Equao do 4 grau Forma Fatorada Soma e

Equação do 4º grau – Forma Fatorada, Soma e Produto – Parte XII

Equação do 4º grau – forma fatorada Seja uma equação de 4º grau do tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 com a = 1 e raízes r 1, r 2 , r 3 e r 4. Sua forma fatorada será: (x – r 1) ∙ (x – r 2) ∙ (x – r 3) ∙ (x – r 4) = 0.

Exemplo 1 Sabendo que uma equação de 4º grau do tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 com a = 1 tem raízes – 2, 3, 0 e 7, escreva sua forma fatorada: (x – r 1) ∙ (x – r 2) ∙ (x – r 3) ∙ (x – r 4) = 0.

Atividade 1 Escreva na forma fatorada uma equação algébrica de 4º grau cujas raízes são: a) 2, 3, 4 e 5 b) – 2, 3, 4 e – 5 c) 1, 0, 3 e 7 (x – r 1) ∙ (x – r 2) ∙ (x – r 3) ∙ (x – r 4) = 0 São Paulo Faz Escola, 2020. Caderno do Aluno, 3 a Série, Ensino Médio, vol. 2. p. 17.

Resolução da atividade 1 a) 2, 3, 4 e 5 (x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – 5) = 0 b) – 2, 3, 4 e – 5 (x – (– 2)) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x – (– 5)) = 0 (x + 2) ∙ (x – 3) ∙ (x – 4) ∙ (x + 5) = 0 c) 1, 0, 3 e 7 (x – 1) ∙ (x – 0) ∙ (x – 3) ∙ (x – 7) = 0 (x – 1) ∙ x ∙ (x – 3) ∙ (x – 7) = 0 São Paulo Faz Escola, 2020. Caderno do Professor. Matemática, 3 a Série, Ensino Médio, vol. 2. p. 87.

Equação do 4º grau – soma e produto Seja uma equação de 4º grau do tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 com a = 1 e raízes r 1, r 2 , r 3 e r 4. Ela pode ser escrita da forma: x 4 – S 1 x 3 + S 2 x 2 – S 3 x + P = 0 Onde: S 1= r 1+ r 2 + r 3 + r 4 é a soma das raízes, S 2 = r 1 ∙ r 2 + r 1 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 + r 2 ∙ r 4 + r 3 ∙ r 4 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas, S 3 = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 2 ∙ r 4 + r 1 ∙ r 3 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três, P = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 é o produto das raízes.

Exemplo 2 Sabendo que uma equação de 4º grau do tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 com a = 1 tem raízes – 2, 3, 0 e 7, escreva sua equação na forma final. x 4 – S 1 x 3 + S 2 x 2 – S 3 x + P = 0

Atividade 2 Escreva a forma final da equação algébrica de 4º grau cujas raízes são 2, 3, 4 e 5. S 1= r 1+ r 2 + r 3 + r 4 S 2 = r 1 ∙ r 2 + r 1 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 + r 2 ∙ r 4 + r 3 ∙ r 4 S 3 = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 2 ∙ r 4 + r 1 ∙ r 3 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 P = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 x 4 – S 1 x 3 + S 2 x 2 – S 3 x + P = 0 SÃO PAULO-SP. SEE. São Paulo Faz Escola - Caderno do Aluno, 3 a Série. Vol. 2, 2020. p. 17, Matemática.

Resolução da atividade 2 Raízes 2, 3, 4 e 5 S 1 = 2 + 3 + 4 + 5 = 14 S 2 = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 = 71 S 3 = 2 ∙ 3 ∙ 4 + 2 ∙ 3 ∙ 5 + 2 ∙ 4 ∙ 5 + 3 ∙ 4 ∙ 5 = 24 +30 + 40 +60 = 154 P = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 x 4 – 14 x 3 + 71 x 2 – 154 x + 120 = 0 SÃO PAULO-SP. SEE. São Paulo Faz Escola - Caderno do Aluno, 3 a Série. Vol. 2, 2020. p. 17, Matemática.

Atividade 3 Escreva a forma final da equação algébrica de 4º grau cujas raízes são – 2, 3, 4 e – 5. S 1= r 1+ r 2 + r 3 + r 4 S 2 = r 1 ∙ r 2 + r 1 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 + r 2 ∙ r 4 + r 3 ∙ r 4 S 3 = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 2 ∙ r 4 + r 1 ∙ r 3 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 P = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 x 4 – S 1 x 3 + S 2 x 2 – S 3 x + P = 0 SÃO PAULO-SP. SEE. São Paulo Faz Escola - Caderno do Aluno, 3 a Série. Vol. 2, 2020. p. 17, Matemática.

Atividade 4 Escreva a forma final da equação algébrica de 4º grau cujas raízes são 1, 0, 3 e 7. S 1= r 1+ r 2 + r 3 + r 4 S 2 = r 1 ∙ r 2 + r 1 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 + r 2 ∙ r 4 + r 3 ∙ r 4 S 3 = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 + r 1 ∙ r 2 ∙ r 4 + r 1 ∙ r 3 ∙ r 4 + r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 P = r 1 ∙ r 2 ∙ r 3 ∙ r 4 x 4 – S 1 x 3 + S 2 x 2 – S 3 x + P = 0 SÃO PAULO-SP. SEE. São Paulo Faz Escola - Caderno do Aluno, 2 a Série. Vol. 2, 2020. p. 17, Matemática.

Resolução da atividade 4 Raízes 1, 0, 3 e 7 S 1= 1 + 0 + 3 + 7 = 11 S 2 = 1 ∙ 0 + 1 ∙ 3 + 1 ∙ 7 + 0 ∙ 3 + 0 ∙ 7 + 3 ∙ 7 = 3 + 7 + 21 = 31 S 3 = 1 ∙ 0 ∙ 3 + 1 ∙ 0 ∙ 7 + 1 ∙ 3 ∙ 7 + 0 ∙ 3 ∙ 7 = 21 P=1∙ 0∙ 3∙ 7=0 x 4 – 11 x 3 + 31 x 2 – 21 x = 0 SÃO PAULO-SP. SEE. São Paulo Faz Escola - Caderno do Aluno, 2 a Série. Vol. 2, 2020. p. 18, Matemática.

Mapa conceitual Forma Trigonométrica Raízes Quadradas de Números Negativos Números Complexos Relações de Girard Equações Algébricas Forma Fatorada Forma Algébrica Redução de Grau Operações Plano de Argand-Gauss Fonte: Elaborado pela autora.

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