Elipsa Vypracoval Mgr Luk Bik TENTO PROJEKT JE

Elipsa Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Elipsa jako kuželosečka α β Elipsu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny, která s osou kužele svírá ostrý úhel (α) větší, než je úhel mezi stěnou a osou kužele (β), tedy α > β.

Elipsa jako množina bodů Elipsu lze definovat i jako množinu bodů v rovině: X 1 X 2 E F Elipsa je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek – E, F) stejný součet vzdáleností. Tento součet se rovná délce hlavní osy: |EX| + |FX| = 2 a, kde a je kladné konstantní (pro všechny body na elipse) reálné číslo.

Popis elipsy s hlavní osou || s osou x C a b a S A E F e D B S – střed elipsy E, F – ohniska elipsy A, B – hlavní vrcholy C, D – vedlejší vrcholy a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EC| = |FC| = |ED| = |FD|) b = |CS| = |SD| – vedlejší poloosa e = |ES| = |SF| – excentricita Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: a 2 = b 2 + e 2

Popis elipsy s hlavní osou || s osou y S – střed elipsy E, F – ohniska elipsy C, D – hlavní vrcholy A, B – vedlejší vrcholy C E b e S A B b = |CS| = |SD| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EA| = |FA| = |EB| = |FB|) a = |AS| = |SB| – vedlejší poloosa a b F e = |ES| = |SF| – excentricita Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: b 2 = a 2 + e 2 D

Středová rovnice elipsy y X[x; y] y x 0 x y n S[m; n] × m 0 Obdobně pro libovolný bod X[x; y] na elipse se středem v bodě S[m; n] lze odvodit: X[x; y] y Pro libovolný bod X[x; y] na elipse se středem v počátku lze odvodit pomocí definice elipsy jako množiny bodů následující vztah: x x Protože jsou z rovnice patrné souřadnice středu a délky poloos, nazývá se tato rovnice středovou nebo také osovou rovnicí elipsy.

Obecná rovnice elipsy Odstraňme zlomky a závorky ze středového tvaru rovnice elipsy a převeďme všechny členy na levou stranu: Nahrazením b 2 = A, a 2 = B, – 2 b 2 m = C, – 2 a 2 n = D a b 2 m 2 + a 2 n 2 – a 2 b 2 = E lze rovnici zapsat jako Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice elipsy. Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici elipsy. Jednou z podmínek pro koeficienty A, B, C, D, E je např. stejné znaménko u A a B a zároveň jejich rozdílná hodnota (při stejné hodnotě by se mohlo jednat o kružnici), tedy A · B > 0 ^ A ≠ B.

Parametrické vyjádření elipsy Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i elipsa. Souřadnice každého bodu X na elipse lze vyjádřit takto: y X[x; y] y n t × S[m; n] m 0 x = a · cos t + m x x y = b · sin t + n kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek). Může nabývat hodnot z intervalu <0; 2π).

Převod obecné rovnice na středovou Při odvozování obecné rovnice ze středové postupujeme obdobně jako u kružnice. Příklad: Je dána obecná rovnice elipsy 4 x 2 + 2 y 2 – 4 x + 8 y – 3 = 0. Určete střed a délky poloos této elipsy. Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B: 4(x 2 – x) + 2(y 2 + 4 y) – 3 = 0 Výrazy v závorkách doplníme na tzv. čtverec (viz vzorec (A + B)2 = A 2 + 2 AB + B 2), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice: 4(x 2 – x + 0, 52) + 2(y 2 + 4 y + 22) = 4· 0, 52 + 2· 22 + 3 4(x – 0, 5)2 + 2(y + 2)2 = 12 Střed elipsy má tedy souřadnice [0, 5; – 2], a = √ 3 a b = √ 6.

Vzájemná poloha přímky a elipsy y p 1 T[x 0; y 0] y 0 × p 3 0 x p 2 Přímka může ležet mimo elipsu (přímka p 1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. Pokud přímka elipsu protíná (přímka p 2), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna. Pokud se přímka elipsy dotýká (přímka p 3), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se elipsy dotýká v bodě T[x 0; y 0], je: