Enseigner avec les TIC enjeux apports et mthodologie

Enseigner avec les TIC enjeux, apports et méthodologie Exposé critique d’une expérience réalisée au cours de mathématique avec des étudiants de 3 e régendat mathématique Par Rachel BEX et Nadia PARONI 12/20/2021 HEB DEFRE 1

Objectifs • Responsabiliser les étudiants en les rendant acteurs de leur formation • Montrer la diversité des points de vue d’une même matière • Susciter l’intégration des TICE dans les pratiques professionnelles des futurs enseignants 12/20/2021 HEB DEFRE 2

Démarche • (1) Choix d’un sujet pour lequel l’utilisation des TICE permet des développements enrichissants Les Coniques • Consultation de références : Internet, livres, CD, monographies, … http: //www. chronomath. com/ http: //www-cabri. imag. fr/abracadabri/Coniques. Gene. html http: //www. sciences. univnantes. fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Index_coniques. html http: //xavier. hubaut. info/coursmath/2 de/belges. htm http: //www. mathcurve. com/courbes 2 d/conic. shtml http: //pedagogie. acmontpellier. fr/Disciplines/maths/Cabri/exemples. htm http: //www. dma. ens. fr/culturemath/maths/html/orthocentre/stage_irem. html http: //www. museo. unimo. it/theatrum/macchine/043 ogg. htm 12/20/2021 HEB DEFRE 3

Démarche (2) • Organisation et agencement de la matière • Choix des outils : • • • 12/20/2021 Power Point, Cabri géomètre, Excel, Cabri 3 D papier, crayon, compas, règle Calculatrice graphique, … HEB DEFRE 4

Démarche (3) Découpage et répartition de la matière en vue de permettre aux étudiants de • réfléchir, • émettre des hypothèses, • construire, • calculer, • démontrer, • justifier … et aussi de participer régulièrement à la progression de la leçon. 12/20/2021 HEB DEFRE 5

Démarche (4) • Création ou choix dans les références retenues, • d’animations, • d’illustrations claires, pertinentes et agréables à la vue, • de textes bien adaptés 12/20/2021 HEB DEFRE 6

Illustration: Les hyperboles 12/20/2021 HEB DEFRE 7

points de vue historique, étymologique, littéraire Les hyperboles • Étymologie : Le mot hyperbole vient du grec Hyperbolê, hyper = au-delà, et ballein = lancer, jeter au-delà de toute limite. De plus, hyperballein signifie aussi excéder, dépasser (hyperbole apparaît donc antinomique à ellipse). Ce terme est d'Apollonius de Perge (-262/-180) • Lien littéraire : C’est une figure de style qui consiste à amplifier une idée pour la mettre en relief. Il s'agit d'une exagération. Exemples: Briller de mille feux, mourir de soif, avoir trois tonnes de boulot, se faire tuer par sa mère en rentrant. . . 12/20/2021 HEB DEFRE 8

points de vue géométrique, historique Définition par section d’un cône L’hyperbole a été historiquement définie comme une section de cône de révolution par un plan faisant avec l’axe du cône un angle inférieur à celui de l’angle entre une génératrice et l’axe. Cabri 3 D 12/20/2021 HEB DEFRE 9

Illustrations claires, pertinentes et agréables à la vue Mais plus généralement toute section d’une quadrique par un plan, ayant deux composantes non connexes, est une hyperbole. Par exemple l'intersection d'un paraboloïde hyperbolique et d'un plan peut être une hyperbole. 12/20/2021 HEB DEFRE 10

points de vue épistémologique, scientifique, technique Hyperbole par L'abat-jour estprojection d’un cercle cylindrique ; la ligne qui sépare la pénombre de la zone éclairée est une hyperbole. La trace d'un cône de lumière sur un mur a un contour hyperbolique, si elle est non bornée. 12/20/2021 HEB DEFRE 11

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Définition bifocale Construction L'hyperbole est le lieu des points dont la différence en valeur absolue des distances à deux points fixes F et F' est égale à une constante notée 2 a. ||MF|-|MF’|| = 5, 77 |AA’| = 5, 77 ||M’F|-|M’F’|| = 5, 77 12/20/2021 HEB DEFRE 12

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Éléments caractéristiques • Les points F et F’ sont ses foyers. d(FF’) = 2 c ||MF|-|MF’|| = 5, 77 cm |AA’| = 5, 77 cm • Si M est un point de l’hyperbole, on a |d(MF’) – d(MF)| = 2 a. • Les points d’intersection de l’hyperbole avec l’axe focal sont ses sommets. 2 a est donc la distance de A à A’. • L’axe qui comprend les foyers est l’axe focal ou transverse. C’est un axe de symétrie de l’hyperbole. • La médiatrice de [FF’] appelée axe non focal est aussi un axe de symétrie • L’intersection O des axes focal et non focal est un centre de symétrie 12/20/2021 HEB DEFRE 13

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Éléments caractéristiques (suite) Il existe, comme dans l’ellipse, une constante b. Comment la définir? Comme 2 a < 2 c, b est le nombre tel que b² + a² = c² 12/20/2021 HEB DEFRE 14

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Équation réduite d’une hyperbole avec • l’axe OX des abscisses est l’axe focal • L’axe OY des ordonnées est l’axe perpendiculaire à l’axe focal passant par le milieu de [F F’] 12/20/2021 HEB DEFRE 15

Autres équations réduites • Si l’axe transverse est parallèle à OX et le centre est le point c(s, t) • Les asymptotes ont comme équations • Si l’axe transverse est OY et le centre est le point O(0, 0) • les asymptotes ont comme équations • Si l’axe transverse est parallèle à OY et le centre est le point c(s, t) • les asymptotes ont comme équations 12/20/2021 HEB DEFRE 16

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Les asymptotes Quelles sont leurs équations? Une hyperbole admet 2 asymptotes obliques 12/20/2021 HEB DEFRE 17

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Constructions associées L’hyperbole du jardinier est obtenue à l’aide de 2 ficelles attachées à une extrémité en F et F’, tenues tendues ensemble à l’autre extrémité et enfilées dans un anneau dans lequel Construction de l’hyperbole du jardinier passe un crayon Tracé par contre parallélogramme articulé formé de deux triangles symétriques Construction par contre parallélogramme 12/20/2021 HEB DEFRE 18

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle 1 e expérience • L'hyperbole est le lieu des points équidistants d'un cercle directeur (de centre l'un des 2 e expérience foyers et de rayon 2 a) et d'un point situé à l'extérieur de ce cercle qui est l'autre foyer 3 e expérience • autrement dit, c'est le lieu du centre d’un cercle variable astreint à passer par F et à être tangent à C(F', 2 a) Construction macro 12/20/2021 HEB DEFRE 19

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Constructions associées si on trace un cercle sur une feuille de papier et si on place un point F à l'extérieur, en formant un certain nombre de pliures qui amènent le point F sur un point du cercle, les pliures seront enveloppées par une hyperbole Construction 12/20/2021 HEB DEFRE 20

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Définition par foyer et directrice Si d est une droite, F un point n’appartenant pas à d et e un nombre réel >1, L’hyperbole est le lieu d’un point M tel que où H est le projeté de M sur la directrice d et e est appelé l’excentricité 12/20/2021 HEB DEFRE 21

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Comme pour l’ellipse L’excentricité Et l’équation de la directrice d est Il existe une deuxième directrice d’ attachée à F’ d’équation Et on peut montrer que les 2 conditions |MF| = e |MH| ||MF| – |MF’|| = 2 a sont équivalentes et définissent donc la même hyperbole d’équation Toutes les hyperboles équilatères ont la même excentricité e = 12/20/2021 HEB DEFRE 22

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Lien entre les définitions: les "théorèmes belges" de Dandelin et Quételet Ces théorèmes relient les définitions de coniques, section d'un cône, avec celle d'ellipse(hyperbole) ensemble des points dont la somme (différence) des distances à deux points fixes est constante ainsi que celle des trois coniques définies comme ensemble des points dont le rapport des distances à un point (foyer) et une droite (directrice) est une constante appelée excentricité. 12/20/2021 HEB DEFRE 23

Modèle pour le théorème de Dandelin Dans notre maquette, les droites engendrant le cône sont matérialisées par des fils, le cercle des points de contact de la sphère et du cône est construit comme enveloppe de ses tangentes. http: //www. museo. unimo. it/labmat/dandfra. htm 12/20/2021 HEB DEFRE 24

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Tangentes à une hyperbole • La tangente en M est la médiatrice du segment F’M, si M appartient au cercle directeur. C’est aussi la bissectrice de l’angle F’MF • si M a comme coordonnée (x 0, y 0), son équation est On a donc 2 constructions possibles de la tangente en un point : par cercle directeur et médiatrice de MF Construction par bissectrice de l’angle F’MF 12/20/2021 HEB DEFRE 25

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Problèmes sur les tangentes • Propriété : F se projette orthogonalement sur la tangente en un point qui se trouve sur le cercle principal • Construire une hyperbole connaissant ses deux foyers et une tangente en un point • Mener les tangentes à une hyperbole par un point extérieur à l’hyperbole Constr 1 12/20/2021 Constr 2 HEB DEFRE Constr 3 26

point de vue scientifique Applications Trajectoire des astres D'après les lois de Newton, la trajectoire d'un corps céleste, soumis à la force de gravitation, est une conique (ellipse, hyperbole ou parabole). L'un des foyers de la conique est l'astre qui exerce la force de gravitation sur le corps en orbite. Les planètes, qui ont un mouvement périodique, décrivent donc des ellipses dont l'un des foyers est le Soleil. Les comètes peuvent avoir une trajectoire elliptique, hyperbolique ou parabolique. 12/20/2021 HEB DEFRE 27

point de vue scientifique Interférence En physique, le mot interférence désigne un phénomène qui résulte de la superposition de deux mouvements vibratoires de fréquence et d’amplitude voisines. Les points où les deux mouvements vibratoires se superposent définissent des familles d'ellipses et d'hyperboles. 12/20/2021 HEB DEFRE 28

points de vue historique, épistémologique, scientifique, technique Lois de réflexion D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux (ou toute onde sonore) pointant sur l'un des foyers, est réfléchi(e) par l'hyperbole dans une direction passant par l'autre foyer. Principe du télescope de Cassegrain Si l'on vise le foyer de cette branche d'hyperbole, la balle ira dans le trou en un rebond. 12/20/2021 HEB DEFRE 30

points de vue historique, géométrique, technique Trace- hyperbole de Delaunay Trace-hyperbole de Cavalieri 12/20/2021 HEB DEFRE 31

points de vue scientifique, technique Hyperboloïde Centrale nucléaire de Tricastin (Drôme) La surface de l'hyperboloïde possède une propriété remarquable : elle est dite réglée car on peut l'obtenir comme enveloppe d'une familles de droites (en fait elle est doublement réglée : engendrée par deux familles distinctes de droites). C'est cette remarquable propriété qui lui confère une structure stable et solide, même à grande hauteur (béton armé précontraint par des fers droits suivant deux directions), lui permettant d'être utilisée dans les centrales nucléaires (tours de refroidissement : hyperboloïde de révolution), château d'eau et tabourets "design" des années 70. . . 12/20/2021 HEB DEFRE 32

Les coniques Synthèse 12/20/2021 HEB DEFRE 33

1. Définition des Grecs Les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Ellipse 12/20/2021 Parabole HEB DEFRE Hyperbole 34

2. Définition par foyer et directrice Les coniques sont les lieux des points dont le rapport des distances à un point fixe (le foyer F) et à une droite fixe (la directrice d) est constant (égal à l’excentricité e). L’ellipse L’hyperbole La parabole e<1 e>1 e=1 y² = 2 px 12/20/2021 HEB DEFRE 35

3. Définition par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (le foyer) et d’un cercle ou d'une droite (C) (le cercle directeur ou la directrice). Autrement dit, ce sont les lieux du centre d’un cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (C). Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (C) est une droite : la parabole. 12/20/2021 HEB DEFRE 36

4. Définition bifocale des coniques Les coniques bifocales sont définies comme le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à 2 points fixes est une constante (2 a). L’ellipse L’hyperbole La parabole d(M, F) + d(M, F’) = 2 a d(M, F) - d(M, F’) = 2 a impossible [y² = 2 px] 12/20/2021 HEB DEFRE 37

Lien entre ces définitions Ce n'est qu'en 1822 que Dandelin et Quételet ont relié ces définitions en montrant que les foyers et les directrices sont obtenus à l'aide d’une ou deux sphères inscrites. Ces théorèmes relient en fait les définitions de coniques, section d'un cône, avec la définition bifocale et la définition unifocale. 12/20/2021 HEB DEFRE 38

5. Les coniques comme enveloppes Si F est un point et C est un cercle (une droite) la conique est l’enveloppe des médiatrices pour un point fixe et un point qui décrit une droite (parabole ) ou un cercle (ellipse pour le point intérieur au cercle et hyperbole pour le point extérieur au cercle). Parabole Ellipse Hyperbole Enveloppe des médiatrices d’un point F fixe et d’un point sur une droite fixe Enveloppe des médiatrices d’un point sur une cercle fixe et d’un point F fixe intérieur au cercle Enveloppe des médiatrices d’un point sur une cercle fixe et d’un point F fixe extérieur au cercle 12/20/2021 HEB DEFRE 39

6. définition actuelle d’une conique • Une conique est une courbe algébrique du deuxième degré. Cette définition englobe les cas de dégénérescence. Dans le cadre de ce cours, le mot conique désigne uniquement les cas non dégénérés, ou "propres" : ellipse, parabole et hyperbole. Expérience • L’équation générale d’une conique est une équation du second degré en x et y Ax² + 2 Bxy + Cy² + 2 Dx + 2 Ey + F = 0. • Cette conique est • une parabole si B²-AC = 0 • une ellipse si B²-AC < 0 • une hyperbole si B²-AC > 0 12/20/2021 HEB DEFRE 40

Conclusion 12/20/2021 HEB DEFRE 41

Bénéfices (1) Prise de conscience par les étudiants des différents angles sous lesquels on peut envisager un même sujet et des enrichissements mutuels qu’ils procurent. Les points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire se rencontrent et coexistent 12/20/2021 HEB DEFRE 42

Bénéfices (2) • Travail individuel favorisant la réflexion et la confrontation des résultats • Situations et figures claires et précises, impossibles au tableau • Disponibilité de l’enseignant dégagé de son tableau • Résolution de problèmes divers inédits 12/20/2021 HEB DEFRE 43

Bénéfices (3) Possibilité, dans Cabri Géomètre, • d’employer l’historique présent pour revoir, pas à pas, toutes les constructions qui ont été réalisées • de montrer différentes figures d’une même situation en faisant varier certains paramètres • de créer et utiliser des macros selon les besoins 12/20/2021 HEB DEFRE 44

Bénéfices (4) Possibilité, dans Power Point, • De s’arrêter à tout moment pour laisser le temps de résoudre des situations • de rompre la séquence et d’insérer des liens hypertextes pour naviguer dans la présentation • de faire des liens vers Cabri, vers Internet 12/20/2021 HEB DEFRE 45

Bénéfices (5) Possibilités dans Excel - de créer des coniques point par point - de faire des exercices parabole 12/20/2021 HEB DEFRE 46

Remarques • Tout doit être essayé, vérifié : tout ce qui se trouve sur Internet n’est pas correct, même si le site est sérieux • Difficulté de choisir et de structurer la masse d’information • Certaines images animées ne sont pas « chargeables » 12/20/2021 HEB DEFRE 47

Conseils (1) • Bien balancer les temps d’information et les temps d’activité personnelle des étudiants • Il faut oser se lancer, on apprend au fur et à mesure : chaque préparation est meilleure que la précédente, tirant avantage des essais et erreurs antérieurs Parabole Ellipse 12/20/2021 HEB DEFRE 48

Conseils (2) • Chaque étudiant doit disposer d’un ordinateur • Chaque étudiant peut disposer de notes de cours à compléter qui sont l’impression des écrans de la présentation 12/20/2021 HEB DEFRE 51

F i n 12/20/2021 HEB DEFRE 52