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En general la suma de variables aleatorias, aún cuando las mismas sean idénticas e independientes, no mantiene la distribución de las variables sumadas ¿Cómo se suman? ¡Artesanalmente! No obstante La combinación lineal de un número finito de variables aleatorias normales independientes, aún cuando las mismas no sean idénticas, da por resultado una variable aleatoria normal Propiedad reproductiva de la variable aleatoria normal Normales Independientes 1 Propiedad reproductiva Normal

Variables aleatorias multidimensionales. (TPNº 5. Ejercicio 17. c) Envasadora automática de líquidos Una envasadora automática de líquidos llena los envases mediante un pico de caudal constante de 0, 7 litros/seg y tiempo de llenado variable. Se ha comprobado que este tiempo puede considerarse normalmente distribuido con desvío estándar igual a 0, 03 seg. El contenido neto de cada envase debe ser de 1 litro. Se quiere tener la seguridad de que dicho volumen será sobrepasado el 95% de las veces. Razones técnicas obligan a dejar libre un volumen mínimo de 0, 02 litros. Se desea una probabilidad 0, 99 de que esto ocurra. Se sabe también que el volumen de los envases se distribuye normalmente alrededor del valor especificado con desvío estándar igual a 0, 01 litros. – Indicar el volumen que deberá especificarse para los envases. – ¿Cuál es el porcentaje de envases que desbordarán? – Calcular el coeficiente de correlación entre el contenido neto y el volumen libre. 2

Envasadora automática de líquidos V: volumen de líquido vertido en el envase (en litros) T: tiempo de llenado (en segundos) Vínculo: valor de caudal constante 0, 7 litros/seg Propiedad Reproductiva de la Distribución Normal (caso particular) Condición del problema: VE: volumen real del envase (en litros) VL: volumen libre en el envase (en litros) o excedente si es < 0 Vínculo: VL =VE V 3 VE incógnita Combinación lineal v. a. independientes con distribución normal

Envasadora automática de líquido V: volumen de líquido vertido en el envase (en litros) VE: volumen real del envase (en litros) VL: volumen libre (o excedente) en el envase (en litros) Condición del problema: ¿Qué volumen que deberá especificarse para los envases? Resp 17. i) VE 1, 0887 litros ¿Porcentaje de envases desbordados? Conocer la probabilidad de derrame en un envase Resp 17. ii) El porcentaje de envases desbordados será 0, 07% 4

Envasadora automática de líquido Recordatorio: V y VE son variables aleatorias independientes Resp 17. iii) 0, 903 (aprox) 5

Variables aleatorias multidimensionales. (TPNº 5. Ejercicio 17. d) Zapatillas económicas Hay unas zapatillas económicas que se expiden en cajas de cartón corrugado de 6 pares, cada par contenido en su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir que se encuentran 11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decidido efectuar un control al final de la línea de empaques, pero como obviamente sería ilógico abrir cada caja para verificarla, se aplicará el siguiente procedimiento: se colocará una balanza al final de la línea y se pesarán todas las cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe fijarse un peso crítico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrirá. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condición de detectar al menos el 99% de las cajas con 11 zapatillas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con los siguientes parámetros: peso individual de las zapatillas en gramos, peso de las cajas individuales en gramos, peso de las cajas de cartón corrugado en gramos, Calcular: i. el valor de C; ii. el porcentaje de las cajas completas que se revisa inútilmente. 6

Zapatillas económicas T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12 peso individual de cada una de las zapatillas peso de cada caja individual Todos los pesos están en gramos peso del empaque de cartón V. A. Normales independientes Suponemos que el error está en el embalaje de los pares de zapatillas pero no hay error en el número de cajas individuales dentro del empaque de cartón 7 Propiedad reproductiva: T tiene distribución normal

Zapatillas económicas T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12 Control: toda caja de peso inferior a C va a revisión ¿C? Criterio para hallar C: asegurar que el 99% de los embalajes con 11 zapatillas vaya a revisión Vinculado al porcentaje de embalajes en buenas condiciones que van innecesariamente a revisión re rro e de s po s ti s, ¿ ld á u c a re p r yo a m ¿? ón? i c pa u c o 0. 99 Do 8 Representación de las funciones de densidad de probabilidad de Tk para valores k=12, 11, 10 (El valor medio T y la dispersión T van disminuyendo da acuerdo a las leyes halladas)

Zapatillas económicas Cálculos se verifica: Con este valor de C, para . El 11, 31% de los embalajes en buenas condiciones va a revisión 9