Elementi di Calcolo delle Probabilit Corso di Teoria

Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1 a. a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - Uni. Cal F. DOMMA Teoria dell'Inferenza

Prova, Evento e Probabilità Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive. Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C. P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci. Evento: è uno dei possibili risultati della prova. Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C. P. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 2

Def. 1. Spazio dei Campioni. E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con W. Def. 2. Evento Certo. Evento Impossibile. L’evento certo è quello che si verifica sempre, W. L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f. Def. 3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole). E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 3

Diagrammi di Venn UNIONE NEGAZIONE F. DOMMA EVENTI INCOMPATIBILI Teoria dell'Inferenza INTERSEZIONE EVENTI NECESSARI 4

Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha: F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 5

Leggi di De Morgan (1) (2) Partizione dello Spazio Campionario Si dice che gli eventi A 1, …, Ak appartenenti ad W formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) cioè se sono a due incompatibili e necessari. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 6

Esercizio 1 Siano A, B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1, 2, 3, 8}, B={2, 3, 5, 7, 8} e C={3, 6, 7, 9, 10} di un generico spazio W={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi: Esercizio 2 Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi: 1. Le due palline estratte sono di colore differente; 2. Le due palline estratte sono dello stesso colore; 3. Le due palline estratte sono entrambe rosse. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 7

Esercizio 3 Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall’ 1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi: 1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali; 2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5; 3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato dalla faccia superiore dell’altro. Esercizio 4 Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi: 1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado; 2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 8

Esercizio 5 Esercizio 6 Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A, B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione. Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle “croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato. Esercizio 7 Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’ 1 al 6, sia A l’evento “la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti? Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti? F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 9

Assiomi del Calcolo delle Probabilità. Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C. P. presenta i seguenti assiomi: 1. 2. 3. Siano A e B due eventi incompatibili allora F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 10

Teoremi fondamentali del C. P. Teo. 1. Teo. 2. Teo. 3. Teo. 4. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 11

Definizione di probabilità. Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 5. . Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 12

Esercizio 9 Dato un esperimento tale: Calcolare: Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che: Calcolare: F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 13

Esercizio 11 Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: “estrazione di due palline con riposizione”. Calcolare la probabilità che: a) entrambe le palline siano rosse; b) la prima sia rossa e la seconda bianca; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima sia nera e la seconda non-bianca; e) che almeno una sia rossa. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 14

Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali. Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è: per In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 15

Si può verificare che valgono gli assiomi del C. P. 1. 2. 3. Se A 1 e A 2 sono incompatibili allora Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 16

Valgono anche i teoremi fondamentali del C. P. nel caso in cui esiste un evento condizionante Teo. 5. Teo. 6. Teo. 7. Teo. 8. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 17

Il teorema di Bayes Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio: supponiamo di avere due urne, la prima, U 1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U 2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dall’urna U 1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0. 5 ? Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C 1, C 2, …, CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 18

Supponiamo che gli eventi C 1, …, CK formino una partizione di W, cioè e L’evento A può essere scritto nel seguente modo Osservando che F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 19

si ha: Ricordando che Si può scrivere: F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 20

La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ? L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U 1). Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C 1, …, CK generano l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 21

Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0. 5 per i=1, 2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è: F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 22

Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause Cj. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 23

Definizione di Indipendenza. Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente: Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni: 1. 2. 3. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 24

Teo. 9 Se A e B sono indipendenti allora 1. 2. 3. La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 25

Esercizio 12 Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4 bianche (B), 3 nere (N) e 6 gialli (G). Effettuiamo la seguente prova: “ estrazione di due palline senza riposizione”. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) la prima rossa e la seconda rossa; b) la prima bianca e la seconda rossa; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima non-nera e la seconda bianca; e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca; f) la prova generi almeno una pallina rossa. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 26

Esercizio 13 Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare la probabilità che: 1. il bambino sia stato spaventato; 2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è stato/a spaventato/a; 3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o non è stata/o spaventato/a; 4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto non è stato spaventato. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 27

Esercizio 14 Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%. La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B. Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da A? F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 28

Esercizio 15 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che: Determinare P[B] se: a) A e B sono disgiunti ; b) A e B sono indipendenti ; c) Pr[A/B]=0. 6 F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 29

Esercizio 16 La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio iniziale è 0. 1 per una persona in una certa classe d’età. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e nel 5% dei casi in una persona sana. a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A nella data classe di età? b) Qual è la probabilità che una persona sia malata se il test A è negativo? F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 30

Riferimenti Bibliografici. - G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”. Maggioli Editore. Rimini. [C]. Pag. 1 -23. - A. M. Mood, F. Graybill e D. C. Boes (1988), “Introduzione alla Statistica”, Mc. Graw-Hill, Milano. [MGB]. Pag. 1 -53. - D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi economica”. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag. 119 -150. - R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”, Il Mulino, Bologna. [O]. 15 -55. - D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P]. Pag. 215 -291. F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 31