Elementy kombinatoryki I dr hab in Magorzata Sterna

Elementy kombinatoryki I dr hab. inż. Małgorzata Sterna Instytut Informatyki malgorzata. sterna@cs. put. poznan. pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL. 04. 01. 02 -00 -189/10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Kombinatoryka Ü kombinatoryka: analiza problemów kombinatorycznych, dotyczących zbiorów skończonych Ü obiekty kombinatoryczne § § wariacje z/bez powtórzeń permutacje z/bez powtórzeń kombinacje z/bez powtórzeń podziały (uporządkowane) zbioru Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 2

Agenci do zadań specjalnych Ü do wykonania misji potrzebny jest udział 3 agentów Ü na ile sposobów można wytypować zespół? Ü kolejność wyboru osób nie ma znaczenia – liczy się przynależność do zespołu Ü nie można wybrać dwa razy tej samej osoby (brak powtórzeń) Ü kombinacja bez powtórzeń Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 3

Kombinacja bez powtórzeń n=6 k=3 Ü k-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego: k-elementowy podzbiór zbioru (k n) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 4

Agenci do zadań specjalnych 1 2 3 Ü pod koniec roku przydzielane są trzy nagrody dla najlepszych agentów Ü ile jest możliwych rozstrzygnięć konkursu? Ü kolejność wyboru osób ma znaczenie - oznacza pozycję w rankingu Ü jedna osoba może otrzymać tylko jedną nagrodę (brak powtórzeń) Ü wariacja (permutacja) bez powtórzeń Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 5

Wariacja bez powtórzeń n=6 1 2 3 k=3 Ü k-elementowa wariacja (permutacja) bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego: k-elementowy ciąg różnych elementów zbioru (k n) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 6

Agenci do zadań specjalnych 1 2 3 4 Ü raz do roku organizowane są zawody dla agentów w 4 różnych dyscyplinach, w których liczy się tylko zwycięstwo Ü ile jest możliwych rozstrzygnięć? Ü kolejność osób ma znaczenie - oznacza dyscyplinę Ü jeden agent może wygrać w kilku dyscyplinach (powtórzenia) Ü wariacja z powtórzeniami Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 7

Wariacja z powtórzeniami n=6 1 2 3 4 k=4 Ü k-elementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego: k-elementowy ciąg mogących się powtarzać elementów zbioru (k n lub k>n) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 8

Agenci do zadań specjalnych 1 1$ 2 1$ 1$3 1$4 Ü podczas zawodów w każdej dyscyplinie zwycięzca otrzymuje taką samą nagrodę finansową Ü na ile sposobów może zostać rozdzielona pula nagród? Ü kolejność osób nie ma znaczenie ponieważ nagroda jest taka sama w każdej dyscyplinie Ü jeden agent może wygrać w kilku dyscyplinach (powtórzenia) Ü kombinacja z powtórzeniami Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 9

Kombinacja z powtórzeniami n=6 1$ 1$ k=4 Ü k-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego: zestaw k elementów należących do n rodzajów elementów (k n lub k>n) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 10

Agenci do zadań specjalnych Ü w celu wykonania zadania agenci muszą dojechać na miejsce akcji dwoma identycznymi pojazdami Ü na ile sposobów mogą dojechać na miejsce akcji? Ü konieczny jest podział zbioru na dwa podzbiory niepuste (jeden agent musi być kierowcą) rozłączne (jeden agent nie może siedzieć w 2 samochodach) nierozróżnialne (pojazdy są identyczne) Ü podział zbioru Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 11

Podział zbioru Ü podział zbioru A to rodzina niepustych rozłącznych podzbiorów zbioru A, których suma wynosi A Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 12

Podział zbioru n=6 k=2 Ü liczbę podziałów zbioru n elementowego na k niepustych rozłącznych podzbiorów opisują Ü liczby Stirlinga 2 -giego rodzaju S (6, 2)=31 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 13

Agenci do zadań specjalnych Ü w celu wykonania innego zadania specjalnego agenci muszą dojechać na miejsce trzema pojazdami, w których powinny jechać odpowiednio 2, 1 i 3 osoby Ü na ile sposobów mogą dojechać na miejsce akcji? Ü konieczny jest podział zbioru na trzy rozróżnialne podzbiory (pojazdy nie są identyczne) o zadanej liczności Ü uporządkowany podział zbioru Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 14

Uporządkowany podział zbioru k=3 n=6 n 1=2 n 2=1 n 3=3 Ü uporządkowany podział zbioru A to ciąg (A 1, A 2, . . . , Ak), którego elementy A 1, A 2, . . . , Ak tworzą podział zbioru A ni=|Ai| Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 15

Uporządkowany podział zbioru k=3 n=6 n 1=2 n 2=1 n 3=3 Ü liczbę uporządkowanych podziałów zbioru można wyznaczyć za pomocą współczynnika wielomianowego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 16

Agenci do zadań specjalnych 3 1 2 3 Ü za wykonanie zadania specjalnego wszyscy agenci otrzymają nagrody – 1 nagrodę pierwszego stopnia, 2 nagrody 2 stopnia i 3 nagrody 3 stopnia Ü na ile sposobów można rozdzielić nagrody? Ü konieczne jest przydzielenie odpowiedniej liczby nagród 3 rodzajów (ściśle określona liczba powtórzeń) do 6 agentów (kolejność jest istotna) Ü permutacja z powtórzeniami Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 17

Permutacja z powtórzeniami n=6 3 k=3 1 n 1=1 2 3 n 2=2 n 3=3 Ü Permutacja n-elementową z powtórzeniami zbioru A={a 1, a 2, . . . , ak}, w której element a 1 powtarza się n 1 razy, . . . , element ak powtarza się nk razy, n 1+. . . + nk=n: ciąg n-wyrazowy, w którym poszczególne elementy zbioru A powtarzają się wskazaną liczbę razy (k n lub k>n) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 18

Zadania dodatkowe sformułowane w oparciu o literaturę: Ü K. A. Ross, Ch. R. B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, 1996 Ü R. P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics. An Applied Introduction, Addison Wesley Publishing Company, 1994 Ü L. Lovász, J. Pelián, K. Vesztergombi, Discrete Mathematics. Elementary and Beyond, Springer-Verlag, 2003 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 19