Equazioni di secondo grado dai Babilonesi ai banchi
Equazioni di secondo grado: dai Babilonesi … …ai banchi nostri. Presentazione di n Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E. Fermi” Sulmona
§ Premessa: Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico … § x 2 = 9 § (x – 1)2 = 9 §X 2 – 2 x +1 = 9 §X 2 – 2 x - 8 = 0 … e poi applico la formula! § x 2 + x + 1 > 0 D < 0, a > 0, discordi …
PROBLEMA Trovare due numeri conoscendone la somma (o la differenza) e il prodotto
Esempio 1. Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto è 72
Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con i simboli 9 – x , 9 + x. Si ha : § (9 + x)(9 – x) = 72 § 81 – x 2 = 72 § x 2 = 9 § vera se x = 3 o x = -3 I due numeri richiesti sono : 9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6
Esempio 2. Trovare due numeri la cui differenza è 8 e il cui prodotto è 20
Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8 con i simboli k + 4 , k - 4. Si ha : § (k + 4) - (k – 4) = 8 § (k + 4)(k – 4) = 20 § k 2 - 16 = 20 § k 2 = 36 § vera se k = 6 o k = -6 I due numeri richiesti sono : 6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)
§ Ricaduta didattica: Radicali doppi
§ Problema: Esistono due numeri reali positivi x , y tali che ? Eleviamo al quadrato Vera se: (sistema somma-prodotto)
Con lo stesso procedimento, i babilonesi risolvevano anche equazioni algebriche di secondo grado
Esempio 3. Risolvere l’equazione : x 2 + 8 x = 20
L’equazione può essere scritta : x(x + 8) = 20 Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 , allora si devono trovare due numeri x , y tali che : y – x = 8 , xy = 20. (vedi Esempio 2) §Metodo diofanteo (Diofanto di Alessandria III sec. d. C)
Esempio 4. Risolvere l’equazione : 18 x - x 2 = 72
L’equazione può essere scritta : x(18 - x) = 72 Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 , allora si devono trovare due numeri x , y tali che : x + y = 18 , xy = 72. (vedi Esempio 1)
Esempio 5. Risolvere l’equazione : 3 x 2 + 5 x = 2
I babilonesi non dividevano per 3 per ottenere l’equazione
§ 3 x 2 + 5 x = 2 Ma moltiplicavano per 3 ottenendo l’equazione : (3 x)2 + 5(3 x) = 6 ponendo 3 x = z si ha : z 2 + 5 z = 6 vera se z = 1 (o z = - 6) , per cui x = 1/3 (o x = - 2)
Numerazione posizionale sessagesimale dei babilonesi
Ambiguità della numerazione babilonese
Testo inciso sulla tavoletta d’argilla AO 8862 n n n Base, altezza. Ho moltiplicato la base per l’altezza ed ho trovato l’area. Ho poi addizionato la differenza tra la base e l’altezza all’area trovando 183 [3; 3]. Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27. Calcolare la base, l’altezza e l’area.
§Soluzione babilonese: § 1. 27 + 183 = 210 § 2 2 + 27 = 29 § 3 29 : 2 = 14, 5 § 4 14, 5 x 14, 5 = 210, 25 § 5 210, 25 – 210 = 0, 25
§ 6 § 7 14, 5 + 0, 5 = 15 (base) § 8 14, 5 – 0, 5 = 14 § 9 14 – 2 = 12 (altezza) § 10 15 x 12 = 180 (area)
Interpretazione della soluzione babilonese : §Sia x la base , y l’altezza: §Sostituisco la seconda equazione con la somma delle due equazioni: § 1. 183+27=210
§Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima equazione : § 2. 2+27 =29
§Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto) Con X=x , Y = y+2
§Indico i due numeri la cui somma è 29 con 14, 5 + k , 14, 5 - k (14, 5 + k)(14, 5 – k) = 210, 25 – k 2 = 210 K 2 = 210, 25 – 210 = 0, 25 § 14, 5 + 0, 5 = 15 (base) § 14, 5 – 0, 5 = 14
§I due numeri sono: § 14, 5 + 0, 5 = 15 § 14, 5 – 0, 5 = 14 X = x = 15 Y = y +2 = 14 x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)
Hisab al-jabr w’al-muqabala Prima metà del IX secolo al-Khuwarizmi § al-jabr (restaurazione): Addizionare o moltiplicare la stessa quantità § al-muqabala (riduzione): Sottrazione di quantità uguali
4 a equazione di al-Khuwarizmi: § Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39. x 2 + 10 x = 39 1. Dividete per due il numero (coeff. ) delle radici: risultato 5. 2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25. 3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.
4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8. 5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1: soluzione 3. §Veniva ignorata la radice negativa
Abbiamo detto abbastanza, per quanto riguarda i numeri, sui sei tipi di equazione. Ora è necessario dimostrare geometricamente la verità degli stessi problemi che sono stati spiegati con i numeri. §Al-Khuwarizmi
X 2 + 10 x = 39 5 5 x x x 2 5 x x 5 § Per completare il quadrato si deve aggiungere un quadrato di lato 5.
X 2 + 10 x +25= 39 + 25 = 64 5 25 x x 5
Thabit ibn Qurra (836 -901 d. C): ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮﺓ ﺑﻦ ﻣﺮﻭﺍﻥ ษาบต อบน กรอ (Thabit Ibn Qurra) 836 -901(256 -321 H) § Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya (Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con metodi geometrici)
A B G. x x 2 D x H bx C b F §Problema di applicazione delle aree per eccesso (iperbolico) §Euclide, Elementi, (libro II, Prop. 5, Prop. 6)
Ricadute didattiche: § Risolvi la disequazione: § Disegna la parabola d’equazione: § Disegna la conica d’equazione: § Calcola l’integrale:
Applicando il metodo del completamento del quadrato le risposte ai quesiti precedenti diventano più semplici, meno insidiose, più popolari… §
Le nozioni che si potevano offrire con luminosa chiarezza venivano date oscure, contorte, imbrogliate, come per via di veri e propri indovinelli. Jan Amos Komensky ( Comenius) 1592 -1670
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