Equazioni di 2 grado Una equazione di 2

Equazioni di 2° grado Una equazione di 2° grado è un’equazione in cui l’incognita é presente elevata al grado massimo pari a 2.

Forma normale ¡ Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax 2+bx+c=0 con a, b e c reali e a≠ 0 ¡ 3 x 2+2 x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (a=3, b=2 e c=-5) ¡ In una equazione scritta in forma normale il primo termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del termine di 2° grado, il secondo termine è di 1° grado e b è detto coefficiente del termine di 1° grado il terzo termine è detto termine noto

Riduzione a forma normale ¡ ¡ Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso l’effettuazione di operazioni e passaggi dal 2° al 1° membro dell’uguaglianza Esempio: 4 x-2=3(x 2–x)↔ 4 x-2=3 x 2– 3 x↔ -3 x 2+7 x-2=0

Soluzioni ¡ ¡ Le soluzioni di una equazione di 2° grado dette anche zeri o radici sono sempre 2 e sono quei valori che sostituiti alla incognita x rendono l’equazione una identità x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione x 2– 3 x+2=0 infatti 12– 3+2=0 e 22– 6+2=0

Equazioni incomplete Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta ¡ Le equazioni incomplete si suddividono in ¡ l l l Spurie Pure Monomie

Spurie ¡ Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto (cioè quella in cui è c=0) si dice pura Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e l’altra –b/a (nell’esempio -2).

Pure ¡ Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado (cioè quella in cui è b=0) si dice spuria Una equazione pura ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a) (nell’esempio ± 2).

Monomie ¡ Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto (cioè quella in cui è a=b=0) si dice monomia Una equazione monomia ha 2 soluzioni entrambe uguali a zero.

Discriminante ¡ Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ, il numero b 2 -4 ac

Formula risolutiva Le soluzioni si ricavano dalla formula Che si può anche esprimere La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta

Soluzioni: casistica ¡ Se Δ>0 le soluzioni sono 2 e distinte l ¡ Se Δ=0 le soluzioni sono 2 coincidenti l ¡ S={(-b+√Δ)/2 a, (-b-√Δ)/2 a} S={-b/2 a} Se Δ<0 le soluzioni non esistono l S={Ø} Se a e c sono discordi il discriminante è sicuramente positivo (non vale il viceversa)

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Casi particolari ¡ In certi casi ci si può trovare di fronte al prodotto di più polinomi di grado minore o uguale a 2 uguagliato a zero: non conviene eseguire le operazioni, ma scomporre l’equazione in più equazioni alternative sfruttando la proprietà dell’annullamento del prodotto

Esempio 5

Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie, una volta ridotte a forma normale eliminando i denominatori, è necessario scartare le radici che annullano il m. c. m. dei denominatori, se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile.

Esempio 6

Equazioni a coefficienti letterali ¡ Nel caso nell’equazione compaiano lettere occorre verificare che Il loro valore l l l ¡ Non renda il discriminante negativo (condizione di realtà) Non azzeri alcun denominatore (condizione di possibilità) Nel caso si annulli il coefficiente del termine di 2° grado si avrà una soluzione Questo procedimento si chiama discussione dell’equazione

Esempio 7

Esempio 8

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2° grado con Δ≥ 0 esistono le relazioni

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado ¡ ¡ ¡ Per definizione x 1 e x 2 sono soluzioni dell’equazione (x-x 1)(x-x 2)=0 e quindi di x 2 -(x 1+x 2)x+x 1 x 2 Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma e prodotto sono soluzioni di x 2 -sx+p dove s e p sono somma e prodotto dei numeri dati Il trinomio ax 2+bx+c, se ha soluzioni, si può scomporre come a(x-x 1)(x-x 2) se Δ>0 oppure come a(x-x 1)2=a[x+b/(2 a)]2 se Δ=0

Teorema di Cartesio ¡ ¡ Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono negative Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le soluzioni sono positive Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è positiva Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è negativa a b c p=c/a s= -b/a x 1 x 2 + + - - - + + + + - - - + + - - +

Esempio 9 ¡ Data l’equazione 2 x 2 -3 x+1 determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l’equazione s=-b/a=3/2 p=c/a=1/2

Esempio 10 ¡ Trovare l’equazione di 2° grado avente per soluzioni -1/2 e 2/3 x 2 -sx+p quindi x 2 -x/6 -1/3 ed eliminando i denominatori 6 x 2 -x-2

Esempio 11 ¡ Determinare 2 numeri sapendo che la loro somma è 2 m e il loro prodotto m 2 -4 Deve essere x 2 -2 mx+m 2 -4=0 cioè

Equazioni parametriche ¡ ¡ Si dice parametrica una equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere dette parametri Esempio: x 2+3 mx+m-1=0 al variare di m si hanno diverse equazioni e quindi diverse soluzioni l l l Se m=0 x 2 -1=0 Se m=1 x 2+3 x=0 Se m=2 x 2+6 x+1=0 S={-1, +1} S={-3, 0} S={-3±√ 2}….

? ¡ Questione fondamentale è determinare i valori dei parametri che soddisfano determinate condizioni

Esempio 12 a ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici coincidenti Deve essere Δ=0 quindi

Esempio 12 b ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k L’equazione abbia una radice nulla L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0) Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di k il termine noto è nullo

Esempio 12 c ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici opposte Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè b=0

Esempio 12 d ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k L’equazione abbia radici reciproche Deve essere

Esempio 12 e ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma delle radici dell’equazione sia 3 Deve essere

Esempio 12 f 2 x 2–(k-1)x+2=0 ¡ Determinare per quali valori di k Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4 Deve essere

Esempio 12 g ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma dei quadrati delle radici dell’equazione sia 7 Deve essere

Esempio 12 h ¡ 2 x 2–(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma dei reciproci delle radici dell’equazione sia 4