioni complete 13 E La +b del primo membro (non avendo la x) va trasportata al secondo membro.

Equazioni complete 14 A Poi dividiamo entrambi i membri per 2 a per trovare i valori di x.

Equazioni complete 14 B Per isolare la x dobbiamo dividere da ambo le parti per 2 a.

Equazioni complete 14 C Siccome vogliamo isolare la x dividiamo entrambi i membri per 2 a.

Equazioni complete 14 D Si divide 2 a per entrambi i membri.

Equazioni complete 14 E Poi dividiamo i due membri per 2 a trovando la x (equazione di primo grado).

Equazioni complete 15 B Abbiamo trovato così la formula per risolvere le equazioni di secondo grado.

Equazioni complete 15 D Così facendo l’equazione finale risulta:

Equazioni complete 16 Ecco le due soluzioni viste separatamente.

Equazioni complete 17 Secondo te: • Quando succede che sotto radice risulti un numero negativo? • Cosa succede se sotto radice risulta un numero negativo?