ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA Posebnu klasu neviskoznog strujanja ine

ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA Posebnu klasu neviskoznog strujanja čine potencijalna strujanja, u kojima se dodatno pretpostavlja da nema rotacije čestica fluida, što ima za posljedicu da se polje brzine može prikazati gradijentom skalarne funkcije (skalarnog potencijala brzine). Neviskozno strujanje je općenito opisano Eulerovim jednadžbama koje su nelinearne (zbog nelinearnog inercijskog člana u jednadžbi količine gibanja). Eulerova jednadžba (za zaboravne): Potencijalno strujanje je puno jednostavnije riješiti od općenitog neviskoznog strujanja opisanog nelinearnim Eulerovim jednadžbama. 1

POTENCIJALNO STRUJANJE Prisjetit se kinematike – vidovi kretanja fluidnih elemenata Rotacija Definira se s kutnom brzinom oko težišta djelića tekućine. Promjene položaja rubnih točaka -( vx/ y) ydt i ( vy/ x) xdt u x i y smjeru. Rotacija djelića tekućine za kut d (kao i kruto tijelo): d = ( vy/ x)dt = (- vx/ y)dt. = d / dt (1/s) POTENCIJALNO STRUJANJE JE BEZVRTLOŽNO STRUJANJE 2

ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA VRTLOŽNO (VIRNO, ROTACIONO) BEZVRTLOŽNO (IROTACIONO) = POTENCIJALNO 3

ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA • • • Vrtložno (virno ili rotaciono) strujanje je strujanje kod kojeg svaki element tekućine rotira oko svoje osi. Bezvrtložno strujanje je strujanje kod kojeg ne postoji rotacija elemenata tekućine. Rotacija elemenata tekućine generira se na rubovima uz čvrste konture tj. unutar graničnog sloja ili u dijelovima strujanja gdje postoji nejednolikost u profilu brzina. 4

POTENCIJALNO STRUJANJE Potencijalnim strujanjem analizira se bezvrtložno strujanje neviskozne tekućine. Neviskoznost i bezvrtložnost su temeljne značajke u promatranju idealne tekućine (u blizini krute stijenke ne razvija se granični sloj). U većem dijelu konvergentnog strujnog polja realne tekućine (ubrzavanje uzduž toka) opravdano je usvajanje pretpostavki o bezvrtložnosti i neviskoznosti. Uvodi se pojam brzinskog potencijala . Za komponente brzina vrijedi odnos: v = grad Za dvodimenzionalno strujanje u kartezijevom koordinatnom sustavu vrijedi odnos: u= / x i v= / y. Linije koje povezuju točke istog potencijala (x, y) nazivaju se ekvipotencijale. Za nestišljivu tekućinu bez ponora i izvori jednadžba kontinuiteta koja glasi: div v = 0. 5

ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA • • • Vrtložno (virno ili rotaciono) strujanje je strujanje kod kojeg svaki element tekućine rotira oko svoje osi. Bezvrtložno strujanje je strujanje kod kojeg ne postoji rotacija elemenata tekućine. Rotacija elemenata tekućine generira se na rubovima uz čvrste konture tj. unutar graničnog sloja ili u dijelovima strujanja gdje postoji nejednolikost u profilu brzina. 6

ELEMENTI POTENCIJALNOG STRUJANJA • KONVERGENTNI TOKOVI 7

POTENCIJAL φ 8

POTENCIJAL • Bezvrtložno strujanje ima takvo brzinsko polje (polje vektora brzina) koje se može odrediti pomoću skalarne funkcije φ (dakle, to je funkcija koordinata) • Takva funkcija φ je potencijal, jer je “rad” brzina po zatvorenoj krivulji nuli. • Zato se funkcija φ(x, y, z) koja je određena diferencijalnim oblikom zove brzinski potencijal. • Iz uvjeta jednakosti totalnih diferencijala dφ zaključuje se da je brzina bezvrtložnog strujanja određena kao gradijent potencijalnog polja: jednak 9

EKVIPOTENCIJALNE PLOHE φ(x, y, z)=const. → u prostoru čine ekvipotencijalne plohe 10

EKVIPOTENCIJALNE PLOHE φ=φ(x, y) • • ZAKLJUČUJEMO: Ako u tekućini postoji skalarno polje potencijala strujanja φ onda je brzina strujanja proporcionalna gradijentu tog potencijala: • Fizikalno vrijedi: • Uz jednadžbu kontinuiteta za stacionarno strujanje, ρ=const. , dobivamo: Dimenzija brzinskog potencijala je m/s 2 11

jnic e ek vip stru ote plo ncija he lne STRUJNA MREŽA 12

JEDNADŽBE POTENCIJALNOG STRUJANJA • JEDNADŽBA KONTINUITETA: • BRZINSKI POTENCIJAL: • LAPLACEOVA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA: 13

STRUJNA FUNKCIJA Ψ=Ψ(x, y) • RAVNINSKO STRUJANJE 14

STRUJNA FUNKCIJA Ψ=Ψ(x, y) • DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA: 15

STRUJNA FUNKCIJA Ψ=Ψ(x, y) • • ZAKLJUČUJEMO: Ako u tekućini postoji skalarno polje potencijala strujanja φ onda je gradijent tog potencijala proporcionalan brzini strujanja: • Fizikalno vrijedi: • Uz jednadžbu kontinuiteta za stacionarno strujanje, ρ=const. , dobivamo: 16

RUBNI UVJETI - PRIMJER KRUTA GRANICA TEKUĆA GRANICA 17

LAPLACE-OVA JEDNADŽBA • RJEŠENJE JEDNADŽBE JE POTENCIJAL φ U SVAKOJ TOČKI PROMATRANOG STRUJANJA φ=φ(X, Y, Z) • KADA POZNAJEMO φ MOŽEMO U SVAKOJ TOČKI STRUJANJA ODREDITI TLAK I BRZINU • ODREĐIVANJE TLAKA FIZIKALNI SMISAO POTENCIJALA φ JE SLIJEDI (POT. ENERGIJA) 18

BRZINA STRUJANJA • ODREĐIVANJE BRZINE 19

REKAPITULACIJA NUMERIČKOG RJEŠAVANJA LAPLACE-ove DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE n-broj čvorova s nepoznatim φ SUSTAV JEDNADŽBI: 20

REKAPITULACIJA NUMERIČKOG RJEŠAVANJA LAPLACE-ove DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE • UNUTARNJI ČVOROVI: (Δx= Δy=h) • RUBNI ČVOROVI: 21

POTENCIJALNO STRUJANJE div v = 0 ; v = grad div (grad ) = 0 = (Laplace jednadžba) Laplace diferencijalnom jednadžbom opisana je strujna mreža sačinjena od strujnica i ekvipotencijala koje su u svakoj točki promatranog strujnog polja ortogonalne. Ortogonalno na konturu krute granice nema strujanja ( /n=0) pa kontura krute granice također predstavlja jednu strujnicu. Zaključno, strujno polje je definirano ukoliko je poznato = (x, y). Strujne linije mogu se opisati strujnom funkcijom (x, y) koja zbog uvjeta ortogonalnosti također definira i vrijednosti komponenti brzina u strujnom polju: u = / y i v = - / x. Nema promjene strujne funkcije uzduž strujnice (nema proticaja kroz konturu strujnice). Potencijalno strujanje pretpostavlja bezvrtložnost definiranu izrazom rot v = 0. 22

POTENCIJALNO STRUJANJE – paralelno strujanje Za dvodimenzionalno strujanje u x-y ravnini prisutna je samo translatorna komponenta strujanja u x smjeru (u, v=0). Integracija jednadžbi vodi do općeg rješenja definiranog izrazima: Ekvipotencijale su paralelne s x osi, a strujnice s y osi. Za definiranje konstanti integracije c 1, c 2 potrebne su dodatne informacije (rubni i početni uvjeti). 23

POTENCIJALNO STRUJANJE – ponori i izvori Ponori i izvori su točke na kojem „izvire“ ili „ponire“ radijalno strujanje. Ponor u ravninskom strujanju definira pristrujavanje prema vertikalnom zdencu. Kod strujanja prema crpnom zdencu radijalna komponenta strujanja vr usmjerena je prema točki ponora. U polarnom koordinatnom sustavu brzine su definirane iz jednadžbe kontinuiteta: q - intenzitet izvora (u matematičkom smislu rubni uvjet) Prelaskom u Kartezijev koordinatni sustav komponente brzina su: 24

POTENCIJALNO STRUJANJE – ponori i izvori Integracijom su definirane jednadžbe ekvipotencijala i strujnica promatranog strujnog polja: Kod radijalnog potencijalnog strujanja u okolini izvora strujnice se protežu radijalno iz točke izvora a ekvipotencijale su koncentrične kružnice. 25

POSEBNI SLUČAJEVI POTENCIJALNOG STRUJANJA b) KOMBINACIJA IZVORA I PONORA, DIPOL: Δx→ 0 (Δx-udaljenost izvora i ponora) 26

POTENCIJALNO STRUJANJE – paralelno strujanje i ponori/izvori Primjenom superpozicije translatornog strujanja sa strujanjem induciranim ponorom ili izvorom dobiva se strujna mreža za praćenje utjecaja zdenaca na generalno strujanje podzemnih voda. 27

POTENCIJALNO STRUJANJE Potencijalno strujanje ne predstavlja adekvatan model za opis strujanja u blizini krute stjenke (granični sloj) i u zonama odvajanja graničnog sloja. Potencijalno strujanje učestalo se koristi u analizi toka podzemnih voda u kojima su brzine relativno male te ne dolazi do pojave odvajanja graničnog sloja od krutih granica. 28

Strujna mreža za prelijevanja preko oštrobridnog preljeva 29

PRIMJERI POTENCIJALNOG STRUJANJA 30

U mehanici tekućina, potencijalnim strujanjem nazivamo strujanje u kojem je polje brzina definirano kao gradijent skalarne funkcije. Ta funkcija se naziva brzinski potencijal. Primjeri potencijalnog strujanja su opstrujavanje oko aerodinamičkih profila morski valovi, konvergentan tok kod istjecanja ispod ustave, podzemne vode, 31