ENERGI FERMI UNTUK ELEKTRON BEBAS DALAM TIGA DIMENSI

ENERGI FERMI UNTUK ELEKTRON BEBAS DALAM TIGA DIMENSI Seminar Fisika Oleh : Andhi Muttaqin K 2304014 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2008

A. PERSAMAAN SCHRODINGER PADA GERAK PARTIKEL BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI 1. Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Satu Dimensi Pada sistem konservatif berlaku hukum kekekalan energi, yaitu jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal: artinya tidak bergantung pada waktu dan posisi. Sebagaimana diketahui, hukum kekekalan energi tersebut telah dapat dijelaskan baik oleh fisika klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang lebih baru, persamaan Schodinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi p 2/2 m + Ep = Em

Persamaaan Schodinger merupakan persamaan differensial yang akan menghasilkan penyelesaian yang tepat terhadap masalah fisika kuantum. Persamaan demikian ini haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut : a. Konsisten dengan hokum kekekalan energi, Ek + Ep = Em … (2. 1) b. Persamaan ini bagaimanapun bentuknya, harus konsisten dengan persamaan de. Broglie. Oleh karena itu untuk partikel bebas dengan momentum p dan panjang gelombang λ = h/p, maka energi kinetik Ek = p 2/2 m =ћ 2 k 2 /2 m …………. . . …… (2. 2) c. Karena persamaan ini menunjukkan peluang untuk menemukan partikel, maka persamaan ini haruslah berharga tunggal , tidak boleh ada dua peluang yang berbeda untuk menemukan partikel pada titik yang sama dalam ruang. Persamaan ini harus linier, sehingga gelombang itu memiliki sifat superposisi.

Oleh karena itu dipostulatkan gelombang de Broglie untuk partikel bebas juga mempunyai bentuk yang sama ψ(x, t) = A sin (kx – ωt) ………………… (2. 3) Gelombang ini mempunyai panjang gelombang λ=2 л/k dan frekuensi v= ω/ 2 л. Untuk sementara diambil bahwa t = 0, sehingga ψ(x, t) menjadi ψ(x, t = 0), sehinnga ψ x = A sin kx ………………. . (2. 4) Sebelumnya telah didapatkan bahwa Ek = ћ 2 k 2 /2 m dan satunya cara untuk mendapatkan bentuk k adalah dengan mengambil turunan kedua dari y(x) = A sin kx terhadap x, ψx = A sin kx Dψ/dx = k. A cos kx ……………………… (2. 5) D 2ψ/dx 2 = k 2 A sin kx ( ħ 2/2 m) d 2ψ/dx 2 + Ep ψ = Em ψ ………………… (2. 6) Persamaan inilah yang memenuhi ketiga kriteria tersebut dan inilah persamaan Schodinger bebas waktu dalam satu dimensi

2. Persamaan Schrodinger Pada Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Tiga Dimensi Partikel yang berada didalam kotak potensial berukuran x, y dan z seperti gambar (a). Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, Ep ~. Sedangkan potensial didalam kotak sama dengan nol. z y x Gambar 1. Kotak potensial tiga dimensi Untuk tiga dimensi persamaan Schodinger menjadi : E = E x + Ey + Ez

Dalam pembahasan Fisika Modern telah digetahui bahwa, persamaan Schodinger untuk partikel bebas ( energi potensial Ep = 0 ) dalam tiga dimensi biasa ditulis sebagai berikut : ( ħ 2/2 m)(d 2/dx 2+d 2/dy 2+d 2/dz 2) ψ(r) = Em ψ(r) karena Ek + Ep = Em sedangkan untuk nilai energi potensial Ep = 0, maka Ek = Em sehingga persamaan Schodinger untuk partikel bebas dalam tiga dimensi dapat ditulis ( ħ 2/2 m)(d 2/dx 2+d 2/dy 2+d 2/dz 2) ψ(r) = Ek ψ(r) …. . ………. (2. 7)

B. PERSAMAAN ENERGI KINETIK ELEKTRON YANG BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI 1. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Satu Dimensi Bila suatu partikel bebas bergerak dalam suatu kotak satu dimensi yang panjangnya L, maka partikel tersebut terkurung dalam kotak. x=0 x=L Gambar 2. Partikel bergerak bebas dalam arah satu dimensi Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan p 2/2 m + Ep = Em

2. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Tiga Dimensi Partikel yang terperangkap dalam suatu kotak sama seperti suatu gelombang tegak dalam suatu tali yang direntangkan antara dinding kotak. Karena itu panjang gelombang de. Brolie dari partikel dalam kotak ditentukan oleh lebar kotak L seperti gambar berikut. L Gambar 3. Partikel terbatas dalam kotak yang lebarnya L

Jika elektron itu diletakkan didalam sebuah kubus dengan panjang sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri yang mirip dengan penggabungan tiga fungsi gelombang elektron dalam sebuah sumur potensial satu dimensi yang kedalamanya tak hingga, yaitu sebagai berikut : ψ(r) = A sin(лnxx/L)sin(лnyy/L)sin лnzz/L) …………. . (2. 8) Dimana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Biasanya sangat menyenangkan jika menggunakan sebuah fungsi gelombang yang periodik, artinya : ψ(x, y, z)= ψ(x+L, y, z)= ψ(x, y+L, z)= ψ(x, y, z+L) ……………. . (2. 9) Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schodinger (2. 7) dan yang periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut : ψ(r) = exp (ik. r) …………………… (2. 10) Dapat diperhatikan bahwa komponen k. r adalah perkalian vektor yang menghasilkan skalar (dot product). Nilai komponen k pada persamaan (2. 10) diatas adalah sebagai berikut : kx, ky, kz = 0, ± 2 л/L, ± 4 л/L, ± 6 л/L, ± 8 л/L, . …± 2 nл/L, ……… (2. 11)

Selanjutnya akan dihitung energi elektron bebas dalam tiga dimensi. Yaitu dengan cara mensubtitusikan persamaan (2. 10) kedalam persamaan (2. 7), dengan cara sebagai berikut: ψ(r) = exp (ik. r) disubtitusikan ke persamaan ħ 2/2 m(d 2/dx 2+d 2/dy 2+d 2/dz 2) ψ(r) = Ek ψ(r) sehingga akan didapatkan nilai Ek sama dengan Ek= ħ 2/2 m(kx 2+ky 2+kz 2) Ek = ( ħ 2/2 m)k 2 …………………. . (2. 14)

Persamaan (2. 14) ini menyatakan energi kinetik elektron bebas dalam ruang tiga dimensi. Ingat bahwa energi potensial elektron bebas adalah nol sehingga energi elektron sama dengan energi kinetiknya. Nilai k ini sering dikaitkan dengan nilai panjang gelombang elektron melalui persamaan berikut : k = 2 л/λ, dimana adalah panjang gelombang disamping itu momentum sudut linear juga sering dikaitkan dengan vektor gelombang k melalui persamaan, P = ħk

C. PERSAMAAN ENERGI FERMI PADA ELEKTRON YANG BERGERAK BEBAS DALAM RUANG TIGA DIMENSI Tinjauan secara klasik ternyata hasilnya kurang cermat, sehingga dalam pembahasan selanjutnya akan digunakan konsep secara kuantum bahwa energi elektron itu terkuantisasi, dan dapat ditunjukkan dalam bentuk level energi serta menurut Bohr bahwa elektron dalam atom hanya dapat memancarkan kuanta cahaya utuh, bukan potongan kecil. Jadi, elektron tidak mungkin terpelintir kedalam, elektron hanya dapat melompat dari satu orbit ke orbit lainnya tepat satu kuantum energi lebih dekat ke inti. Seperti terlukis dalam gambar dibawah ini.

Ef 1 Ef T=0 K T>0 K E 0 Ef Gambar 4. Level energi Gambar 5. Fungsi distribusi f(E) vs E Gambar diatas (4) melukiskan level energi yang terkuantisasi. Elektron elektron didalam logam menempati level energi tersebut. Menurut prinsip larangan Pauli, satu level energi dapat terisi oleh dua elektron yang berspin, dan pengisian level energi, dimulai dari yang terendah sampai yang tertinggi. Level energi tertinggi yang dapat terisi disebut level energi Fermi.

Dalam keadaan dasar (T = 0 K ) semua energi yang terletak dibawah energi Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu, vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang berada pada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika dimisalkan vektor gelombang Fermi dengan huruf kf, maka energi Fermi dapat dituliskan sebagai berikut Ef = ( ħ 2/2 m)kf 2……………(2. 15) Dalam ruang k (ruang resiprok) kita dapat menggambarkan sebuah bola dengan jari kf yang menampung semua elektron didalamnya. Artinya tidak ada elektron lain yang terletak diluar bola, karena vektor gelombang terbesar pada keadaan dasar adalah kf. volume bola ini tentunya sama dengan (4/3)лkf 3 , dimana kf menyatakan jari bola. Bola tersebut dapat dilihat pada gambar berikut : kz Ef ky kx Gambar 6. Elektron terletak didalam bola yang berjari kf, Dimana kf adalah vektor gelombang Fermi

Dari persamaan (2. 11) dapat diketahui bahwa nilai terkecil dari kx, ky dan kz adalah 2 л/L (bukan nol, karena jika k = 0 berarti tidak ada elektron). Sehingga jika diambil elemen volume (volume terkecil yang berbentuk kubus dengan sisi kx, ky dan kz dari bola tadi, maka volumenya menjadi(2 л/L)3. kz Ef ky kx Gambar 7. Elemen volume kubus dengan sisinya (2) pada bola

dapat dilihat vektor gelombang Fermi adalah bergantung pada konsentrasi elektron (n = N/V), sehingga kf dapat dituliskan sebagai berikut : kf = (3 л 2 N/V)⅓ = (3 л 2 n)⅓ ……………… (2. 18) Dengan demikian, energi Fermi dalam sistem tiga dimensi dapat diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan (2. 18) kedalam persamaan (2. 15) sehingga diperoleh sebagai berikut : Ef = (ħ 2/2 m)(3 л 2 n)2/3……………. (2. 19) Persamaan (2. 19) diatas ini mengaitkan energi Fermi dengan konsentrasi elektron n =N/V