Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicaes Prof

Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações Prof. Juliano Assunção Depto. Economia, PUC-Rio juliano@econ. puc-rio. br Abril, 2005

Motivação n Comportamento estratégico: n n elemento que está presente nas relações econômicas; certos ambientes propiciam a adoção de tal comportamento; forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado. Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.

Como organizar e utilizar o conteúdo do curso? n Decisões envolvem, simultaneamente, vários aspectos relevantes. Trataremos, no curso, alguns tópicos importantes, separadamente. n Exemplo: n ATL NTICA. Prédio luxo, vista mar. 190 m 2. Varanda, amplo salão, 4 qtos, (suítes), copa-cozinha, dependencias, 3 vagas. Mobiliado/ equipado. R$3. 500, 00 +taxas. n LAGOA (B. MEDEIROS) frente Piraquê, 220 m 2, salão, s. jantar, toillete, 4 qtos, (2 suítes), banh. soc. , copa-coz, 2 dependências, 2 vagas, frente, alto. R$3. 300, 00 +taxas.

Elementos da decisão n 2 desafios da análise: n n Eliminar características pouco importantes. Comparar os atributos relevantes isoladamente, mantendo os demais constantes.

Seqüência dos cursos n Teoria dos Jogos: jogos estáticos e dinâmicos de informação completa. n Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta. n Organização Industrial e Estratégia n Antitruste

Jogo Estático vs Dinâmico n Diferença não depende de aspectos temporais. n Jogos estáticos: n n n jogadores não observam decisões dos oponentes ao escolher. Ex. : par ou ímpar. Jogos dinâmicos: n n escolhas são seqüenciais – ao menos algumas decisões. Ex. : xadrez.

O que é um jogo estático? n Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida. n Representação: n N jogadores; n para cada jogador i, temos: • Si – conjunto de estratégias possíveis; • Ui(si, s-i) – função de ganhos em cada resultado possível do jogo.

Exemplo n Caso Si seja finito, podemos representar um jogo através de uma matriz. 2 (par) 1 (ímpar) Par Ímpar Par -1, 1 1, -1 Ímpar 1, -1 -1, 1

“Common Knowledge” n n n A hipótese de conhecimento comum será adotada durante toda a análise. Cada participantes do jogo conhece a estrutura do jogo. A racionalidade dos jogadores é também de conhecimento comum. n “Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc. ”

Exemplo n 3 crianças numa roda. Há chapéus brancos e vermelhos. n Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu. 1 2 3

Exemplo (cont. ) n A professora pergunta a cada uma a cor do próprio chapéu. n n A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. n n Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “não sei”. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “vermelho”. Porque?

Solução n Resposta da criança 1: Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho. n Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho. n n Resposta da criança 2: Se 3 estivesse com chapéu branco, saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho. n Conclusão: 3 está usando vermelho. n

Solução n Note que, para o exemplo funcionar, é necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”. n A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.

Resolvendo jogos (i) Eliminação de estratégias estritamente dominadas

Dilema dos prisioneiros n n 2 prisioneiros são capturados e submetidos as interrogatório, em salas isoladas, sem comunicação. Alternativas: n n n C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. NC - não confessar e resistir. Penas dependem da interação de ambos. 2 1 NC C NC -1, -1 -9, 0 C 0, -9 -6, -6

Eliminação de estratégias estritamente dominadas n Diante da hipótese de que a racionalidade é de conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente. n Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que: Ui(si’, s-i) < Ui(si”, s-i), para todo s-i. Desigualdade é estrita!

Resolvendo o dilema dos prisioneiros n NC é estritamente dominada por C, para ambos. 2 1 NC C NC -1, -1 -9, 0 C 0, -9 -6, -6

Características importantes do dilema dos prisioneiros n A situação (NC, NC) é melhor que (C, C) para ambos. n O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC, NC) como solução. n Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações. n No caso de mercado competitivo, em que as ações não afetam o sistema, tal situação não é possível. (Primeiro Teorema de Bem-Estar)

Exemplo 2 2 1 E C D A 1, 2 3, 3 B 2, 3 3, 1 4, 2

Exemplo 3 2 1 E C D A 1, 2 3, 4 3, 3 B 2, 3 3, 1 4, 2

Limitações n O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo. n Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.

Resolvendo jogos (ii) Equilíbrio de Nash (estratégias puras)

Definição de equilíbrio de Nash - EN n Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash se, a partir dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente. n O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica. n Definição: O perfil (si*, s-i*) é um EN se, para cada jogador i, tem-se que: Ui (si*, s-i*) > Ui(si, s-i*), para todo si.

Definição alternativa n A função (ou correspondência) de melhor resposta atribui, a cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i). n EN é uma situação onde: si*=si(s-i*), para todo i. n Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”.

Exemplo 1 2 1 E C D A 1, 2 3, 4 3, 3 B 2, 3 3, 1 4, 2

Exemplo 2 Dilema dos prisioneiros 2 1 NC C NC -1, -1 -9, 0 C 0, -9 -6, -6

Exemplo 3 Batalha dos sexos M H Fut. Balé Fut. 2, 1 0, 0 Balé 0, 0 1, 2

Exemplo 4 Jogo de Coordenação M H Teatr o Praia Teatr o 2, 2 0, 0 Praia 0, 0 1, 1

Exemplo 5 Par ou Ímpar 2 1 Par Ímpar Par -1, 1 1, -1 Ímpa r 1, -1 -1, 1

Algumas características n Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias estritamente dominadas. n Equilíbrios múltiplos podem ocorrer. n Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação. n Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.

Exemplo 6 Metade da média n Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor. n Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.

Exemplo 6 (Continuação) n Estratégias estritamente dominadas: n Equilíbrio de Nash:

Exemplo 6 (Continuação) n Lições:

Resolvendo jogos (iii) Equilíbrio de Nash (estratégias mistas)

Definição n Em muitas situações, faz sentido estender o conjunto de estratégias, possibilitando aleatoriedade. n Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a extensão em estratégias mistas DSi, como o conjunto de medidas de probabilidade que podem ser definidas sobre Si. n Um EN em estratégias mistas do jogo (N, Si, Ui) é um EN do jogo estendido (N, DSi, Ui).

Existência de equilíbrio n Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas. n O resultado acima pode ser estendido em várias direções.

Exemplo Par ou Ímpar 2 1 Par Ímpar Par -1, 1 1, -1 p Ímpa r 1, -1 -1, 1 1 -p q 1 -q

Calculando o EN em estratégias mistas n Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes opções p/ 1: n n n Par: q(-1)+(1 -q)=1 -2 q Ímpar: q+(1 -q)(-1)=2 q-1 Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções p/ 2: n n Par: p+(1 -p)(-1)=2 p-1 Ímpar: p(-1)+(1 -p)=1 -2 p

Função de melhor resposta p 1 1 1/2 EN 2 0 1/2 1 q

Evidência empírica n Levitt, S. P. A. Chiappori e T. Groseclose (2002) “A Test of Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer. ” American Economic Review, 92: 1138 -1151. n Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997 -1999) e italiano (1997 -2000). n Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.

Revisão Principais conceitos e definições

Revisão n Jogo estático n “Common knowledge” n Eliminação de estratégias estritamente dominadas n Equilíbrio de Nash n Estratégias mistas

Aplicações Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling

Ambiente econômico n Curva de demanda: p(Q)=a-Q, onde Q=q 1+. . . +q. N. n Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1, . . . , n. n Lucro: Pi(qi, q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi n Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)

2 casos polares n Competição perfeita com livre entrada: n n n Para simplificar, ci=c para todo i. Firmas são tomadoras de preços. Há entrada enquanto houver lucro positivo. Equilíbrio: p. C=c; QC=a-c; PC=0 Monopólio: n n n Monopolista incorpora sua influência na demanda. Problema: max [a-Q-c]Q Equilíbrio: QM=½(a-c)<QC; p. M=½(a+c)>p. C; PM=(a-c)2/4

Estruturas de Oligopólio n Encontram-se entre os casos anteriores. n Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros. n Serão consideradas situações onde há competição em: n n n quantidade (Cournot, 1838); preço (Bertrand, 1883); localização (Hotelling, 1929).

Competição em quantidade: o modelo de Cournot n Firmas se encontram apenas uma única vez no mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada). n 2 firmas. n Equilíbrio de Nash: (q 1*, q 2*) tais que q 1*=q 1(q 2*) e q 2*=q 2(q 1*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à quantidade qj da adversária.

Equilíbrio de Nash n Função de melhor resposta: qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj). n EN: qi*=(a-c)/3, i=1, 2. n Q*=2(a-c)/3 QM < Q * < Q C p. M > p * > p C n P*=(a-c)2/9 < PM/2 n n

Características do EN n n n O modelo de Cournot apresenta uma característica semelhante ao dilema dos prisioneiros. As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a q. M/2, agindo como uma única firma – situação de cartel. Entretanto, dado que a adversária pratica qj=q. M/2, a melhor resposta é qi=qi(q. M/2)>q. M/2.

Extensão para n firmas n Função de melhor resposta: qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj). n EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1, . . . , n. n Q*=n(a-c)/(n+1) QM < Q * < Q C p. M > p * > p C n P*=(a-c)2/(n+1)2 < PM/n, n>1. n n

Propriedades – n firmas n Benefício do cartel: n PM-P*=(a-c)2 f(n), onde f(n) tem o formato abaixo.

Propriedades – n firmas n Desvio: n PD-PM=(a-c)2 g(n), onde g(n) tem o formato abaixo.

Formação de cartéis n A formação de cartéis, em um jogo simultâneo é dificultada por uma série de razões: n há sempre um incentivo individual ao desvio, que é crescente no número de firmas; n os benefícios individuais das firmas, com o arranjo de cartel, depende do número de firmas no mercado – no exemplo, o valor máximo encontra-se entre 4 e 5 firmas. Para n>6, o benefício é decrescente.

Paradoxo de Bertrand n Suponha agora que a competição ocorre através dos preços. n Os produtos são perfeitamente homogêneos – o consumidor comprará da firma mais barata e irá sortear em caso de empate.

Equilíbrio de Nash n O EN do modelo é: pi=c, i=1, . . . , n. n Paradoxo: mesmo com uma estrutura de oligopólio, o equilíbrio de Nash replica o caso competitivo.

Bertrand com produtos diferenciados n 2 firmas n Curva de demanda: qi(pi, pj)=a-pi+bpj. n Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1, 2. n Lucro: Pi(pi, pj)=(pi-c)qi(pi, pj) n Hipótese: c<a, b<2 (viabilidade econômica da tecnologia)

Equilíbrio de Nash n Função de melhor resposta: pi(pj)=argmax (pi-c)[a-pi+bpj] =½(a+bpj+c). n EN: pi*=(a+c)/(2 -b), i=1, 2. n Ao contrário do caso de produtos homogêneos, pi*>c.

Competição Espacial n 2 firmas n Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1, 2. n Lucro: Pi=(pi-c)qi n Demanda: n n consumidores estão uniformemente distribuídos ao longo do intervalo [0, 1]; há custo de transporte (linear) – cada consumidor se dirige à loja mais próxima.

Demanda de cada firma n n Suponha, sem perda de generalidade, que a firma 1 é aquela localizada à esquerda, isto é, x 1≤x 2. Seja x a localização do consumidor indiferente às duas firmas. q 1=x 0 x 1 q 2=1 -x x x 2 1

Interpretação n Localização geográfica n Espaço de produtos n Plataforma política

Demanda (continuação) n Denotando por pi o preço praticado pela firma i, o consumidor indiferente é dado por: t(x-x 1)+p 1=t(x 2 -x)+p 2. Ou seja, x=(x 1+x 2)/2 + (p 2 -p 1)/2 t. n Se p 2=p 1, o consumidor indiferente se localiza no centro das duas firmas.

Equilíbrio de Nash n n Dados os preços p 1=p 2=p, as localizações são definidas simultaneamente. Equilíbrio de Nash: n n x 1*=x 2*=1/2; cada empresa atende metade do mercado. Equilíbrio é ineficiente: empresas poderiam auferir os mesmos lucros com os consumidores gastando menos com transporte. “Princípio da diferenciação mínima”

Extensões n O modelo de Hotelling é bastante instável a modificações. n Por exemplo, com 3 firmas já não há equilíbrio em estratégias puras. n Caso haja competição de preços após a localização, o equilíbrio muda drasticamente, com as firmas localizadas nas extremidades – diferenciação máxima.