Equazione della retta tangente al grafico di una

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 1

Pendenza della tangente e derivata Fisso l’attenzione su un punto, ad esempio A(1, 2) So calcolare la pendenza mt della tangente in A: Come trovo l’equazione della tangente? Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 2

Equazione della retta tangente La retta che ‘gira’ attorno ad A(1; 2) ha equazione: y – 2 = m(x – 1) Per scegliere la tangente, debbo fissare la pendenza mt = f’(1) = 3 Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 3

Equazione della retta tangente L’equazione della tangente è y – 2 = 3(x – 1) Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 4

In generale A punto della curva con: ascissa a; ordinata f(a). La retta tangente ha equazione y – f(a) = f’(a) (x – a) Retta tangente alla curva in A Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 Grafico di una funzione y = f(x) 5

Formula generale: significato dei simboli Equazione della retta tangente nel punto A y e x variabili y – f(a) = f’(a) (x – a) a costante Al posto di a posso scrivere altre lettere, ad esempio: b , c, d , x. A , x 0 Ma non posso scrivere x. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 6

Formula generale. Due condizioni importanti Equazione della tangente a una curva nel punto y. A– f(a) = f’(a) (x – a) 1. La curva deve essere il grafico di una funzione y = f(x). ESEMPIO Circonferenza x 2 + y 2 = 52 NON è il grafico di una funzione. Per applicare la formula trovo la funzione che descrive la semicirconferenza BAC. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 7

Formula generale. Due condizioni importanti Equazione della tangente a una curva nel punto y. A– f(a) = f’(a) (x – a) 2. La funzione deve essere derivabile nel punto A. ESEMPIO NON è derivabile in O(0; 0). Per trovare l’equazione di t. O NON posso applicare la formula generale perché non posso calcolare f’(0). Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 8

Attività Lavora con la scheda allegata per risolvere vari problemi che richiedono di scrivere l’equazione della tangente ad una curva Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 9

Risultati ottenuti Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 10

Problema 1 Quesit oa Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 11

Quesito b Problema 1 t. B è parallela all’asse delle x e passa per B(0; 1); posso scrivere direttamente l’equazione y = 1. Applicare la formula generale è un procedimento corretto, ma più lungo. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 12

Problema 2 Quesit oa Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 13

Quesito b Problema 2 L’ascissa a del punto di contatto ora è incognita Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 14

Problema 2 Quesit oc Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 15

Riflessioni sui problemi svolti Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 16

A. Come si riconosce la retta tangente a una curva? Uno sguardo alla storia Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 17

‘Definizione’ di retta tangente 1 Nell’antica Grecia: Euclide (367 – 283 a. C) La tangente ad una circonferenza in P è quella, fra le rette passanti per P, che non incontra la circonferenza in un secondo punto oltre a P. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 18

‘Definizioni’ di retta tangente 1 La definizione ‘statica’ di Euclide si trova ancora oggi in vari corsi di geometria elementare; ecco un esempio. Retta e esterna Non incontra la circonferenza Retta t tangente Incontra la circonferenza in un solo punto Retta s secante Incontra la circonferenza in due punti. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 19

‘Definizione’ di retta tangente 1 La definizione ‘di Euclide’ si fissa nella memoria e porta a riconoscere in tutte le curve la tangente come ‘retta che incontra la curva in un solo punto’. La retta t 1 è secante o tangente? Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 20

‘Definizione’ di retta tangente 2 In Europa nel XVII secolo si sviluppa la geometria analitica R. Descartes 1596 1650 La geometria è legata all’algebra: per determinare la retta tangente a una funzione polinomiale risolvo un’equazione che ha due soluzioni coincidenti. La retta tangente in P tocca la curva in due Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 punti coincidenti. 21

‘Definizione di retta tangente 2 Ecco la definizione ‘dinamica’ che si trova oggi nei corsi di geometria analitica per determinare la tangente ad una conica. La retta t è tangente alla parabola se incontra la curva in due punti coincidenti Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 22

‘Definizione’ di retta tangente 3 Dalla fine del XVII secolo nasce e si sviluppa il calcolo differenziale Newton 1642 1727 La retta t tangente in A a una curva è la posizione limite di una secante s passante per A ed un altro punto B della curva, quando B si avvicina ad A. Leibniz 1646 1716 Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 23

Definizione di retta tangente 3 Quest’ultima definizione ‘dinamica’ di tangente si estende alle curve che non sono coniche. Video La retta t 1 è secante in C e tangente in B 1, dove vanno a coincidere in questo Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 punti. caso due 24

Definizione di retta tangente 3 Un ragionamento algebrico per prevedere l’ulteriore intersezione C della curva con la tangente. Funzione polinomiale di 3°grado; il grafico interseca una retta in 3 punti al massimo. Almeno 2 intersezioni sono ‘assorbite’ dalla tangente; posso dunque trovare una terza intersezione. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 25

Definizione di retta tangente 3 Procedimento algebrico per determinare l’ulteriore intersezione C della curva con la tangente. B 1 (0, 1) contato due volte Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 2 intersezioni ‘assorbite’ dalla tangente C (3, 1) 26

B. Posizioni di una curva rispetto alla retta tangente Grafici a confronto Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 27

1. Concavità verso l’alto Trovo la curva sopra la tangente in un intorno del punto T. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 28

2. Concavità verso il basso Trovo la curva sotto la tangente in un intorno del punto T. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 29

3. Punto F di flesso La curva attraversa la tangente inflessionale nel punto di contatto F, dove la concavità cambia verso. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 30

4. Tangente inflessionale La tangente inflessionale tocca la curva in un punto contato almeno 3 volte. Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 31

Esercizi Lavora con la scheda allegata per consolidare quello che hai imparato Stefano Volpe, Treccani Scuola 2015 32