Engenharia Econmica 1 MATEMTICA FINANCEIRA PROF ANTONIO HENRIQUES

Engenharia Econômica 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

§ O valor do dinheiro no tempo. § Critérios de capitalização de juros. § Juros simples § Juros compostos. § Conversões de taxas de juros. 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

1. Introdução: O valor do dinheiro no tempo 1. 1 O valor do dinheiro no tempo A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. 1. 2 Definição de juros e de taxa de juros Para Dutra (2000) juro representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser ntendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro. Taxa de juro é a relação entre o juro recebido ou pago ao final de certo período de tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue. I = J/C (equação 1) Onde I é a taxa de juro, J o valor do juro pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juro deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, p. e. 20% a. a. , 15% a. t. , etc. 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

1. Introdução: Formação da taxa de juros 1. 3 Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico, as taxas de juros Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros: ü Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas administrativas); ü Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido; ü Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos; ü Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da Moeda; ü Impostos. 4 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 2. 1 Critérios de capitalização Os critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e incorporados sucessivamente ao capital ao longo do tempo. Podem ser identificados dois regimes de capitalização de juros: simples (linear) e composto (exponencial). 2. 2 Regime de capitalização simples O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão aritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. Por este critério, os juros só incidem sobre o capital inicial (principal). Admita-se um depósito de R$1. 000 remunerados a uma taxa de 10% a. a. Os juros apurados ao longo de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial +juros) estão demonstrados no quadro 1: Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 2. 3 Regime de capitalização composta No regime de capitalização composta são incorporados ao capital, não apenas os juros referentes a cada período, mas também os juros incidentes sobre os juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce, exponencialmente, em função do tempo. O conceito de montante aqui, é o mesmo da capitalização simples, ou seja é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo de aplicação ou da dívida. O comportamento equivale ao de uma progressão geométrica (PG), incidindo os juros sempre sobre o saldo apurado no inicio do período imediatamente anterior. Considere-se os mesmo R$ 1000, 00 de capital inicial e a mesma taxa de juros de 10% a. a. adotados no exemplo anterior. O cálculo dos juros acumulados e do montante são ilustrados no quadro 2: Quadro 2: Juros apurados com capitalização composta 6 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce, exponencialmente, com a taxa de juros. . . Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%) Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta 7 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: Num regime de capitalização composta, o montante cresce exponencialmente com a taxa de juros. . . Montante Fig. 2. 1: Capitalização simples e composta Número de períodos 8 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 2. 4 Capitalização simples 2. 4. 1 Cálculos dos juros O valor dos juros num regime de capitalização simples é dado pela expressão: (equação 2) onde: J = valor do Juro em valores monetários, P = valor do capital inicial ou principal, e n = prazo ou número de períodos. Exemplo: 1. Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1. 000, 00 pelo prazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5, 0% a. a. Solução: J = P x i x n, substituindo os valores númericos, teremos, J = $ 1. 000 x 0, 05 x 4 = $ 200, 00. 9 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 2. 4. 2 Montante e valor atual O montante ou valor futuro, indicado por M, representa a soma do principal e dos juros referentes ao período de aplicação: M=P+J (equação 3) Inserindo a equação 2 na equação 3, teremos: M = P + P x i x n ou M = P (1 + i x n ) (equação 3 a) Exemplo: Sabendo-se que os juros de $ 6. 000, 00 foram obtidos com a aplicação de $ 7. 500, 00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se calcular o prazo de aplicação. P = 7500, 00 J = 6. 000, 00 i = 8% a. t. n = a ser calculado Solução: J = P x i x n , portanto, n = J/(P x i ) = 6000/(7500)x 0, 08) = 10 trimestres. 10 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

Exercícios para a segunda aula 1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60. 000, 00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durante 7 meses. R: $ 8. 400, 00. 2. Um capital de $ 28. 000, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11. 200. Determinar a taxa unual. R: 60 %. 3. Durante 155 dias certo capital gerou um montante de $ 64. 200. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4 % ao mes, deteminar o valor do capital aplicado. R: $ 53. 204, 42. 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

12 4. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100. 000, resultante da aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses. R: $ 31. 271, 48 5. Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $ 125. 000, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre. R: $ 156. 500, 00 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 2. 5 Capitalização composta 2. 5. 1 Cálculos dos juros num regime de capitalização composta Consideremos, num regime de capitalização composta, um principal P, ou valor presente, uma taxa de juros, i, e um montante F, também chamado de valor futuro, a ser capitalizado e um prazo n. No fim do 1 o. período, o montante S será igual a: F = P + P x i ou P (1 + i) O juro pago no fim do 2 o. período será igual a: P (1 + i) i Portanto, o montante S, no fim do 2 o. período, será dado por: P (1 + i) + P (1 + i) I ou, F = P (1 + i)2. E, assim, ao término do n-ésimo período o montante F, será dado por: F = P (1 + i)n 13 (equação 4) MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: O fator (1 + i)n é denominado Fator de Capitalização (FCC), sendo tabelado para uma determinada taxa i, e para um determinado número de períodos n. Adotemos no nosso curso, a seguinte notação para este fator, para uma taxa de 5% a. p. e 10 períodos, o fator FCC(5%, 10) será de (1 + 0, 05)10 ou 1, 62889. Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FCCs para: i =10% a. a. e 8 anos; e i = 8% a. s. e 2 semestres 2. 5. 1 Cálculo do valor futuro F, dados, P, i e n Assim, dada a equação (4) podemos resolver problemas do seguinte tipo: (. . . ) conhecido o valor do principal P, ou valor presente, a taxa de juros i e o número de períodos n a ser capitalizado, podemos calcular o Montante F, ou valor futuro, como mostrado no fluxo de caixa abaixo: Fig. 2. 2: Fluxo de caixa da situação: Dados P, i e n calcular S. F= 1 2 3 n P 14 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: Exemplo: Quanto renderá em 6 meses, um capital de $ 2000, aplicado a uma taxa de juros de 5% a. m. Aplicando a equação (4): S = 2000 (1 + 0, 05)6 = 2000 x 1, 3400 => $ 2. 680, 00 2. 5. 2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F A partir da equação (4) podemos deduzir que: (equação 5) O fator é denominado Fator de Atualização de Capital (FAC) e é igualmente tabelado para uma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n. Passemos a adotar a seguinte notação para este fator: dada uma taxa de juros de 4% a. p. e 5 períodos o fator FAC (4%, 5) será de 0, 82193. Note que os fatores FCC e FAC são números inversos, isto é, se multiplicarmos FAC (4%, 5) por FCC (4%, 5) obteremos 1 ou, no nosso exemplo, 0, 8121 x 1, 21665 = 1. Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FACs para: i = 10% a. a. e 8 anos; e i = 8% a. s. e 2 semestres 15 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: Assim, dada a equação (5) podemos resolver problemas do seguinte tipo: (. . . ) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n, podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostrado no fluxo de caixa abaixo: Fig. 2. 3: Fluxo de caixa da situação: Dados S, i e n calcular P. F 1 2 3 n P= Exemplo: Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2% a. m. , em 18 meses, a quantia de $ 5. 000, 00. Solução: aplicando a fórmula (5), P = 5. 000/(1+0, 02)18 = 5. 000/1, 42825 = $ 3500, 78, ou, resolvendo de uma outra forma P = S FAC(2%, 18) = 5. 000 x 0, 70016 = $ 3. 500, 78. 16 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

2. Critério de capitalização de juros: 17 1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a. m. em um regime de juros compostos, a partir de um principal de $ 1. 000, 00. R: $ 1. 428. 250, 00 2. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de $ 500. 000, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a. s. em um regime de juros compostos. R: $ 285. 877, 64 3. Um cidadão investiu $ 10. 000 nesta data, para receber $ 14. 257, 60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos. R: $ 3, 0% a. m. MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

18 4. Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ 100. 000, 00 nesta data, a uma taxa de 2, 75% a. m. no regime de juros compostos. R: $ 829. 817, 86 5. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a. m. , de forma que possa retirar $ 10. 000, 00 no final do 6 o. mes e $ 20. 000, 00 no final do décimo segundo mes. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados. R: $ 24. 650, 00 6. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3, 0% a. m. R: 37, 1 meses 7. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400, 00 num prazo de 14 meses. R: 5, 076% a. m. MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

3. Conversões de taxas de juros: 3. 1 Equivalencia de taxas de juros com capitalização composta Uma condição para a equivalencia de taxas de juros é que estas taxas, aplicadas sobre um mesmo principal, ou capital inicial, produzam o mesmo montante, ao final de um certo prazo n. Se uma certa taxa mensal im é equivalente a uma certa taxa anual ia, então: P (1 + im )12 = P (1 + ia ) (equação 6) Dividindo a equação (6) por P: (1 + im )12 = (1 + ia ) (equação 7) Transformando a equação 7: ou: (equação 8) Exemplo: Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 20% a. a. Aplicando a equação (8) obtemos: ; 19 = 1, 01531 – 1 => 1, 531% a. m. MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

3. Conversões de taxas de juros: 3. 2 Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros: a) Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior: Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamos aplicar a seguinte fórmula: ie= (1 + iq )n - 1 (equação 9) onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: converter uma taxa de 4% a. t. em taxa anual. Ie = (1 + 0, 04)4 = 1, 16985 => ie = 16, 98% a. a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres. b) 20 Conversão de uma taxa de período de tempo maior para uma taxa de período de tempo menor: taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc. MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

3. Conversões de taxas de juros: Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula: onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor. Exemplo: Converter uma taxa de 40% a. a. em taxa quadrimestral. => 11, 87% a. q. 21 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

3. Conversões de taxas de juros: Exercício Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de: 1. 100% a. a. ; 2. 82% a. a. ; 3. 28% a. s. e 28% a. a. ; 4. 28% a. a. ; 5. 32% a. t. 22 MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

Exercícios 23 1. Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ 100. 000, 00 a taxa de 3, 75% a. m. R: $ 144. 504, 39 2. Uma pessoa empresta $ 80. 000, 00 hoje para receber $ 507. 294, 46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. R: 8% a. m. ou 151, 817% a. a. 3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma institução finaceira é de 12, 486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20. 000, 00 será resgatado por $ 36. 018, 23. R: 5 trimestres ou (15 meses). MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

24 4. Quanto devo aplicar hoje, a taxa de 51, 107% a. a. para ter $ 1. 000, 00 no final de 19 meses. R: $ 520. 154, 96. 5. Em que prazo uma aplicação de $ 374. 938, 00 a taxa de 3. 25% a. m. , gera um resgate de $ 500. 000, 00 R: 9 meses. MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES