Elettrodinamica 4 9 novembre 2012 Equazione di continuita

Elettrodinamica 4 9 novembre 2012 Equazione di continuita` Limiti della legge di Ampère Corrente di spostamento Equazioni di Maxwell

Equazione di continuita` • E` un’altro modo di esprimere la conservazione della carica elettrica • Consideriamo una superficie chiusa S attraverso cui puo` transitare carica elettrica • Al tempo t la carica contenuta entro S sia Q(t) e al tempo successivo t+dt sia Q(t+dt) • Per la conservazione della carica elettrica la variazione della carica entro S dev’essere dovuta a corrente che attraversa S 2

Equazione di continuita` • Il segno negativo davanti a i e` dovuto alla relazione tra carica e corrente: corrente entrante porta ad un aumento di carica, corrente uscente ad una sua diminuzione • Ma d’altronde, essendo n J J • per correnti entranti che quindi risultano negative • per correnti uscenti che quindi risultano positive • Da qui la necessita` del segno negativo n 3

Equazione di continuita` • Possiamo quindi scrivere l’equazione di continuita` in forma integrale • Riscriviamo carica e corrente in termini delle loro definizioni integrali • Possiamo invertire la derivata a primo membro con l’integrale di volume e usare il teorema della divergenza a secondo membro per passare ad un integrale di volume 4

Equazione di continuita` • Siccome la superficie S e` arbitraria, l’uguaglianza degli integrali implica quella degli integrandi • Si ottiene cosi’ l’eq. di continuita` in forma differenziale 5

Lemma • La divergenza della rotazione di un campo vettoriale e` identicamente nulla • Per dimostrarlo poniamoci in un sistema cartesiano e calcoliamo la divergenza • Il primo termine e` 6

Lemma • Gli altri due termini si ottengono permutazione ciclica degli indici, avremo quindi • Siccome l’ordine di derivazione e` irrilevante, i termini si elidono a due e il lemma rimane dimostrato 7

Limiti della legge di Ampère • Non è applicabile a correnti non stazionarie (ad es. un condensatore) • Data una curva C, che contorna il filo, la circuitazione del campo B è • La corrente concatenata a C risulterebbe S 2 S 1 – attraverso S 1 : i – attraverso S 2 : zero • Per cui la legge di Ampère dà due risultati diversi a seconda che sia applicata a S 1 o a S 2 C 8

Maxwell • Si può vedere anche in forma differenziale: • Se facciamo la divergenza di entrambi i membri otteniamo che il primo membro si annulla, mentre il secondo, per l’eq. di continuita`, in generale è diverso da zero: • Maxwell propose di aggiungere un termine alla legge di Ampere, in modo da renderla sempre verificata • L’obiettivo e` arrivare all’eq. 9

Maxwell • Usando la legge di Gauss, esprimiamo la densità di carica in termini della divergenza del campo E: • Invertendo le operazioni di derivata temporale e di divergenza, e poi raccogliendo questo operatore: • L’equazione riformulata che Maxwell propose è dunque 10

Maxwell • In forma integrale: • Il nuovo termine è proporzionale alla derivata del flusso del campo E rispetto al tempo • Per il condensatore il nuovo termine dà: – attraverso S 1 : zero – attraverso S 2 : Esattamente quel che serve per rendere uguali i conti su S 1 e S 2 S 1 C 11

Corrente di spostamento • Il termine • vien detto corrente di spostamento • L’equazione di Ampère-Maxwell • è la 4 a equazione dell’e. m. nella sua forma completa 12

Equazioni di Maxwell • Legge di Gauss per il campo E • Assenza di monopoli magnetici • Legge di Faraday-Neumann • Legge di Ampère-Maxwell 13