EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE La seguente presentazione

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE La seguente presentazione è un esempio di unità didattica contestualizzabile in un percorso didattico riferito al programma di matematica di un istituto professionale. E’ rivolta non solo agli studenti di una classe seconda superiore, ma anche agli adulti che intendono conseguire il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una formazione a distanza. L’unità didattica è ampliabile e integrabile con l’interazione diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla piattaforma on line o in presenza dell’insegnante

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO METODOLOGIA Poiché acquisire la tecnica per risolvere equazioni di 2° grado è fondamentale per tutto il percorso didattico che seguirà, l’unità didattica è stata sviluppata mettendo in rilievo le nozioni basilari e i saperi essenziali che consentono allo studente di raggiungere tale obiettivo. A tale scopo, dopo la trattazione di ogni unità di apprendimento sono stati introdotti: Ø esercizi svolti per esemplificare regole ed applicazioni; Ø esercizi guidati permettere allo studente sia di verificare immediatamente quanto appreso sia di ottenere gratificazione e motivazione; Ø esercizi da svolgere. Al termine dell’unità didattica: Ø brevi test o domande a risposta aperta consentono un ripasso generale dell’argomento. Ø Link utili per un lavoro di personale approfondimento.

EQUAZIONI DI 2° GRADO PREREQUISITI Per affrontare questa unità didattica lo studente deve saper: ØEseguire operazioni con numeri naturali, interi relativi e razionali relativi ØRisolvere equazioni di primo grado ØCalcolare radici quadrate OBIETTIVI In questa unità didattica lo studente imparerà: Ø A riconoscere la forma normale di un’equazione di II grado Ø A distinguere tra equazioni complete, pure e spurie Ø A conoscere ed applicare la formula risolutiva Ø A conoscere il significato del discriminante Ø A risolvere equazioni complete, pure e spurie

CONTENUTI Ø Ø Ø Equazioni complete Formula risolutiva Significato del discriminante Equazioni incomplete pure Equazioni incomplete spurie Libro di riferimento: Mario Lepora ELEMENTI DI MATEMATICA per gli Istituti Professionali vol 2 Petrini editore

EQUAZIONI COMPLETE La forma normale di un’equazione di 2° grado completa è: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c numeri reali e a ≠ 0

FORMULA RISOLUTIVA Per risolvere un’equazione di secondo grado completa si applica la formula: x = - b ± √b 2 – 4 ac 2 a L’espressione che appare sotto il segno di radice b 2 – 4 ac si chiama discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca ∆ ( delta ).

SIGNIFICATO DEL DISCRIMINANTE Il segno di ∆ determina le soluzioni di un’equazione di secondo grado: Se ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte Se ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti Se ∆ < 0 L’equazione non ammette soluzioni

ESEMPIO 1 x 2 – 4 x + 3 = 0 a = 1, b = - 4, c = 3 ∆>0 x = 4 ±√ 16 – 4· 1· 3 = 4 ±√ 4 = 4 ± 2 2 X 1 = 1 DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE X 2 = 3

ESEMPIO 2 x 2 + 6 x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9 ∆=0 x = -6 ±√ 36 – 4· 1· 9 = 4 ±√ 0 = 4 ± 0 2 2 2 X 1 = 2 DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI X 2 = 2

ESEMPIO 3 x 2 + x + 5 = 0 a = 1, b = 1, c = 5 ∆<0 x = -1±√ 1– 4· 1· 5 = -1±√-19 2 2 EQUAZIONE IMPOSSIBILE

Esercizio guidato 1 8 x 2 -10 x + 3 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = 10 ±√ 100 – 96 = 16 Le soluzioni sono: x 1 = x 2 =

Esercizio guidato 2 3 x 2 + 4 x + 5 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = - 4 ±√ 16 – 60 = 6 Le soluzioni sono:

Esercizio guidato 3 4 x 2 - 28 x + 49 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = 28 ±√ 784 - 784 = 8 Le soluzioni sono:

Soluzioni esercizi guidati equazioni complete 1. x 1 = 1/2 x 2 = ¾ 2. L’equazione non ammette soluzioni reali 3. x 1 =x 2 = 7/2

Esercizi da svolgere x 2 - 2 x - 8 = 0 2. 15 x 2 - 7 x - 4 = 0 3. x 2 + 4 x - 12 = 0 4. x 2 - 6 x + 9 = 0 5. x 2 - 8 x + 7 = 0 6. 5 x 2 - 3 x - 2 = 0 7. 3 x 2 +5 x + 42 = 0 8. 9 x 2 + 15 x - 6 = 0 9. 25 x 2 - 100 x + 64 = 0 10. 9 x 2 + 12 x - 12 = 0 1. x 1 = -2 x 1 = -1/3 x 1 = 2 x 1 = x 2= 3 x 1 = 7 x 1 = 1 impossibile x 1 = -2 x 1 = 4/5 x 1 = -2 x 2 = 4/5 x 2 = -6 x 2= 1 x 2= -2/5 x 2 = 1/3 x 2= 16/5 x 2= 2/3

EQUAZIONI INCOMPLETE Se b = 0 l’equazione diventa a x 2 + c = 0 e si chiama equazione PURA Se c = 0 l’equazione diventa a x 2 + bx = 0 e si chiama equazione SPURIA

EQUAZIONI PURE Le equazioni pure si risolvono isolando il termine con l’incognita: ax 2 + c = 0 ax 2 = - c x = ±√-c/a ESEMPI

ESEMPI di equazioni pure x 2 – 16 = 0 25 x 2 – 4 = 0 x 2 + 9 = 0 x 2 = 16 x 2 = 4/25 x 2 = - 9 x =± 4 x = ± 2/5 x = ±√ - 9 Equazione impossibile Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono numeri opposti.

Esercizi guidati equazioni pure 1. 2 x 2 - 18 = 0 2 x 2 = 18 2. x 2 - 16 = 0 x 2 = 3. 4 x 2 - 25 = 0 4 x 2 = 4. x 2 + 25 = 0 x 2 = 9 x= x= x 2 = x= l’equazione è

Soluzioni esercizi guidati equazioni pure 1. 2. 3. 4. x=± 3 x=± 4 x = ± 5/2 impossibile

Esercizi da svolgere equazioni pure 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x 2 = 49 x 2 - 36 = 0 x 2 - 625 = 0 10 x 2 - 1000 = 0 3 x 2 - 75 = 0 8 x 2 - 32 = 0 12 x 2 - 1200 = 0 2 x 2 + 28 = 0 3 x 2 = -27 2 x 2 - 32 = 0 x=± 7 x=± 6 x = ± 25 x = ± 10 x=± 5 x=± 2 x = ± 10 impossibile x=± 4

EQUAZIONI SPURIE Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x ed applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo la quale il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero. ax 2 + bx = 0 x=0 x( ax + b ) = 0 ax + b = 0 x = - b/a ESEMPI

ESEMPI di equazioni spurie x 2 – 4 x = 0 x( x – 4) = 0 x 1 = 0 x– 4=0 x 2 = 4 3 x 2 + 5 x = 0 x( 3 x + 5 ) = 0 x 1 = 0 3 x + 5 = 0 x 2 = -5/3 L’equazione spuria ha due soluzioni reali una delle quali sempre uguale a zero

Esercizi guidati equazioni spurie 1. 7 x 2 + 4 x = 0 x ( 7 x + 4 ) = 0 x=0 7 x + 4 = 0 2. 5 x 2 – x = 0 x( )=0 x=

Soluzioni esercizi guidati equazioni spurie x=0 2. x = 0 1. x = - 4/7 x = 1/5

Esercizi da svolgere equazioni spurie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 3 x 2 - 4 x = 0 8 x 2 - 32 x = 0 25 x 2 + 5 x = 0 7 x 2 - 2 x = 0 9 x 2 - 36 x = 0 12 x 2 + x = 0 7 x 2 - 56 x = 0 2 x 2 + 14 x = 0 4 x 2 - 6 x = 0 5 x 2 + 5 x = 0 x=0 x=0 x=0 x = 4/3 x=4 x = - 1/5 x = 2/7 x=4 x = - 1/12 x=8 x = -7 x = 3/2 x=-1

ax 2 + bx + c = 0 Nome equazione Soluzioni Tipo di soluzioni Se ∆ > 0 reali distinte Se ∆ = 0 reali coincidenti Se ∆ < 0 nessuna soluzione b ≠ 0, c ≠ 0 completa x = -b±√ ∆ 2 a b = 0, c ≠ 0 pura x = ±√-c/a Se esistono, sono opposte b ≠ 0, c = 0 spuria x 1 = 0 x 2 = -b/a Reali distinte

VERIFICA test Riconosci , tra le seguenti espressioni, l’equazione di II grado a) x + 1= 2 x 2 b) x – 2 x + 1 = 0 c) 3 x 2 – 4 x +2 d) 4 x 3 -5 x 2 +3 = 0 Ø Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado completa a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x 2 - 9 = 0 d) 5 x 2 = 0 Ø Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado spuria a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x 2 - 9 = 0 d) 5 x 2 = 0 Ø

test Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado pura a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x 2 - 9 = 0 d) 5 x 2 = 0 Ø Riconosci l’equazione di II grado completa ridotta a forma normale a) 3 x 2 = x – 5 b) 4 x 2 + 7 x – 2 x +3 = 0 c) 4 x 2 + 3 x - 1 = 0 Ø Individua i coefficienti a, b e c delle seguenti equazioni a) 4 x 2 - 8 x + 3 = 0 a= b= c= b) 3 x 2 -1 +8 x = 0 a= b= c= c) 2 x – 3 x 2 + 1 = 0 a= b= c= Ø

test Ø La formula risolutiva dell’equazione completa di II grado è: a) x = b ±√ b 2 + 4 ac 2 a b) x = b ±√ -b 2 – 4 ac 2 a c) x = -b ±√ b 2 – 4 ac 2 c d) x = - b ±√ b 2 – 4 ac 2 a

VERIFICA domande aperte Data l’equazione 2 x 2 - 3 x + 5 = 0, applica la formula risolutiva Ø Risolvi le equazioni 3 x 2 - 6 x + 3 = 0 3 x 2 - 6 x = 0 3 x 2 - 27= 0 Ø Ø Scrivi la formula del Completa le seguenti frasi Se risulta …. . 0, l’equazione ha ………………………………………. Se risulta …. . 0, l’equazione ha ……………………. Ø

LINK UTILI Per approfondire l’argomento si segnalano i seguenti siti: http: //www. matematicamente. it http: //www. ripmat. it http: //www. silviocilloco. it http: //it. wikipedia. org/wiki/Equazione_quadratica http: //matematicagenerale. it http: //www. matematiche. org http: //www. zanichelli. it