Enteros reales lgebra Superior El conjunto de los

Enteros, reales Álgebra Superior

El conjunto de los enteros esta constituido por los números enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente se representa mediante la letra Z. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} La recta numérica sirve para representar gráficamente conjuntos de números. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El anillo de los enteros Los enteros forman lo que se conoce como un anillo. Un anillo es un conjunto dotado de las propiedades que se más adelante. En los enteros se definen dos operaciones la suma y la multiplicación. Las propiedades de estas operaciones se listan a continuación.

Valor absoluto de un entero Definimos el valor absoluto como sigue. El valor absoluto de a se denota por |a| = a si a > 0 y |a| = –a si a < 0. Símbolicamente: a > 0 |a| = a a < 0 |a| = –a Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al eliminar el signo que lo precede. |4| = 4 |– 33| = 33 |+45| = 45

Propiedades Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma. Si a y b Z, entonces a + b = b + a Axioma 2. Propiedad asociativa de la suma. Si a, b y c Z, entonces (a + b) + c = a + (b + c) Axioma 3. Elemento neutro de la suma. Si a Z, entonces a + 0 = 0 + a = a Axioma 4. Inverso aditivo. Si a Z, entonces a + (–a) = (–a) + a = 0

Propiedades (cont. ) Axioma 5. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y b Z, entonces ab = ba Axioma 6. Propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y c Z, entonces (ab)c = a(bc) Axioma 7. Elemento neutro de la multiplicación. Si a Z, entonces a 1 = 1 a = a Axioma 8. Propiedad distributiva de la multiplicación y la suma. Si a, b y c Z, entonces a(b + c) = ac + ab (a + b)c = ac + bc

Propiedades del anillo de los enteros Ley de cancelación Se cumple la siguiente proposición: si a, b y c Z y a + b = a + c, entonces b = c. Demostración. Suponemos a + b = a + c. Sumamos a cada miembro de la igualdad el inverso aditivo de a. (–a) + (a + b) = (–a) + (a + c) Por la propiedad asociativa. ((–a) + b = ((–a) + c Por el axioma de elemento inverso de la suma. 0 + b = 0 + c Dado que 0 es el elemento neutro de la suma. b = c �

Propiedades del anillo de los enteros (cont. ) Si a y b Z y a + b = a, entonces b = 0. Para todo entero a 0 = 0 a = 0. Se cumple que –(–a) = a. Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos enteros. (–a)b = –ab (–a) (–b) = ab

Diferencia de enteros Definimos la diferencia de dos enteros de la siguiente manera. Si a y b Z, a – b es la diferencia de a y b y se calcula como. a – b = a + (–b) Se cumple la siguiente ley distributiva. Si a y b Z, a(b – c) = ab – ac

Ley de cancelación para la multiplicación Si a, b y c Z, y a 0, entonces ab = ac implica b = c. Demostración. Ya ab = ac que tenemos que ab – ac = 0, de donde a(b – c) = 0 y como a 0, entonces b – c = 0, o b = c. �

Orden en los enteros El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. Dados números enteros el mayor de ellos es el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica y el menor es el que está a la izquierda. Así, 3 > 2, 5 < 7, – 3 < – 2, 0 > – 5. Definimos el conjunto de los naturales N como el conjunto formado por los enteros positivos, es decir N = {1, 2, 3, 4, …}. Con este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.

Propiedades de los naturales Se cumplen las siguientes propiedades. La suma de dos números naturales es un número natural. El producto de dos números naturales es un número natural. Si a es un número entero, solo se cumple una de las siguientes: 1. a es un número natural. 2. a = 0. 3. –a es número natural.

Operador > Si a y b Z, se dice que a es mayor que b si a – b es un número natural. Es decir, la diferencia de a y b es positiva. Ejemplo: 5 > 4 ya que 5 – 4 = 1 N – 3 > – 5 ya que – 3 –(– 5) = – 3 + 5 = 2 N 6 > – 6 ya que 6 –(– 6) = – 6 + 6 = 12 N

Propiedades de > Se cumple la siguiente propiedad transitiva. Si a > b y b > c, entonces a > c. También se cumple que Si a, b y c Z, y a > b, entonces a + c > b + c. Si a > b, entonces –a < – b. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

Inducción Un conjunto es inductivo si, para cada a A, entonces a + 1 también pertenece a A. El conjunto de los números naturales que incluye al 0 es un conjunto inductivo. Los siguientes pasos se siguen para hacer demostraciones inductivas. 1. Probar que la proposición se cumple para 0. 2. Suponer que la proposición se cumple para n y probar que esto implica que se cumpla para n + 1. 3. Deducir que la proposición se cumple para todos los elementos de N.

Ejemplo 1 Sea Hn = 0 si n = 0 y Hn+1 = 1 + 2 Hn. Demostrar Hn = 2 n – 1 BI: H 0 = 20 – 1 = 1 – 1 = 0 HI: se cumple Hn = 2 n – 1 Hn+1 = 1 + 2 Hn = 1 + 2(2 n – 1) = 1 + 2 n+1 – 2 = 2 n+1 – 1 Conclusión: n: Hn = 2 n – 1

Ejemplo 2 Para todo n: 2(n + 2) (n + 2)2. BI: 2(0 + 2) (0 + 2)2 o 4 = 4 HI: 2(n + 2) (n + 2)2. 2(n + 1 + 2) (n +1+ 2)2. 2(n + 3) (n + 3)2. 2(n + 2) + 2 (n + 3)2. = n 2 + 6 n + 9 = n 2 + 4 n +4+2 n+5 2(n + 2) + 2 (n + 2)2 + 2 n+5 Por la hipótesis inductiva eliminamos 2(n + 2) (n + 2)2. 2 2 n+5 Ya que esta se cumple para toda n, se cumple la hipótesis inductiva.

Ejemplo 3 Para todo n 3 + 2 n es divisible por 3. BI: 03 + 2· 0 = 0 + 0 = 0 es divisible por 3. HI: n 3 + 2 n = 3 k (n+1)3+2(n+1) = n 3+3 n 2+3 n+1+2 n+2 = n 3+2 n+3 n 2+3 n+3 = 3 k+3(n 2+n+1) Este número es divisible por 3, por lo tanto se cumple la hipótesis inductiva.

Modificación de la base inductiva La base inductiva no debe ser siempre con n = 0. Podemos comenzar en cualquier n 0, tomando P(n 0) como base de inducción. P(n 0) n(P(n n 0) P(n+1)) n P(n n 0)

Ejemplo 4 Para todo 2 n < n! para n 4. BI: 24 < 4! o 16 < 24 HI: 2 n < n! 2· 2 n = 2 n+1 < 2·n! < (n+1)·n! = (n+1)!

Ejemplo 5 Para todo 1+23+33+43+…+n 3 = (n(n+1)/2)2. BI: 1 = (1(1+1)/2)2 = 1 HI: 1+23+33+43+…+n 3 = (n(n+1)/2)2 1+23+33+43+…+n 3 + (n+1)3= (n(n+1)/2)2 + (n+1)3 = (n 2(n+1)2/4) + (n+1)3 = (n+1)2(n 2 + 4(n+1))/4 = (n+1)2 (n+2)2/4 = = ((n+1) (n+2) / 2) 2

Ejemplo 6 Para todo 32 n+1+2 n+2 es divisible por 7. BI: 31+21 = 7 HI: 32 n+1+2 n+2 = 7 m 32(n+1)+1+2(n+1+2) = 32 n+3+2 n+3 = 3232 n+1 + 212 n+2= = 9 x 32 n+1 + 2 x 2 n+2 = 7 x 32 n+1 + 2(32 n+1 + 2 n+2) = 7 x 32 n+1 + 2 (7 m) = 7(32 n+1 + 2) Conclusión: 32 n+1+2 n+2 es divisible por 7.

Divisibilidad Un entero a es divisible por un entero b si existe un entero c tal que: a = b·c Se dice que a es un múltiplo de b. Un número que tiene solo dos divisores, 1 y el mismo, se llaman número primo. Los números que no son primos se les llama compuestos. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b.

Propiedades de la divisibilidad Sean a, b, y c Z. Tenemos las siguientes propiedades básicas: a|a (Propiedad Reflexiva). Si a|b y b|c, entonces a|c (Propiedad Transitiva). Si a|b, entonces |a| |b|. Si a|b y b|a , entonces |a| = |b|. Si a|b y a 0, entonces b/a|b. Si a|b y a|c entonces a|(b+c). Si a|b y c es un entero, entonces a|bc. Si c|a y c|b , entonces c|ar+bs, para r y s arbitrarios. Ejemplos: 5|5 es cierto 5| 20, 20/5=4|20 7|49, entonces 7|49*2=98 5| 30 y 30|150, 5|150 3|18 y 3|21, 3|39 6|12 y 6|18, 6|(3*12+2*18)=72

Combinación lineal Una combinación lineal de dos enteros a, b es una expresión de la forma ar + bs Donde r y s son enteros. Un entero c divide a los enteros a y b si y solo si c divide a cualquier combinación lineal de a y b. Ejemplo: sea a = 12, b = 18 y c = 6, entonces 6 = 12 r + 18 s donde r = – 1 y s = 1 Una condición necesaria para que un número g sea combinación lineal de a y b es que g sea divisible entre todo divisor común de a y b.

Ejemplos Probar que 52 no es combinación lineal de 20 y 15. Divisores de 20 y 15 es 5 5 | 52 por lo tanto no existe una combinación lineal Encuentre una combinación lineal de 12 en términos de 98, 102 – 98 = 4, 12 = 3*4, entonces 3*102 – 3*98 = 12 Pruebe que si c = 30 n+6, entonces c no es combinación lineal de 1020 y 210. Divisores de 1020 y 210 son: 2, 3, 5, 10, 15 y 30. Divisores de 30 n+6 son: 2, 3, 6, etc. No tiene como divisor a 5, por lo tanto no es posible obtener una combinación lineal.

Algoritmo de la división. Sean a∈ Z y b∈ N. Entonces existen q, r∈ Z con 0< r <|b| tales que a = bq + r. Además, q y r son únicos. Demostración. Sea a>0 y b>0. Considere los enteros de la forma a – bs. Sea r = a – bq >= 0 el menor de estos enteros. De aquí a = bq + r Si r b, ya que r = a – bq, obtenemos r – b = a – bq – b = a – b(q + 1), puesto que r b, resulta que a – b(q + 1) >= 0 Contradice el echo que r es el menor entero no negativo de la forma a – bs, ya que a – b(q+1) = r – b < r = a – bq. Por lo cual queda demostrado que r <b. Si a > 0 y a < b, a = b· 0 + a y a< b, lo cual demuestra el teorema en este caso.

Supongamos que existen q’ y r’ además de q y r, tales que a = bq +r r<b a = bq’ + r’ r’<b De las anteriores obtenemos b(q – q’) = r’ – r De donde |b||q – q’| = |r’ – r| Pero |r’ – r| < b, lo anterior implica que |b||q – q’| = 0 y |r’ – r| = 0 Como |b| 0, se tiene que q = q’ y r = r’ Omitiremos los casos de a o b o ambos negativos. �

Sea a = 436 y b = 17 436 = 17· 25 + 11 q = 25 y r =11 Sea a = – 436 y b = – 17 – 436 = – 17· 25 – 11 Pero – 11 no sirve como residuo ya que es negativo, por tanto – 436 = – 17· 26 + 6 q = 26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |– 17| = 17 Sea a = – 436 y b = 17 – 436 = 17·(– 25) – 11 = 17·(– 25) + 17 (– 1) + 17– 11= – 436 = 17·(– 26) + 6 q = – 26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |– 17| = 17 Sea a = 436 y b = – 17 436 = (– 17)·(– 25) + 11 q = – 25 y r =11

Máximo común divisor Dados enteros a y b distintos de 0, decimos que el entero d>1 es un máximo común divisor (denotado por (a, b) o mcd(a, b)), de a y b si d|a, d|b y para cualquier otro c ∈ Z tal que c|a y c|b, entonces c|d. Algunas propiedades del máximo común divisor mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) mcd (ka, kb) = |k| mcd(a, b) Si a|b. c y mcd(a, b) =1, entonces a|c mcd(a, b) = d ⇔ d|a, d|b y mcd(a/d, b/d)=1

Propiedades Si a y b son enteros positivos y d = as + bt es su combinación lineal positiva mínima, entonces todo divisor de d es divisor también de a y b. Demostración. Tenemos que a = dq + r con 0 r <|d|, sustituyendo d = as + bt, se tiene a = (as + bt)q + r O r = a(1 – sq) – btq r es combinación lineal de a y b Pero como 0 r < d y d es la combinación positiva mínima de a y b, resulta que r = 0, es decir, a = dq y por tanto d|a De igual forma se demuestra que d|b. � Corolario: el mcd(a, b) es la combinación mínima positiva de a y b.

Primos relativos Dos números a y b son primos entre si (primos relativos) si su máximo común divisor es 1. Es decir, a y b son primos entre si, si y solo si, 1 = as + bt Proposición: Si a|bc y mcd(a, b) =1, entonces a|c. Demostración. 1 = as + bt, entonces c = asc + btc Ahora bien, a|a y a|bc, a divide a la combinación lineal a(sc) + (bt)t = c, por lo tanto a|c. �

Mínimo común múltiplo El Mínimo Común Múltiplo (denotado [a, b] o mcm(a, b)) de dos números a y b es el entero más pequeño que es divisible por ambos números a y b. Ejemplo: a = 6 y b = 10 Los múltiplos de a son {6, 12, 18, 24, 30, 36, …} Los múltiplos de b son {10, 20, 30, …} La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto {30, 60, 90, …} el más pequeño de estos valores es el mcm(6, 10) =30

Mcd * mcm Proposición: Si a y b son enteros positivos, entonces el producto de a y b es igual al producto de su mcd y mcm. Es decir ab = mcd(a, b)·mcm(a, b) = (a, b)[a, b]. Demostración: Sea m = mcm(a, b), m|ab y sea d tal que md = ab. Como m es múltiplo de a y b, m = ar = bs, entonces md = ard = bsd = ab, por lo que rd = b y sd = a por tanto d|a y d|b. (1) Por otro lado d’ un divisor de a y b, d’|a d’|b. Sean a’ y b’ tales que a = d’a’ y b = d’b’ Sea m’ un múltiplo común de a y b dado por m’ = a’b’d’ = ab’ = a’b. m’ es un múltiplo de m, es decir m’ = mt. mtd’ = m’d’ = a’b’d’d’ = ab = md, entonces td’ = d o d’|d. (2) Las condiciones (1) y (2) significan que d es divisor de a y b y que d es dividido por cualquier divisor de a y b, por lo tanto d es el mcd lo que implica que ab = mcd(a, b)·mcm(a, b) �

El algoritmo de Euclides Para calcular el mcd de dos enteros a y b (ambos >0, suponemos a > b) se definen qi y ri recursivamente mediante las ecuaciones: a = bq 1 + r 1 (0<r 1<b) b = r 1 q 2 + r 2 (0<r 2<r 1) r 1 = r 2 q 3 + r 3 (0<r 3<r 2) . . rk-3 = rk-2 qk-1 + rk-1 (0<rk-1<rk-2) rk-2 = rk-1 qk (rk= 0) El máximo común divisor es el último residuo diferente de 0.

Ejemplo de algoritmo de Euclides a = 246, b = 118 a/b = 246/118 = 2 + 10/118, q 1 = 2, r 1 = 10 b/r 1 = 118/10 = 11 + 8/10, q 2 = 11, r 2 = 8 r 1/r 2 = 10/8 = 1 + 2/8, q 3 = 1, r 3 = 2 r 2/r 3 = 8/2 = 4, q 4 = 2, r 4 = 0, mcd(246, 118) = 2

Mcd como combinación lineal El mcd de a y b se puede expresar como la combinación positiva mínima lineal de a y b. Ejemplo: a = 348 y b = 228 12 = 120 – 108 348 = 1 x 228 + 120 = 120 – (228 – 120) 228 = 1 x 120 +108 = 2 x 120 – 228 120 = 1 x 108 + 12 = 2 x(348 – 228) – 228 108 = 9 x 12 = 2 x 348 – 3 x 228 mcd = 12 mcd(a, b) = 2 a – 3 b = 696 – 684 = 12

Actividad Encuentre el mcd y mcm de las siguientes parejas utilizando el algoritmo de Euclides: 2604 y 1344 405 y 510 Exprese el mcd como combinación lineal de 120 y 184

Ejemplos Calcule (84, 30): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: 84 = 2(30) + 24 30 = 1(24) + 6 24 = 4(6) + 0 Entonces (84, 30) = 6. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos 6 = 30 – 24 = 30 – (2(30) + 84) = 3(30) + (– 1)84 y hemos escrito a 6 como la mínima combinación lineal positiva entre 84 y 30.

Calcule (– 35, – 48): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos: – 35 = 1(– 48) + 13 – 48 = – 4(13) + 4 13 = 3(4) + 1 4 = 4(1) + 0 Entonces (– 35, – 48) = 1. Además, de las ecuaciones anteriores obtenemos 1 = 13 – 3(4) = 13– 3(– 48+4(13))= – 3(– 48)– 11(13) = – 3(– 48)– 11(– 35– 1(– 48)) = 8(– 48)– 11(– 35) y hemos escrito a como la mínima combinación lineal positiva entre – 35 y – 48.

Factorización única Teorema de factorización única (teorema fundamental de la aritmética). Todo número entero distinto de 1 se puede expresar de la forma a = p 1 p 2 p 3 …ph (1) donde p 1 p 2 p 3 …ph son números primos positivos.

Demostración. Suponga que existe un conjunto M de números que no pueden expresarse como en (1). Demostraremos que M = . Suponga que a es el menor elemento de M, si a es primo, a = p 1, lo cual contradice la suposición de M. Ahora suponga que a es compuesto y entonces a = bc, con 1< b < a y 1 < c < a. Como a es el mínimo elemento de M, b y c se pueden expresar de la forma (1). b = p 1 p 2 p 3 …pn y c = q 1 q 2 q 3 …qr Entonces a = p 1 p 2 p 3 …pn q 1 q 2 q 3 …qr Pero esta es una expresión de la forma (1), lo que contradice la existencia de M.

Demostración (cont. ) Ahora demostraremos que la factorización es única. Suponga que existen dos factorizaciones para a a = p 1 p 2 p 3 …pn a = q 1 q 2 q 3 …qr Igualando p 1 p 2 p 3 …pn = q 1 q 2 q 3 …qr como p 1 divide al producto de la izquierda, debe dividir al producto de la derecha, digamos que divide a q 1. Nos queda p 2 p 3 …pn = q 2 q 3 …qr Análogamente, se puede decir para p 2 = q 2, p 3 = q 3, hasta llegar a tener 1 = qh qh+1 …qr si h < t, lo cual es imposible, similarmente si t < h, de ahi que h = t, con lo queda demostrado. �

Mcd, mcm y factorización Se puede demostrar que para dos números a y b con factorizaciones en primos dadas por el mcd y el mcm se pueden expresar como Donde ri = min{mi, si} y ti = max{mi, si}

ejemplo Factorice en potencias de primos y encuentre mcm y mcd: 194040 546000

Números racionales Consideremos el producto cartesiano de Z (Z – {0}) dado por Q = {(a, b) | a Z y b (Z – {0}) } Definimos la relación ~: (a, b) ~ (a’, b’) si ab’ = ba’ Ejemplo: (3, 4) ~ (12, 16) ya que 3· 16 = 48 = 4· 12

Propiedades La relación ~ es una relación de equivalencia. a) ~ es reflexiva ya que (a, b) ~ (a, b) o ab = ba. b) ~ es simétrica ya que (a, b) ~ (a’, b’) ~ (a, b). ab’ = ba’ a’b = b’a o (a’, b’) ~ (a, b) c) ~ es transitiva, si (a, b) ~ (a’, b’) ~ (a’’, b’’) (a, b) ~ (a’’, b’’). Si ab’ = ba’ (1) y a’b’’ = b’a’’ (2), multiplicando (1) por b’’ y (2) por b, obtenemos ab’b’’ = ba’b’’ a’b’’b = b’a’’b. De estas dos obtenemos ab’b’’ = b’a’’b. Eliminando b’ llegamos a ab’’ = b’’a o (a, b) ~ (a’’, b’’). �

Notación fraccionaria Se utiliza la siguiente notación: a/b = {(x, y) | (a, b) ~ (x, y)} Proposición: a/b = a’/b’ ab’ = ba’. Demostración. Suponga que se cumple a/b = a’/b’ , esto quiere decir que si (a’, b’) a’/b’ (a’, b’) a/b, es decir (a, b) ~ (a’, b’), lo cual a/b = a’/b’ ab’ = ba’. Suponga ahora que ab’ = ba’, esto significa que (a, b) ~ (a’, b’). Sea (x, y) a/b (a, b) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a’, b’) ~ (x, y) a/b a’/b’. Similarmente, suponga (a’, b’) ~ (a, b), sea (x, y) a’/b’ (a’, b’) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a, b) ~ (x, y) a’/b’ a/b. Por lo tanto ab’ = ba’ a/b = a’/b’. �

Operaciones con racionales Lema 1: (a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’. Demostración. ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por dd’ y (2) por bb’ obtenemos ab’dd’ = ba’dd’ y cd’bb’ = dc’bb’ Sumando lados izquierdos y derechos. ab’dd’ + cd’bb’ = ba’dd’ + dc’bb’ (ad + cb)b’d’ = (a’d’ + c’b’)bd (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’. �

Operaciones con racionales (cont. ) Lema 2: (a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ ) ac/bd = a’c’/b’d’. Demostración. ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por (2) obtenemos ab’cd’ = ba’dc’ acb’d’ = bda’c’ ac/bd = a’c’/b’d’. �

Suma y producto de racionales Definimos la suma de los racionales a/b y c/d como Definimos el producto de los racionales a/b y c/d como

Propiedades 1) La suma es conmutativa. a/b + c/d = c/d + a/b 2) La suma es asociativa. (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f ) 3) 0/1 es el idéntico aditivo m/n + 0/1 = m/n 4) Todo racional tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de m/n es –m/n. 5) El producto es conmutativo. (a/b)(c/d ) = (c/d )(a/b) 6) El producto es asociativo. ((a/b)(c/d))(e/f ) = (a/b)((c/d))(e/f ))

Propiedades (cont. ) 7) 1/1 es el idéntico multiplicativo (m/n)(1/1) = m/n 8) Todo racional diferente de 0/1 tiene un inverso multiplicativo, el inverso multiplicativo de m/n es n/m o (m/n)– 1. 9) El producto distribuye a la suma

Actividad Realizar las siguientes operaciones con racionales: (3/4) + (2/7) (8/31)–(7/2) (21/51)(153/7) (17/360)(51/64)– 1 Encuentre el inverso aditivo de (9/7)((2/5)+(7/8)) Encuentre el inverso multiplicativo de (6/5)((3/7)+(17/14))

Racionales positivos Definimos el conjunto de los racionales positivos como Q+ = {a/b | a/b Q, ab Z+} Donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos. Para cada a/b Q es verdadera una y solo una de las afirmaciones siguientes: a) a/b Q+; b) a/b = 0/1; c) –a/b Q+.

Orden en Q Definimos el orden en Q de la siguiente manera. a/b > c/d si a/b +(–c/d) Q+ Dados a/b y c/d en Q se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes: a) a/b > c/d b) a/b = c/d c) c/d > a/b

Se cumplen las siguientes proposiciones: (a/b > c/d) (c/d > e/f ) (a/b > e/f ) transitividad (a/b > a’/b’) (c/d > c’/d’ ) (a/b + c/d > a’/b’ + c’/d’ ) (a/b > a’/b’) (a/b + c/d > a’/b’ + c/d ) (a/b >a’/b’ 0/1) (c/d >c’/d’ 0/1) (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c’/d’) (a/b >a’/b’) (c/d > 0/1) (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c/d) a/b > c/d –c/d > –a/b

Enteros como racionales La siguiente función mapea de un entero a un racional. i: Z Q Definida como i(a) = a/1 Esta función es inyectiva, es decir, dados a y b enteros si i(a) = i(b), entonces a = b ya que a/1 = b/1. Podemos escribir a por a/1. Se cumple: i(a) + i(b) = i(a + b) i(a) · i(b) = i(ab)

El subconjunto D de Q El subconjunto D (racionales decimales) de Q está formado por los racionales de la forma: a/10 n Se utiliza la notación de punto decimal para representar a estos racionales. Ejemplo: 231/1000 = 0. 231 3/100 = 0. 03 27822/1000 = 27. 822

Las sumas y productos de elementos de D pertenecen a D. Definimos: D+ = D Q+ D– = D Q– Los elementos de D+ son de la forma A. a 1 a 2…an, Donde A es un entero no negativo y ai {0, 1, 2, …, 9} Los elementos de D– son de la forma –A. a 1 a 2…an, Donde A es un entero no negativo y ai {0, 1, 2, …, 9}

Se cumple lo siguiente: Orden en D i) 0 > x x D-. ii) x > y siempre que x D+ y y Diii) x > 0 x D+. iv) Dados los elementos cualquiera de D+, x = A. a 1 a 2…an, y = B. b 1 b 2…bn, x > y en cualquiera de los dos casos siguientes: a) A > B b) Si A = B existe un entero m n tal que ai =bi para i < n y am > bm

Orden en D (cont. ) v) Dados x D+ y y D+, –x > – y si y > x Regla de los signos: Se cumple la regla de los signos. (–A. a 1 a 2…an) B. b 1 b 2…bn = –(A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn) A. a 1 a 2…an (– B. b 1 b 2…bn) = –(A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn) (–A. a 1 a 2…an) (– B. b 1 b 2…bn) = A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn

Regla de los signos Se cumple la regla de los signos: (–A. a 1 a 2…an) B. b 1 b 2…bn = –(A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn) A. a 1 a 2…an (– B. b 1 b 2…bn) = –(A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn) (–A. a 1 a 2…an) (– B. b 1 b 2…bn) = A. a 1 a 2…an B. b 1 b 2…bn

Actividad Establezca cual de los dos racionales es el mayor y cual el menor. 23/34 y 65/96 7/4 y 25/32 Establezca cual de los dos elementos de D es el mayor y cual el menor. -17. 4527628 y -17. 4527728 46. 87600277 y 46. 87600367 Ordene de mayor a menor los siguientes números racionales 3/4, 5/6, 4/7, 6/13, 7/9, 15/19, 4/5

Números reales El conjunto de los reales positivos denotados como R+, está formado por números de la forma A. a 1 a 2 a 3…, Donde los puntos suspensivos indican que hay una infinidad de aes. El conjunto de los reales negativos R– son de la forma –A. a 1 a 2 a 3…, Si agregamos el 0. 0000… tendremos el conjunto de los reales como R = R+ R– {0. 000…} Excluimos números en los que ai = 9, para i>n.

Subconjuntos de R Se cumple lo siguiente: Z D Q R Z+ = D+ Z Z– = D– Z Q D D+ = R+ D D– = R– D Q+ = R+ Q Q– = R– Q R Z

Se cumple lo siguiente: Orden en R i) 0 > x x R-. ii) x > y siempre que x R+ y y Riii) x > 0 x R+. iv) Dados los elementos cualquiera de D+, x = A. a 1 a 2…, y = B. b 1 b 2…, x > y en cualquiera de los dos casos siguientes: a) A > B b) Si A = B existe un entero m n tal que ai =bi para i < n y am > bm

Orden en R (cont. ) v) Dados x R+ y y R+, –x > – y si y > x Ejemplo: 0 > -0. 00001 0. 0002… > -3. 4674… 4. 556… > 0. 0 3. 1415926535…> 3. 1415925678… -4. 567585…> -4. 567698… 4. 567585…< 4. 567698…

Reales y Racionales Proposición. Entre cada a y b R hay un elemento de D. Ejemplo a = 3. 4584734… b = 4. 3479437… sea c = 3. 5, entonces a < c < b. a = 3. 76458846… b = 3. 76458900… c = 3. 7645885, sea c = 3. 7645885, entonces a < c < b.

Reales y Racionales Proposición. Para cada a R y cada entero positivo n existe a D tal que a < a + 10–n. Ejemplo. a D a = 2. 36478364… Tomamos a = 2. 36 y n = 2, entonces 2. 36 < 2. 36478364… < 2. 36 + 10– 2 = 2. 37 a D a = 2. 364783, Tomamos n = 6, a = 2. 364783 – 10– 6 = 2. 364782 < 2. 364783 < 2. 364782 + 10– 6 = 2. 364784

Cotas y fronteras Sea S R. Decimos que a R es una cota superior (inferior) de S si a x (a x) para todo x S. S R. Decimos que S está acotado superiormente (inferiormente) si existe a R que es una cota superior (inferior) de S. Sea S R. Decimos que a es una frontera superior (inferior) de S si: 1) a es cota superior (inferior) de S. 2) Si x es cualquier otra cota superior (inferior) de S, entonces x > a (x < a ). S conjunto de reales en círculos azules, conjunto de cotas superiores de S en círculos rojos, frontera de S rombo rojo

Supremo El supremo (ínfimo) de S (o frontera superior (inferior)), si existe, es el mínimo (máximo) elemento de las cotas que es mayor (menor) o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima (máxima) de las cotas superiores (inferiores) de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup S (inf S). Ejemplos: sup {1, 2, 3} = 3 inf {1, 2, 3} = 1 sup ({x R | 0 < x < 1} = 1 inf {x R | 0 < x < 1} = 0 sup {x R | x 2 < 2} = √ 2 inf {x R | x 2 < 2} no existe sup(- , ) no existe inf (- , 5) no existe

Máximo y mínimo El máximo (mínimo) de un intervalo S de números reales es el elemento que es frontera superior (inferior) y que pertenece a S. Ejemplo: (1; 3] : el máximo es 3, el mínimo no existe. [5; 8] : el máximo es 8, el mínimo es 5. [-1; ) : el no existe, el mínimo es -1.

Teoremas Enunciaremos el siguientes teoremas sin demostración. Teorema 1. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente (inferiormente) tiene frontera superior (inferior). Teorema 2. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente (inferiormente) tiene una sola frontera superior (inferior).

Suma de reales Dados a R, b R, sean A = {x | x D, x a} B = {x | x D, x b} C = {x + y | x A, y B} Definimos a + b = sup C. Ejemplo: sea a = 2. 373873… y b = 6. 637863…, existen a y b tales que a < a y b < b. Por ejemplo a = 2. 373874, y b = 6. 637864 Entonces a + b < a + b O sea que a + b = 2. 373874+6. 637864 = 9. 011738

Producto de reales Dados a R, b R, sean A = {x | x D, x a} B = {x | x D, x b} C = {xy | x A, y B} Definimos ab = sup C. Ejemplo: sea a = 2. 373873… y b = 6. 637863…, existen a y b tales que a < a y b < b. Por ejemplo a = 2. 373874, y b = 6. 637864 Entonces ab < ab O sea que ab = 2. 373874 6. 637864 = 15. 757452765136

Propiedades 1) La suma en R es conmutativa. a + b = b + a 2) La suma en R es asociativa. (a + b) + c = a + (b + c ) 3) 0 es el idéntico aditivo en R a + 0 = a 4) Todo real tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de a es –a. 5) El producto en R es conmutativo. ab = ba 6) El producto en R es asociativo. a(bc) = (ab)c

Propiedades (cont. ) 7) 1 es el idéntico multiplicativo en R a 1 = a 8) Todo real diferente de 0 tiene un inverso multiplicativo, el inverso multiplicativo de a o a– 1. 9) El producto distribuye a la suma a(b +c) = ab + ac

Propiedades de orden en R Se cumplen las siguientes proposiciones en los reales: (a > b) (b > c) (a > c) transitividad (a > b) (c > d) a + c > b + d a > b a+ c > b+ c (a > b 0) (c > d 0) (ac)> (bd) (a > b) (c > 0) (ac)> (bc) a > b –b > –a

Racionales y reales La siguiente función mapea de un racional a un real. j: Q R Definida como j(a/b) = ab– 1 Esta función es inyectiva, es decir, dados a/b y c/d racionales j(a/b) = j(c/d) ab– 1 = cd– 1 ad = bc a/b = c/d Se dice que Q es denso en R, es decir, entre dos reales hay un racional.

Representación decimal de racionales Para obtener la representación de un racional dividimos numerador entre denominador. El número obtenido es siempre un decimal periódico. Ejemplo 0. 42857142 7 3 30 20 60 40 50 10 30 20 3 = 0. 428571 7 8 = 0. 2. 6 3 5561 = 1. 1234 4950

Actividad Encontrar el supremo y el infimo si existen en cada caso. {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …} {x R | x 3 < 2} (5, 7] [-6, ) Encuentre la representación de los siguientes racionales como decimales periódicos 45/7 23/43

Raíces de reales Para cada a R+ y cada n Z existe un número único b R+ tal que bn = a. Este real b se denota por b = sup {x | x R, xn < a} Ejemplo 1. 24573093… = Ya que: 1. 245730935 = 2. 99999988422< 3

Reglas de los exponentes Para cada a R – {0} y n Z definimos an = aaa···a n factores a–n = (an)– 1. a 0 = 1 am·an = am+n (am)n = amn Ejemplos: 34 = 3· 3· 3· 3 = 81 4– 3 = (43)– 1 = (64)– 1 = 0. 015625 52· 53 = 25*125 =55 = 3125 (72)3 = (49)3 = 49· 49 = 117649 = 76

Reglas de los exponentes (cont. ) Para cada a, b R – {0} y n, m Z definimos Ejemplos:

Reglas de los exponentes (cont. ) Para cada a, b R+ y m/n, r/s Q y n, s Z+ definimos am/nbm/n = (ab)m/n am/nar/s = am/n+r/s (am/n)r/s = am/n·r/s Ejemplos: 52/362/3 = 2. 924017738 · 3. 301927249 = 302/3 = 9. 654893846 83/483/2 = 4. 75682846 · 22. 627417 = 83/4+3/2 = 89/4 = 107. 6347412 (64/5)3/2 = (4. 192962713)3/2 = 8. 585814487 66/5 = 8. 585814487

Valor absoluto de un real Definimos el valor absoluto como sigue. El valor absoluto de a se denota por | a | = a si a > 0 y |a| = –a si a < 0. Símbolicamente: a> 0 |a| = a a< 0 |a| = –a Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al eliminar el signo que lo precede. Se tienen las siguientes propiedades: a) | a | 0, | a | = 0 solo si a = 0. b) | ab | = | a | | b | c) | a + b | | a | + | b | Como consecuencia | a – b | || a | – | b ||

Actividad Efectúe las operaciones con exponentes: (3 a 3)3 (– 4 a 2 y)2 (3 x 2)3/(2 x 4)2 (8 a 3 x– 6)– 1/3 (2 x 5)3(3 xy 2) (x 2 y)2 (24/2– 3)– 1 (81 a– 16 b 12)– 1/4 Calcule los siguientes valores absolutos |5 + (- 8)| | (-8)(-2) + (-9) |