Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicaes Aula

Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações Aula 3 Maio, 2005

Revisão Principais conceitos e definições

Revisão

Jogos Dinâmicos Forma extensiva Estratégia EN perfeito em subjogos Indução retroativa

Charlie Brown

Charlie Brown (cont. )

Exemplo 1 Início do jogo L R Nós não-terminais 2 2, 0 L’ R’ 1 1, 1 L’’ R’’ Nós terminais 3, 0 0, 2

Estratégia n Estratégia em um jogo dinâmico: n n é um plano completo de ações; deve especificar o que o jogador irá escolher em cada momento do jogo em que é chamado a jogar. n Mesmo que a ação escolhida por um jogador encerre o jogo, deve especificar todas as demais possibilidades. n Definindo estratégia, abrimos a possibilidade de utilizar a noção de EN.

Exemplo 2 1 L 2 2, 0 L’ R’ LL’’ 2, 0 LR’’ 2, 0 RL’’ 1, 1 3, 0 RR’’ 1, 1 0, 2 R L’ 1 R’ 1 1, 1 L’’ 3, 0 R’’ 0, 2

Problemas com EN n No exemplo anterior, (LR’’, R’) é um dos EN. n Quando o jogador 1 é chamado a jogar na terceira etapa, o equilíbrio prescreve uma ação sub-ótima. n Basicamente, decorre do fato de que estamos utilizando uma estrutura estática para analisar uma situação dinâmica. n Refinamento: EN perfeito em subjogos.

Definições n Subjogo: jogo que se inicia em qualquer nó não -terminal. Contém todos os nós subseqüentes. n O jogo inteiro é um subjogo. n Equilíbrio de Nash perfeito em subjogos: as estratégias, restritas a qualquer subjogo, precisam constituir EN. n Cálculo para jogos finitos: princípio da indução retroativa.

Exemplo 1 L R 2 2, 0 L’ R’ 1 1, 1 L’’ 3, 0 R’’ 0, 2

Exemplo (cont. ) 1 L R 2 2, 0 L’ R’ 1 1, 1 L’’ 3, 0 R’’ 0, 2

Propriedades n Todo EN perfeito em subjogos é um EN. n Qualquer jogo finito com informação completa tem um EN perfeito em subjogos, possivelmente envolvendo estratégias mistas.

Xadrez n Zermelo (1913) provou que: (i) o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora; (ii) o segundo jogador tem uma estratégia vencedora; ou (iii) ambos podem forçar um empate. n Assumimos que os jogadores conseguem realizar uma quantidade ilimitada de cálculos a custo 0. n Um jogo de xadrez típico envolve cerca de 80 rodadas, com aproximadamente 30 possibilidades em cada.

Xadrez n Portanto, são aproximadamente 3080=10120 possibilidades diferentes. n Temos, então, 1040 jogos para cada partícula fundamental do Universo.

Informação imperfeita n Informação imperfeita vs informação incompleta: n Imperfeita – jogadores observam parcialmente os movimentos anteriores dos oponentes; n Incompleta – jogadores não conhecem os objetivos dos rivais.

Forma normal vs extensiva n Jogo de par ou ímpar 1 Conjunto de informação P I 2 P -1, 1 I 1, -1 P 1, -1 I -1, 1

Subjogo n Um subjogo nunca deve “cortar” um conjunto de informação.

Ameaças e credibilidade n Exemplo: n Microsoft e Netscape planejam lançar novo browser. n Opções de plataforma: Java ou Active. X. n Se ambas implementarem a mesma plataforma, cada uma recebe $1. n Além disso, a Microsoft recebe mais $1 pela Active. X e a Netscape $1 pela Java.

Microsoft vs Netscape (i) Microsoft A J Netscape A 2, 1 A J 0, 0 J 1, 2

Equilíbrio (simultâneo) n O jogo replica uma batalha dos sexos. n EN: (A, A), (J, J) n A Netscape pode ameaçar a implementar o Java de forma crível.

Microsoft vs Netscape (ii) Microsoft A J Netscape A 2, 1 Netscape A J 0, 0 J 1, 2

Equilíbrio (sequencial) n No EN perfeito em subjogos, a Microsoft implementa o Active. X e a Netscape a segue. n A Netscape não consegue ameaçar a implemenção do Java de forma crível.

Exemplo (centopéia) n 2 jogadores começam com $2 cada. n Em cada etapa, de forma seqüencial, cada um decide continuar (C) ou parar (P). n Se parar, rouba $2 do oponente. n Se continuar, ganha mais $1. n O jogo pode durar até que ambos tenham $100.

Centopéia 2, 2 3, 3 4, 4 1 2 1 4, 0 1, 4 5, 1 2, 5 6, 2 99, 99 100, 99 1 2 101, 97 98, 101 100, 100

Entrante vs Incumbente n 2 firmas: n n n Firma I já está no mercado, operando com um lucro I. Firma E decide se entra ou não no mercado. Diante da entrada de E, a firma I pode acomodar ou acirrar a competição.

Entrante vs Incumbente acomoda entra I luta E fica fora E, I-P E-LE, I-LI 0, I n Sempre que LI>P, a firma I acomoda e E entra, independente de LE. n Não há meios de I ameaçar a entrante com credibilidade.

Compartilhamento VARIG-TAM n Fatos: n n 2004 - SEAE documenta redução de assentos lucrativos. 15/02/2005 - TAM anuncia maior lucro da história 09/03/2005 – TAM segue VARIG e GOL em descontos para a Semana Santa e estuda corte de tarifas. 09/03/2005 – TAM quer quase metade do mercado doméstico.