Energia Potenziale Elettrica e Potenziale elettrico La forza

Energia Potenziale Elettrica e Potenziale elettrico La forza di Coulomb, mattone di tutta l’elettrostatica, è una forza conservativa. E’ quindi possibile definire per essa una funzione Energia Potenziale. • L’energia potenziale è la funzione U(x, y, z), definita in ogni punto P(x, y, z) dello spazio, che dà il lavoro necessario per portare una carica q 0 da un punto di riferimento precedentemente determinato al punto P, cambiato di segno. • Come per ogni forza conservativa il calcolo del lavoro non dipende dalla traiettoria che viene percorsa. • Le proprietà dell’energia potenziale elettrica saranno le medesime di quella gravitazionale già trovata in meccanica Una situazione simile a quella della forza gravitazionale in prossimità della superficie terrestre (una forza cioè costante) si può ottenere all’interno di un condensatore a piatti piani paralleli, nella regione in cui il campo è costante Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 1

Energia potenziale per una carica puntiforme L’energia potenziale posseduta da una carica puntiforme q 0 nel punto A (x. A, y. A, z. A) immersa in un campo elettrico generato dalla carica puntiforme Q è dato dal lavoro necessario portare la carica da A ad un punto di riferimento P Poiché il lavoro non dipende dalla traiettoria posso scegliere una traiettoria ‘facile’ per andare da A a P Q A(x. A, y. A, z. A) q 0 1) Mi muovo su un arco di circonferenza di centro in Q da A al punto B Poiché lo spostamento è ortogonale alla forza (radiale) il lavoro è nullo 2) Mi muovo in direzione radiale da B a P B q 0 P(xrif, yrif, zrif) Se considero il punto di riferimento all’infinito. Il potenziale di una carica puntiforme q 0 posta nel punto A all’interno del campo elettrico generato dalla carica Q distante da q 0 r. A è dato da: Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 2

Potenziale Si definisce potenziale del punto A, V(A) il rapporto dell’energia potenziale con il valore della carica sonda q 0. E lo stesso approccio con cui si è passati dalla forza al campo elettrico si elimina cioè la carica prova e si crea una funzione che dipende solo dalla sorgente del campo. Nel caso in cui Q è una sorgente puntiforme allora Il potenziale è associato unicamente alla distribuzione di carica che genera il campo elettrico. Il potenziale di una carica puntiforme costituisce il mattone con cui, con un processo di integrazione, si costruisce il potenziale di una qualsiasi distribuzione di cariche r P(x 0, y 0, z 0) Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 3

Come è possibile passare dal campo elettrico al potenziale (con un processo di integrazione nello spazio) è anche possibile ritornare indietro, passare cioè dal potenziale al campo elettrico. Il procedimento matematico è quello, ovviamente, di derivazione. Tuttavia: Il potenziale è uno scalare il campo elettrico è un vettore. Il passaggio da campo elettrico a potenziale è stato fatto mediante un prodotto scalare. Dal potenziale dobbiamo recuperare tutte e tre le componenti di E. L’operatore matematico in grado di fare questo procedimento inverso è il gradiente indicato come Grad. Le componenti del campo elettrico si ottengono a partire dal potenziale come la derivata parziale del potenziale rispetto alla variabile stessa cambiata di segno. In dipendenza dal sistema di coordinate usato la derivata parziale può avere o meno un coefficiente moltiplicativo. In generale per descrivere un sistema di cariche più che la forza o il campo elettrico si usa il potenziale. Infatti: • Il potenziale è uno scalare (ho cioè una sola componete, invece che tre) • Mediante il gradiente è facile passare dal potenziale al campo • Il potenziale mi permette il calcolo del lavoro, che in generale è l’osservabile che serve nei problemi pratici Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 4

Potenziale di una carica puntiforme E’data una carica puntiforme Q posta nell’origine del sistema di coordinate sferiche. Il potenziale generato da questa carica nel punto A posto ad una distanza radiale r. A è dato da: L’andamento del potenziale V in funzione della distanza radiale è di tipo iperbolico. Passando dalla posizione A alla posizione B (avvicinandosi quindi a Q carica sorgente del campo) una carica qualsiasi q 0 passa da una regione a potenziale più basso ad una regione a potenziale più alto. Il lavoro che dovrà essere compiuto è pari a: E’ cioè positivo per una carica positiva e negativo per una carica negativa Una carica positiva, se lasciata libera di muoversi, accelererà da una regione di potenziale maggiore verso una regione a potenziale minore • rotola giù dalla curva Una carica negativa, se lasciata libera di muoversi, accelererà da una regione di potenziale minore verso una regione a potenziale maggiore Ovviamente non cambia assolutamente nulla per un campo elettrico generato da una carica -Q basta solo invertire i segni Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 5

Superfici Equipotenziali Una superficie equipotenziale è una superficie dello spazio 3 D su cui il potenziale elettrico è lo stesso in ogni punto. Nel caso di un campo elettrico generato da una carica puntiforme le superfici equipotenziali sono delle sfere. In caso di distribuzione di cariche più complesse le superfici equipotenziali possono assumere forme piu complicate Nota: Non si deve compiere lavoro per muovere una carica su una superficie equipotenziale L’intensità del campo elettrico generato da una qualsiasi distribuzione di cariche è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali ed è orientata nel verso del potenziale crescente Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 6

Obiettivi generali degli esercizi (aula/tutor. ): è Saper calcolare il potenziale dovuto ad una carica e comprendere e saper utilizzare il principio di sovrapposizione; è Saper calcolare il lavoro nota la ddp e saper applicare la conservazione dell’energia per l’elettrostatica. Nota: Anche questi argomenti trattati esclusivamente in Aula sono argomento di esame Potenziale Elettrico, Cap. 25. 1 -25. 6 HRW 7