EQUAES DO 2 GRAU 1 O que uma

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 1 O que é uma equação do 2º grau? Chama-se equação do 2º grau em a toda a equação redutível à forma 2 ax x + bx + c = 0, a 0 Forma canónica a, b e c são números reais Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 2 a = 0 bx + c = 0, 2 Não te bx esqueças ax + + c = 0, a 0 que A equação é do 1º Se a for grau ser uma para 0 equação do 2º grau Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 3 Qual é o valor de p de modo que a equação 2 (p-1)x - 5 x + 7 = 0 seja do 2º grau? Para ser do 2º grau o coeficiente de x 2 tem de ser diferente de zero Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 4 logo p– 1 0 p 1 2 (p-1)x - 5 x + 7 = 0 portanto para p 1 a equação é do 2º grau Para ser do 2º grau o coeficiente de x 2 tem de ser diferente de zero Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 5 2 ax + bx + c = 0, a 0 q Termo em x 2 Coeficiente de x 2 q Termo em x Coeficiente de x a b q Termo independente Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 6 Vamos ver os coeficientes dos termos de algumas equações do 2º grau Equação 2 x 2 – x + 3 = 0 5 x 2 + 7 x = 0 – 3 x 2 – 2 = 0 – 8 x 2 = 0 x 2 + x + 13 = 0 Coeficiente do termo em x 2 5 – 3 – 8 – 1 3 7 0 0 1 Termo independe nte 1 0 – 2 0 13 Completa/ Incompleta Comple ta Incomple ta Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 7 Resumindo: As equações do 2º grau podem ser: Completas ax 2 + bx + c = 0 com a 0 , b 0 , c 0 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 8 ou Incompletas 2 ax ax 2 = 0 com a 0 + bx = 0 com a 0 , b 0 2 ax +c=0 com a 0 , c 0 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 9 Como resolver equações do 2º grau? q Equações incompletas ü Power. Point (plataforma moodle) ü ficha síntese Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 10 Vamos aprender a resolver equações completas do 2º grau Por exemplo: (x – 3)2 = 16 x – 3 = 16 pela noção de raiz quadrada x– 3= 4 Atenção Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 11 S = { -1, 7 } Obtemos a disjunção de duas condições x– 3=4 x– 3=-4 resolvendo as duas equações obtidas x=4+3 x=-4+3 x – 3 = 4 x=7 x=-1 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 12 Vamos resolver a mesma equação usando outro método (x – 2 3) 2 x = 16 aplico o caso notável – 6 x + 9 = 16 2 = a 2 – 2 ab + b 2 2 (a – b) x – 6 x – 7 = 0 igualamos a zero a equação encontra-se na forma canónica ax 2 + bx + c = 0 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 13 Quando a equação se apresenta na forma ax 2 + bx + c = 0 aplicamos a FÓRMULA RESOLVENTE 2 x – 6 x – 7 = 0 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 14 Primeiro identificamos o valor dos parâmetros a, b e c 2 ax + bx + c = 0 1 x 2 – 6 x – 7 = 0 ATENÇÃO AOS SINAIS a=1 b = -6 c = -7 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 15 Agora basta substituí-los na fórmula resolvente a = 1 b = - 6 c = -7 x= -( ) ( )2 – 4 ( 2 ( ) ) ( ) Os parênteses no 1 não eram necessários mas é para se lembrarem quando os parâmetros forem negativos Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 16 Efectuando os cálculos - (- 6 )2 – 4 1 (-7 ) x= 2 1 6 64 x= 2 x= 6+8 2 x= 6 8 2 6 -8 2 Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 17 x= 6+8 2 x= 7 x= -1 6 -8 2 S = { -1, 7 } Como é óbvio a solução é a mesma Cuidado com a identificação dos parâmetros e seus sinais e com a substituição na fórmula, o resto são cálculos Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 18 Método mais indicado para resolver equações do 2º grau q Equações incompletas ü ax 2 = 0 Usamos a noção de raiz quadrada Tem uma solução única nula Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 19 ü ax 2 + c = 0 Usamos a noção de raiz quadrada Tem soluções simétricas se a e c têm sinais diferentes É impossível se a e c têm o mesmo sinal Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 20 ü ax 2 + bx = 0 Factorizamos os termos comuns e aplicamos a lei do anulamento do produto Tem duas soluções uma nula e outra positiva se a e b têm sinais diferentes ou outra negativa se a e b têm o mesmo sinal Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 21 ü ax 2 + bx + c = 0 Aplicamos a fórmula resolvente O número de soluções depende do valor do binómio discriminante = b 2 – 4 ac Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 22 Se = b 2 – 4 ac > 0 a raiz quadrada de um número positivo existe, e é diferente de zero, pelo que a equação tem duas raízes reais distintas Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 23 Se = b 2 – 4 ac = 0 a raiz quadrada de zero é zero, pelo que a equação tem um único número real como raiz (tem uma raiz dupla) Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 24 Se = b 2 – 4 ac < 0 não há raízes quadradas reais de números negativos, logo a equação não tem raízes reais a equação é impossível Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 25 Vamos ver se há alguma relação entre as soluções (raízes) das equações e os coeficientes a, b e c na forma canónica Recorda que a equação 2 x – 6 x – 7 = 0 tinha como solução os valores 7 e -1 Consegues ver alguma relação? Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 26 Se resolveres a equação x 2 – 5 x +6 = 0 as soluções são 2 e 3 Consegues, agora, ver alguma relação? Não? Qual é o produto e a soma das raízes nas duas equações? Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 27 x 2 – 5 x +6 = 0 x 2 – 6 x – 7 = 0 Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7 P=2 3=6 P = -1 7 = -7 S=2+3=5 S = -1 + 7 = 6 Agora já consegues ver a relação? Pois é Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 28 x 2 – 5 x + 6 = 0 x 2 – 6 x – 7 = 0 Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7 P=2 3=6 P = -1 7 = - 7 S=2+3=5 S = -1 + 7 = 6 Repara onde aparece o produto das raízes E as somas Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 29 Portanto podemos concluir que quando a equação está na forma 2 x O S eo – Sx + P = 0 representa a soma das raízes P representa o produto das raízes Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 30 E se a equação estiver na forma canónica? ax 2 +bx + c = 0 Como a 0 podemos dividir ambos os membros da equação por a obtendo x 2 + __ bx +__ c=0 a a Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 31 Relacionando as duas expressões anteriores 2 x obtemos – Sx + P = 0 x 2 + __ bx +__ c=0 a a S = - b/a P = c/a Carlos Ferreir

EQUAÇÕES DO 2º GRAU 32 Espero ter contribuído para uma melhor compreensão sobre o conteúdo apresentado FIM Carlos Ferreir