Elettrostatica 4 23 maggio 2011 Angolo solido Flusso

Elettrostatica 4 23 maggio 2011 Angolo solido Flusso del campo elettrico Legge di Gauss

Angolo solido • Consideriamo una superficie sferica di raggio r • Una curva chiusa definisce una superficie • L’area è proporzionale al quadrato del raggio • L’angolo solido è definito come il rapporto tra area e raggio al quadrato • L’angolo corrispondente a tutto lo spazio è 2

Flusso del campo elettrico • Procediamo per generalizzazioni successive • Campo uniforme perpendicolare ad una superficie • Campo uniforme inclinato rispetto alla superficie • Campo non uniforme 3

Flusso di E: carica al centro di una sfera • Flusso del campo di una carica puntiforme positiva attraverso una superficie sferica centrata sulla carica Il segno di E, e quindi di F e` dato dal segno di Q • Idem per una carica negativa • Il flusso elementare attraverso l’angolo solido d. W non dipende dal raggio della sfera 4

Flusso di E: carica interna ad una superficie chiusa • Flusso del campo di una carica puntiforme attraverso una superficie chiusa qualunque che la contiene 5

Flusso di E: carica esterna ad una superficie chiusa • La superficie chiusa si può considerare come l’unione di due superfici aperte che sono viste dalla carica secondo uno stesso angolo solido W • I due flussi sono uguali e contrari, perché i prodotti scalari elementari hanno segno opposto sulle due superfici 6

Legge di Gauss • Flusso del campo di più cariche puntiformi attraverso una superficie qualunque • Legge di Gauss • 1 a equazione dell’e. m. 7

Forma differenziale della legge di Gauss • Consideriamo l’equazione • Applicando il teorema della divergenza, l’integrale di superficie si può trasformare in un integrale nello spazio • La carica si può pure esprimere come un integrale nello spazio • La legge di Gauss si può quindi riscrivere • L’uguaglianza degli integrali implica l’uguaglianza degli integrandi 8

Esercizi sulla legge di Gauss • Campo elettrico di – Piano indefinito con densità superficiale di carica uniforme – Filo indefinito con densità lineare di carica uniforme – Sfera, con densità di carica spaziale uniforme • Campo all’interno di conduttori pieni e cavi – Caso particolare di sfere concentriche • Direzione del campo alla superficie di un conduttore 9

Intensita` del campo E sulla superficie di un conduttore • Consideriamo una Sd. G cilindrica S di base molto piccola parallela alla superficie del conduttore • Superficie laterale: parallela al campo esterno • Il flusso del campo E attraverso S è dato dal solo termine relativo alla base esterna (di area A) • Detta Q(S) la carica contenuta in S, per la Ld. G • Quindi il campo sulla superficie vale S E=0 10

Variazione discontinua di En attraverso uno strato di carica n • Una superficie cilindrica S con base piccola e altezza ancor più piccola • Il flusso di E attraverso S ha tre pezzi: base 1, base 2, superficie laterale • Trascuriamo il flusso sulla SL, in quanto l’altezza può essere presa piccolissima • Nota la carica contenuta in S, per la Ld. G • E la variazione della componente normale di E è 1 +++++++++++ 2 11