Ensembles Dfinition dun ensemble Oprations sur les ensembles

Ensembles Définition d’un ensemble. Opérations sur les ensembles. Accès, suppression et ajout d’éléments d’un ensemble. Fonctions permettant de manipuler les ensembles. Exemples.

Les ensembles en Python Ce sont des ensembles non ordonnés de valeurs distinctes. Ces valeurs peuvent être de différents types. Les tests d’appartenance de même que les opérations d’union et d’intersection fonctionnent comme attendu en Python. Il est possible de tester l’appartenance à un ensemble à l’aide des opérateurs in et not in, d’obtenir le cardinal d’un ensemble à l’aide de la fonction intégrée len() et de parcourir les éléments d’un ensemble à l’aide de boucles. Puisque les ensembles ne sont pas ordonnés, il n’est pas possible d’utiliser un indice ni de sélectionner une tranche, et il n’existe pas de clé permettant d’accéder aux valeurs. Il existe 2 types d’ensembles : set : On peut ajouter ou supprimer des éléments à ce type d’ensemble; par conséquent, ils ne peuvent être utilisés comme clés de dictionnaire. frozenset : On ne peut ajouter ou supprimer des éléments à ce type d’ensemble; par contre, ils peuvent être utilisés comme clés de dictionnaire ou comme membres d’un autre ensemble.

Symboles d’opérations et de relations s’appliquant aux ensembles

Comment créer des ensembles et leur affecter des valeurs ? Il n’existe pas de syntaxe particulière pour les ensembles comme il en existe par exemple pour les listes et pour les dictionnaires. La seule méthode de création possible consiste à utiliser les fonctions set() et frozenset(). >>> S = set("Nous avons un ensemble de valeurs distinctes. ") >>> print S set(['a', 'c', 'b', 'e', 'd', 'i', 'm', 'l', 'o', 'N', 's', 'r', 'u', 't', 'v', 'n']) >>> len(S) 18 >>> type(S) <type 'set'> >>> T = frozenset("Nous avons un ensemble de valeurs distinctes. ") >>> print T frozenset(['a', 'c', 'b', 'e', 'd', 'i', 'm', 'l', 'o', 'N', 's', 'r', 'u', 't', 'v', 'n']) >>> len(T) 18 >>> type(T) <type 'frozenset'> >>> S == T True

Comment créer des ensembles et leur affecter des valeurs ? On peut créer un ensemble à l’aide d’une liste, d’un tuple ou d’un dictionnaire. >>> Voyelles = set(["a", "e", "i", "o", "u", "y"]) >>> print Voyelles set(['a', 'e', 'i', 'o', 'u', 'y']) >>> Voyelles = set(("a", "e", "i", "o", "u", "y")) >>> print Voyelles set(['a', 'e', 'i', 'o', 'u', 'y']) >>> Voyelles = set({0: "a", 1: "e", 2: "i", 3: "o", 4: "u", 5: "y"}) >>> print Voyelles set([0, 1, 2, 3, 4, 5]) >>> Voyelles = set({0: "a", 1: "e", 2: "i", 3: "o", 4: "u", 5: "y"}. items()) >>> print Voyelles set([(0, 'a'), (2, 'i'), (1, 'e'), (5, 'y'), (4, 'u'), (3, 'o')]) >>> Voyelles = set({0: "a", 1: "e", 2: "i", 3: "o", 4: "u", 5: "y"}. keys()) >>> print Voyelles set([0, 1, 2, 3, 4, 5]) Si aucun argument n’est fourni, il y a création d’un ensemble vide. >>> set() set([]) >>> set(()) set([])

Comment accéder aux valeurs d’un ensemble ? On a besoin de parcourir les éléments d’un ensemble ou de vérifier si un élément fait partie ou non d’un ensemble. >>> C = "Nous avons un ensemble de valeurs distinctes. " >>> S = set(C) >>> for c in S: print c, C. count(c) a 2 6 c 1 b 1 e 6 d 2 i 2 m 1 l 2 o 2 N 1. 1 s 6 r 1 u 3 t 2 v 2 n 4

Comment modifier un ensemble ? 1 ière façon : ajouter un élément à un ensemble (add) >>> voyelles = set("aeiou") >>> voyelles. add("y") >>> print voyelles set(['a', 'e', 'i', 'o', 'u', 'y']) 2 ième façon : ajouter des éléments à un ensemble (update) >>> voyelles_et_chiffres = set("aeiouy") >>> voyelles_et_chiffres. update("0123456789") >>> print voyelles_et_chiffres set(['a', '9', 'e', 'i', 'o', '1', '0', '3', '2', 'u', '4', '7', '6', 'y', '5', '8']) >>> voyelles_et_chiffres = set("aeiouy") >>> voyelles_et_chiffres. update(range(10)) >>> print voyelles_et_chiffres set(['a', 0, 2, 3, 'e', 5, 6, 1, 'i', 9, 7, 'o', 8, 'u', 'y', 4]) >>> voyelles_et_chiffres = set("aeiouy") >>> voyelles_et_chiffres. update([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> print voyelles_et_chiffres set(['a', 0, 2, 3, 'e', 5, 6, 1, 'i', 9, 7, 'o', 8, 'u', 'y', 4])

Comment modifier un ensemble ? 3 ième façon : enlever un élément faisant partie d’un ensemble (remove), enlever un élément à un ensemble s’il en fait partie (discard), enlever et retourner un élément quelconque d’un ensemble (pop). >>> chiffres = set(range(11)) >>> print chiffres set([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]) >>> chiffres. remove(10) >>> print chiffres set([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) 4 ième façon : enlever des éléments à un ensemble (-=) >>> print chiffres set([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> >>> chiffres -= set([4, 6, 8, 9]) >>> print chiffres set([0, 1, 2, 3, 5, 7]) Comment supprimer un ensemble ? del chiffres ou attendre que l’ensemble ait quitté sa portée. On peut aussi supprimer tous les éléments d’un ensemble avec la méthode clear().

Opérateurs sur les ensembles de même type ou de types différents Appartenance (in, not in) Sert à déterminer si un élément est ou n’est pas membre d’un ensemble. >>> Prenoms = set(["Luc", "Louis", "Jean"]) >>> "Luc" in Prenoms True Égalité / inégalité d’ensembles Sert à tester l’égalité entre ensembles, c’est-à-dire si chaque élément de chaque ensemble est aussi élément de l’autre ensemble. Les ensembles peuvent être de même type ou de types différents. >>> s = set(range(5, 10)) >>> t = frozenset([5, 6, 7, 8, 9]) >>> s == t True >>> set("soir") != set("rois") False

Sous-ensemble de ou sur-ensemble de (<, <=, >, >=) Inégalité stricte : A<B signifie que A est un sous-ensemble de B mais n’est pas égal. A>B signifie que A est un sur-ensemble de B mais n’est pas égal. Inégalité au sens large : A <= B signifie que A est un sous-ensemble de B mais les 2 ensembles peuvent être égaux. A >= B signifie que A est un sur-ensemble de B mais les 2 ensembles peuvent être égaux. >>> groupe. A = set(["Luc", "Pierre", "Jacques"]) >>> groupe. B = set(["Lise", "Pierre", "Jacques", "Jean", "Luc"]) >>> groupe. A < groupe. B True Union (|) Cette opération est équivalente au OU logique entre ensembles. L’union de 2 ensembles est un autre ensemble dont chaque élément appartient au moins à l’un des 2 ensembles. union() est une méthode équivalente à cette opération. >>> s = set("aeiouy") | set(range(10)) >>> print s set([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 'a', 'e', 'i', 'o', 'u', 'y']) >>> set("aeiouy"). union(set(range(10))) set([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 'a', 'e', 'i', 'o', 'u', 'y'])

Intersection (&) Cette opération est équivalente au ET logique entre ensembles. L’intersection de 2 ensembles est un autre ensemble dont chaque élément appartient aux 2 ensembles de départ. intersection() est une méthode équivalente à cette opération. >>> set(range(10)) & set(range(5, 15)) set([8, 9, 5, 6, 7]) >>> set("saperlipopette") & set("poulie") set(['i', 'p', 'e', 'l', 'o']) Différence ou complément relatif (-) >>> set("proximités") - set("permissivité") La différence de 2 ensembles est un set(['x', 'o']) autre ensemble dont chaque élément appartient au premier ensemble mais pas au second. difference() est une méthode équivalente à cette opération. Différence symétrique (^) Cette opération est équivalente à un OU exclusif entre ensembles. La différence symétrique de 2 ensembles est un autre ensemble dont chaque élément appartient à l’un des ensembles mais pas à l’autre. symmetric_difference() est une méthode équivalente à cette opération. >>> set("proximités") ^ set("permissivité") set(['e', 'o', 'v', 'x'])

Opérations sur des ensembles de types différents Si les objets sont tous deux du type set ou frozenset, le résultat est de même type que les opérandes; mais si l’on effectue l’opération sur des ensembles de types différents, le type de l’ensemble résultant est le même que celui de l’opérande de gauche. >>> set("proximités") ^ frozenset("permissivité") set(['e', 'o', 'v', 'x']) >>> frozenset("proximités") ^ frozenset("permissivité") frozenset(['e', 'o', 'v', 'x']) >>> frozenset("proximités") ^ set("permissivité") frozenset(['e', 'o', 'v', 'x']) Note : L’opérateur + n’est pas un opérateur admis avec des ensembles.

Opérateurs s’appliquant uniquement aux ensembles de type set seulement |= Cet opérateur ajoute un ou plusieurs membres d’un autre ensemble à l’ensemble existant. update() est une méthode équivalente à cette opération. >>> s = set("proximités") >>> s |= set("permissivité") >>> print s set(['é', 'e', 'i', 'm', 'o', 'p', 's', 'r', 't', 'v', 'x']) &= Cet opérateur ne conserve que les membres de l’ensemble existant qui sont également membres de l’autre ensemble. intersection_update() est une méthode équivalente à cette opération. >>> s = set("proximités") >>> s &= set("permissivité") >>> print s set(['p', 'é', 'm', 'i', 's', 'r', 't']) -= Cet opérateur ne conserve que les membres de l’ensemble existant qui ne sont pas membres de l’autre ensemble. difference_update() est une méthode équivalente à cette opération. >>> s = set("proximités") >>> s -= set("permissivité") >>> print s set(['x', 'o'])

^= Cet opérateur ne conserve que les membres appartenant à l’un des deux ensembles d’origine mais pas aux deux. symmetric_difference_update() est une méthode équivalente à cette opération. >>> s = set("proximités") >>> s ^= set("permissivité") >>> print s set(['e', 'o', 'v', 'x']) Fonctions intégrées len() Retourne la cardinalité de l’ensemble. >>> len(set("0123456789")) 10 >>> len(range(10)) 10 >>> len(set(["a", "e", "i", "o", "u", "y"])) 6

Nous avons déjà mentionné l’existence de plusieurs méthodes s’appliquant aux ensembles équivalentes à des opérateurs. Il existe une méthode qui ne possède pas d’opérateur équivalent : copy(); elle retourne un nouvel ensemble qui est une copie de l’ensemble existant. >>> s set(['e', 'o', 'v', 'x']) >>> t = s. copy() >>> print t set(['x', 'e', 'o', 'v']) >>> t. add("u") >>> print s set(['e', 'o', 'v', 'x']) >>> print t set(['x', 'e', 'u', 'o', 'v'])

Recherche des nombres premiers entre 2 et n. # Déterminer tous les nombres premiers entre 2 et n. # n = input("Entrez la valeur de n : ") Ensemble = set(range(2, n+1)) Nombres_premiers = set() V=2 while (Ensemble != set()): if (V in Ensemble): Nombres_premiers. add(V) W=V while (W <= n): if (W in Ensemble): Ensemble. remove(W) W=W+V V=V+1 print Nombres_premiers

Entrez la valeur de n : 1000 set([2, 3, 5, 7, 521, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 547, 37, 41, 43, 557, 47, 563, 569, 59, 769, 61, 577, 67, 991, 73, 587, 79, 593, 83, 599, 89, 607, 97, 101, 103, 617, 109, 113, 787, 631, 127, 641, 131, 601, 647, 139, 653, 823, 659, 149, 151, 157, 709, 673, 163, 677, 167, 683, 173, 541, 179, 181, 701, 193, 197, 199, 859, 719, 211, 727, 733, 227, 229, 743, 239, 241, 757, 761, 257, 773, 269, 271, 643, 277, 281, 283, 797, 293, 809, 811, 619, 307, 821, 313, 827, 317, 829, 839, 331, 337, 739, 853, 857, 349, 863, 523, 353, 571, 359, 691, 877, 367, 881, 883, 373, 887, 379, 383, 389, 907, 397, 911, 661, 401, 919, 409, 751, 929, 419, 421, 937, 941, 433, 947, 439, 953, 449, 967, 457, 971, 463, 977, 467, 983, 479, 997, 487, 491, 613, 499, 503, 509]) Pour obtenir ces valeurs en ordre croissant, on procède comme suit : Liste_Nombres_premiers = list(Nombres_premiers) print sorted(Liste_Nombres_premiers) [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]

Recherche du minimum dans un ensemble. >>> U = set([233, 67, 34, 89, 1234, 765, 450, 10, 77]) >>> V = U. copy() >>> min = V. pop() >>> while (V != set()): w = V. pop() if (w < min): min = w >>> print min 10

Produit cartésien de deux ensembles quelconques. # # # Étant donné 2 ensembles quelconques U et V, construire un nouvel ensemble U x V qui correspond au produit cartésien de ces deux ensembles et afficher dans l'ordre ce nouvel ensemble. U = set([45, 23, 98, 2, 8, 55]) V = set(["Pierre", "Paul", "Luc"]) W = set() S = U. copy() if (U != set() and V != set()): while (S != set()): i = S. pop() T = V. copy() while (T != set()): j = T. pop() W. add((i, j)) print sorted(list(W))

Algorithme de calcul du kième plus petit élément d’une suite Étape 0. Créer une liste vide Suite. Étape 1. Tant que l’élément saisi n’est pas le caractère ‘#’ ajouter à la liste l’élément saisi. Étape 2. Saisir la valeur entière k entre 1 et la longueur de la suite. Étape 3. Conserver la valeur de k dans Valeur_de_k. Étape 4. Tant et aussi longtemps que le k ième plus petit élément n’est pas trouvé Étape 4. 1 Créer 2 listes vides Gauche et Droite. Placer dans pivot la valeur de Suite[0]. Initialiser à 0 la variable Nb_occurrences_du_pivot désignant le nombre d’occurrences du pivot choisi. Étape 4. 2 Pour chaque i ième élément de la suite Suite si pivot > i ième élément, ajouter le i ième élément à la liste Gauche sinon si pivot < i ième élément, ajouter le i ième élément à la liste Droite sinon ajouter 1 à Nb_occurrences_du_pivot.

Étape 4. 3 Si la longueur de la suite Gauche Valeur_de_k Suite = Gauche sinon si la longueur de la suite Gauche + Nb_occurrences_du_pivot >= Valeur_de_k): pivot est l’élément cherché, c’est terminé. sinon Valeur_de_k -= ( longueur de la suite Gauche + Nb_occurrences_du_pivot) Suite = Droite Étape 5. Afficher la valeur du pivot qui correspond bien au k ième plus petit élément de la suite.

Calcul du kième plus petit élément d’une suite # Saisir les éléments d'une suite. Pour terminer, entrez le caractère #. Suite = set() while True: element = input("Entrez un élément de la suite : ") if (element == "#"): break Suite. add(element) print "La suite est : ", Suite # Saisir la valeur entière k. k = input("Entrez l'indice k : ") # # Déterminer le k ième plus petit élément de la suite et ranger sa valeur dans une variable pivot. # À compléter …… # Affichage du k ième plus petit élément de la suite. print "Le %5 d ième plus petit élément de la suite est : %5 d" % (k, pivot)

Calcul du kième plus petit élément d’une suite # Déterminer le k ième plus petit élément de la suite et ranger sa valeur # dans la variable pivot. Valeur_de_k = k Fin = True while(Fin): Gauche = set() Droite = set() Nb_occurrences = 1 pivot = Suite. pop() while(len(Suite) != 0): element = Suite. pop() if (pivot > element): Gauche. add(element) elif (pivot < element): Droite. add(element) else: Nb_occurrences += 1 if(len(Gauche) >= Valeur_de_k): Suite = Gauche. copy() elif((len(Gauche) + Nb_occurrences) >= Valeur_de_k): Fin = False else: Valeur_de_k -= (len(Gauche) + Nb_occurrences) Suite = Droite. copy()