EQUAO DO 2 GRAU Professores Jos Junior e

EQUAÇÃO DO 2º GRAU Professores: José Junior e Francisco Braga 8ª Série/9º Ano - EF

SITUAÇÃO 01 A Profesora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um painel que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do que na largura. RESOLUÇÃO • Se representarmos por X a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (X + 10). X X + 10 • • Sabemos que para determinarmos a área de um retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura: (X + 10). X Como a área tem que ser igual a 600, obtemos: (X + 10). X = 600 Desenvolvendo o produto, no 1º membro: X² + 10 X = 600 A equação X² + 10 X = 600, é chamada de equação do 2º grau na variável X.

SITUAÇÃO 02 O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática , em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao número de lados. RESOLUÇÃO • Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever: • Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação: • A equação 2 n = n² - 3 n é chamada de equação do 2º grau na variável n. d = n.

EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA 1) DEFINIÇÃO • Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma: ax² + bx + c = 0. Onde: ü x é a incógnita. ü a, b e c são números reais, com a ≠ 0. ü a é coeficiente do termo em x². ü b é coeficiente do termo em x. ü c é o coeficiente do termo independente de x.

Exemplos: a) 3 x² + 4 x + 1 = 0 a=3 b=4 b) p² - 5 p + 6 = 0 a=1 b = -5 c) -5 t² + 7 t – 2 = 0 a = -5 b=7 d) 2 y² - 10 y = 0 a = 2 b = -10 e) 4 z² - 100 = 0 a=4 b=0 f) 7 m² = 0 a=7 b=0 (incógnita x) c = 1 (Equação completa) (incógnita p) c = 6 (Equação completa) (incógnita t) c = -2 (Equação completa) (incógnita y) c = 0 (Equação incompleta) (incógnita z) c = -100 (Equação incompleta) (incógnita m) c = 0 (Equação incompleta)

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU • Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na forma normal ou reduzida quando assume a forma geral ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. • Exemplos: a) x² - 7 x + 10 = 0 b) y² - 81 = 0 c) -2 t² + 5 t – 2 = 0 d) -6 m² + m = 0

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU • Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os princípios aditivo e multiplicativo das equações. a) x² - 16 = 48 x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo. x² - 64 = 0 - Forma reduzida. b) y² + 2 y = 3 y + 1 y² + 2 y – 3 y – 1 = 0 y² - y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo. - Reduzindo os termos semelhantes. - Forma reduzida.

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU c) (3 m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3) 9 m² + 6 m + 1 = 7 – m² - 5 m + 24 9 m² + 6 m + 5 m + 1 – 7 – 24 = 0 10 m² + 11 m – 30 = 0 - Eliminando os parênteses. - Aplicando o princípio aditivo. - Forma reduzida. d) - Reduzindo ao mesmo denominador. - Aplicando o princípio aditivo. - Forma reduzida.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU 1º CASO: a) ü ü Equação do tipo ax² + bx = 0. O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número. RESOLUÇÃO Representando o número procurado por x obtemos a equação: x² = 5 x x² - 5 x = 0 - Forma reduzida. x. (x – 5) = 0 - Fator comum em evidência. Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo: x=0 - Uma raiz da equação. ou x– 5=0 x=5 - Outra raiz da equação. As raízes da equação são 0 e 5. Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3 m² - 21 m = 0. RESOLUÇÃO 3 m² - 21 m = 0 m. (3 m – 21) = 0 m=0 ou 3 m – 21= 0 m=7 - Fator comum em evidência. - Uma raiz da equação. - Outra raiz da equação. As raízes da equação são 0 e 7. Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU 2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0. a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é esse número? RESOLUÇÃO Representando o número procurado por x, obtemos a equação: x² - 2 = 34 x² - 2 – 34 = 0 x² - 36 = 0 x² = 36 x=+ = +6 , pois (+ )² = 36 x== - 6 , pois ()² = 36 x=± 6 As raízes da equação são -6 e 6. Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ? RESOLUÇÃO x² = 45 x=- ou x=+ - Propriedade fundamental das proporções. x=± As raízes da equação são e + RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ? RESOLUÇÃO m² + 9 = 0 m² = - 9 m=Temos que: ou m=+ não representa um número real. RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal equação.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU • Seja a equação do 2º grau na forma normal: ax² + bx + c = 0, com a≠ 0. • Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam, utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara: • Onde: b² - 4. a. c , é chamado de discriminante da equação e representado pela letra grega delta ( ). Assim:

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU • Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”. • Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”. • Se reais: (negativo) , a equação não terá raízes e.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5 x + 4 = 0. - Temos que: a=1, b=-5 e c=4. - Calculando o discriminante da equação, obtemos: - Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara: - A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU b) Determine as raízes reais da equação: 3 p² + 6 p + 3 = 0. - Calculando o discriminante, obtemos: - Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara: - A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU c) Determine as raízes reais da equação: 4 y² - 2 y + 1 = 0. - Calculando o discriminante da equação: - Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos: - Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de índice par de radicando negativo. - Logo, a equação não tem raízes reais.