Elemente de matematici financiare Realizat Orlov Diana profesoar

Elemente de matematici financiare Realizat : Orlov Diana, profesoară de matematică la Liceul Teoretic , , Mihai Sîrghi”

§ 1. Procente �Generalizăm: Procentul este un mod de exprimare pentru fracţii care au numitorul egal cu 100. � Generalizăm: Raportul procentual a două numere este raportul lor exprimat în procente. Fie a şi b două numere reale nenule. Atunci raportul procentual al acestor numere este a/b %.

Exerciţii şi probleme � 1. Să se afle �a) 5% din 24 ore; b) 13, 2% din 1000 lei; �c) 25% din 2010 t; d) 120% din 38 kg.

Exerciţii şi probleme � 2. 11% din teritoriul Republicii Moldova este acoperit cu păduri. Cîte ha sînt acoperite cu păduri? � 3. În anul 2009 o localitate avea 25342 locuitori. 4% din aceştia au o emigrat în 2010. Cîţi locuitori au rămas în această localitate? � 4. Construcţia unei case a costat 45200 €, dintre care 35% s-au plătit pentru lucru, iar restul pentru material. Cît a costat materialul?

Aplicaţii: � 5. Greutatea smîntînei reprezintă 21% din greutatea laptelui, untul reprezintă 23% din greutatea smîntînii. Cît lapte este necesar (cu aproximaţie de 1 kg) ca să obţină 12 kg de unt? � 6. La lecţia de matematică din clasa a XII-A lipsesc 6 elevi ceea ce reprezintă 8, 5% din numărul total al elevilor din acea clasă. Cîţi elevi sînt în clasă?

§ 2. Dobînzi. �Definiţii. � 1. Suma de bani primită după plasarea unui capital (a unei sume de bani) într -o bancă, sau dat (dată) cu împrumut se numeşte dobîndă. � 2. Raportul procentual dintre dobîndă si capitalul plasat (împrumutat) se numeşte rata dobînzii.

Exemplu: �Dacă un capital de 1 000 lei plasat pentru un an produce o dobîndă de 390 000 lei, atunci rată anuală a dobînzii este 39%. �Acesteia îi corespunde o rată lunară a dobînzii de 39/12 % , adică 3, 25%.

Reţineţi: � 1. Dobînda este suma cu care se măreşte doar capitalul iniţial într-un interval de timp. � 2. Dobînda este direct proporţională cu capitalul plasat, dar depinde şi de durata plasamentului (timpul de plasament). � 3. Capitalul iniţial reprezintă suma depusă sau împrumutată pentru care se calculează dobînda. � 4. Relaţia dintre dobîndă, timpul de plasament şi rata dobînzii depinde de tipul de plasament ales. Există plasamente cu dobîndă simplă şi plasamente cu dobîndă compusă.

2. 2. Dobînda simplă �Definiţie 3. Dobînda simplă este dobînda care se calculează numai asupra capitalului iniţial – o singură dată. � Dacă capitalul este plasat cu dobîndă simplă, dobînda este direct proporţională cu timpul de plasament şi cu rata dobînzii.

Fie S – capitalul iniţial, plasat cu dobînda simplă pe o perioadă de n ani, cu rata anuală a dobînzii d. Dobînda corespunzătoare fiecărui an de plasament este D = S d. După un an capitalul S produce o dobîndă D 1 = D = S d, iar suma obţinută va fi S 1 = S + D 1 = S + Sd = S(1+d). �

�După doi ani, dobînda va fi D 2 = 2 D = 2 Sd, �iar suma disponibilă va fi S 2 = S+ D 2 = S + 2 Sd = S(1+2 d).

n - ani, dobînda va fi Dn = n. D = n. Sd, iar �După suma disponibilă va fi Sn = S + Dn = S + n. Sd = S(1+nd).

Problemă: Un capital S = 1000 u. m. (unităţi monetare) produce după un an de zile o dobîndă de D 1 = 360 u. m. � a) Care este rata anuală? b) Care este rata lunară? � Rezolvare: � a) Rata anuală : d =360/1000=36/100=36%. � b) Deoarece anul are 12 luni, rata lunară va fi: d/12=36% /12= 3%. �.

Reţineţi! � a) Dobînda simplă este dobînda calculată pentru suma plasată S, care rămîne nemodificată pe perioada plasamentului. � b) D = Sd - dobînda calculată pentru 1 an; � c) D = Snd – dobînda calculată pentru n ani; � d) D =Sdm/360 - dobînda calculată pentru m zile. � Observaţie: Un an bancar durează 360 zile.

2. 3. Dobînda compusă �Definiţie 4. Dobînda compusă este dobînda calculată pe o perioadă de timp pentru suma dintre capitalul iniţial plasat şi dobînda simplă a perioadei anterioare. Dobînda compusă mai e numită şi „dobîndă la dobîndă”.

Fie S – capitalul iniţial, plasat cu dobînda compusă pe o perioadă de n ani, cu rata anuală a dibînzii d. �După 1 an dobînda obţinută este D 1 = Sd. Această dobîndă se adună la capitolul iniţial S. � Astfel suma S 1 = S+D 1 = S+Sd=S(1+d) devine capitalul care va produce dobîndă în al doilea an. �

După 2 ani obţinem: D 2= S 1 d=Sd(1+d), care se adaugă la capitolul existent S 1 astfel încît suma S 2 = S 1 + D 2 = S(1+d) + Sd(1+d) = S(1+d)2 devine capitalul care va produce dobîndă în al treilea an.

După n ani, dobînda obţinută va fi: = Sd(1+d)n-1 , iar suma totală disponibilă va fi : �Dn Sn =. n S(1+d)

Concluzie: �pentru n 1 plasamentul cu dobîndă compusă este mai avantajos decît cel cu dobîndă simplă (la aceeaşi rată a dobînzii). �

Exemplu: � Să se calculeze dobînda obţinută după trei ani prin plasarea cu dobînda compusă a sumei de 5 000 $ cu rata anuală a dobînzii 48%. � Rezolvare: Avem S = 5 103$, n=3, d=48/100. Dobînda obţinută peste 3 ani este D 3 = Sd(1+d)3 -1 = 5 103 48/100 (1+48)²= � 5256, 96$. �

Problemă rezolvată: � Un fermier a plasat suma de 15. 000 € la o bancă pe o perioadă de 3 luni, considerînd un depozit pentru care banca acordă dobîndă compusă. Să se determine valoarea depozitului după cele 3 luni, ştiind că rata anuală a dobînzii este de 54%. � Rezolvare: Rata lunară este de 54/12%=4, 5% � Avem S=1, 5 104 €, n=3 luni, d=4, 5/100. � Atunci: S=17117, 5€

Exerciţii şi probleme � 1. Un capital S = 1000 u. m. produce după 1 an de zile o dobîndă D =220 u. m. Care este rata dobînzii? (Răspuns: 22%). � 2. O persoană depune la o bancă suma de 2 milioane lei, în plasament cu dobîndă simplă, cu o rată anuală a dobînzii de 42%. Ce sumă va avea persoana în bancă după 3 ani? (Răspuns: 4, 52 106 lei). � 3. Să se calculeze dobînda obţinută după 5 luni prin plasarea sumei de 3, 2 mii lei în regim de dobîndă simplă, ştiind că rata anuală a dobînzii este 48%.

Problemă: � 1. Un fermier a plasat suma de 15. 000 € la o bancă pe o perioadă de 3 luni, considerînd un depozit pentru care banca acordă dobîndă compusă. Să se determine valoarea depozitului după cele 3 luni, ştiind că rata anuală a dobînzii este de 54%. � 2. Să se calculeze suma totală obţinută prin plasarea unui capital de 12 milioane lei pe o periodă de 4 ani, cu rata anuală a dobînzii 60%, în plasament cu: a) dobînda simplă; b) dobîndă compusă.

§ 3. Credite 3. 1. Noţiunea de credit. �Definiţii : � 5. Creditul este o sumă de bani luată cu împrumut pentru o perioadă de timp, care urmează a fi restituită însoţită de o dobîndă. � 6. Acţiunea de acordare a unui credit se numeşte creditare.

Definiţii: � 7. Creditorul este cel (banca, persoana fizică etc. ) care acordă împrumutul, debitorul este cel (firma, persoana fizică etc. ) care primeşte împrumutul. � 8. Restituirea creditului se numeşte rambursare. � 9. Termenul pînă la care trebuie rambursat creditul se numeşte scadenţă.

Reţineţi: � Rambursarea unui credit însoţit de dobîndă se poate face într-o singură tranşă sau eşalonat. � Creditul poate fi comercial sau bancar, public sau privat, pentru producţie sau pentru consum. � În funcţie de perioada de rambursare (scadenţă), există: � a) credite pe termen scurt (cu rambursarea în cel mult un an), credite de termen mijlociu (cu rambursarea în 1 -5 ani) şi credite de termen lung (cu rambursarea în mai mult de 5 ani).

3. 2. Rambursarea creditului într-o singură tranşă � Rambursarea creditului într-o singură tranşă se poate face pentru creditele pe termen scurt sau mijlociu. � Fie S valoarea creditului şi d rata anaulă a dobînziii. Atunci: � a) pentru un credit pe termen scurt dobînda se calculează de regulă după formula dobînzii simple: � D =Sdm/360 , unde m numărul de zile pînă la scadenţă.

�Suma totală datorită la scadenţă este �Sm =S + D = S ( 1+dm/360). �b) pentru un credit pe termen mediu, dobînda se calculează de regulă după formula dobînzii compuse.

dacă scadenţa este la n ani (1≤n≤ 5 ) după acordarea creditului, dobînda datorată este Dn = Sd(1+d)n-1, iar suma totală (finală) care trebuie plătită este Sn = S(1+d)n. �Astfel,

Problemă rezolvată: (debitorul) a împrumutat 300 lei de la Alexandru (creditorul), cu scadenţa la 120 zile. Ce sumă Angela trebuie să-i ramburseze lui Alexandru în final, dacă rata anuală a dobînzii este de 10%? � Rezolvare: Avem S = 300 lei, m = 120 zile, � d=10/100. Suma totală (finală) datorată este � S 120 = S(1+120 d/360)=300(1+12/360) = 310 (lei) � 1. Angela

Aplicaţii: �Un agent economic primeşte de la o bancă un credit de 5 milioane lei pentru termen de 3 ani cu rata anuală a dobînzii 12%. Să se calculeze dobînda şi suma totală datorată dacă rambursarea creditului şi plata dobînzii se face la sfîrşitul celor doi ani. �Răspuns: 5672000( lei)

Rezolvare: : S = 5 106, n = 2, d =12/100. �Dobînda datorată este D 2=Sd(1+d) = �=5 106 12/100 • (1+12/100)= �=6 105 1, 12=672 000(lei). �Avem totală datorată este S 2 = S+D 2 = �=5 672 000(lei) �Suma

3. 3. Rambursarea creditului în tranşe egale Pentru credite pe termen mijlociu sau lung rambursarea creditului se poate face în tranşe egale astfel: � �în fiecare an se plăteşte aceeaşi tranşă din credit, plus dobînda la creditul nerambursat (în regim de dobîndă simplă).

Exerciţii şi probleme � � 1. Pentru a-şi procura un calculator electronic Veronica a luat un credit de 10000 lei cu rata anuală a dobînzii de 12%. Rambursarea creditului şi plata dobînzii se va face printr-o singură tranşă cu scadenţa 1 an. Care va fi suma totală la rambursarea creditului? 2. Un debitor a luat un credit de 250 000 lei, cu rata anuală a dobînzii de 16%, cu rambursarea creditului şi plata dobînzii printr-o singură tranşă, după: a) 120 zile de la acordarea creditului; b) 2 ani de la acordarea creditului. Să se calculeze dobînda şi suma totală datorată de acest creditor. 3. Un agent economic primeşte un credit de 2, 8 milioane lei, cu rata anuală a dobînzii 16%, rambursabil în şase tranşe anuale egale. Să se calculeze dobînda totală plătită. 4. Pentru un credit rambursabil în opt tranşe egale, cu rata anuală a dobînzii 18%, în al patrulea an se plăteşte suma de 15 000 €. Să se calculeze valoarea creditului şi sumele anuale de plată.

§ 4. Costul de producţie � 4. 1. Noţiunea de amortizare � Definiţii. � 10. Capitalul este totalitatea bunurilor rezultate din procesul de producţie anterioare, care sînt folosite pentru crearea altor bunuri materiale şi servicii, destinate vînzării, cu scopul obţinerii de profit. � 11. Capitolul fix este acea parte a capitolului tehnic (mijloace de producţie) alcătuit din clădiri, construcţii, maşini, utilaje, instalaţii, echipamente de producţie etc. care se consumă şi se înlocuiesc treptat. Pe parcursul utilizării lui, capitalul fix se depriciază, uzura fiind fizică şi morală.

Reţineţi: � 12. Amortizarea capitolului fix este expresia bănească a acelei părţi din valoarea capitalului fix, care se include în costul producţiei fabricate, în procesul de recuperare totală a valorii capitalului fix. � 13. Timpul necesar recuperării integrale a valorii capitolului fix se numeşte termen de amortizare.

Definiţie: � 14. Amortizarea anuală reprezintă partea din valoarea capitalului fix recuperată într-un an. � Fie valaorea capitalului fix V, iar amortizarea anuală A. Dacă timpul necesar recuperării integrale a valorii V este de T ani, atunci A= V/T �Rata anuală a amortizării este. r=A/V x 100 %

4. 2. Noţiunea de cost de producţie � Definiţie 15. Costul de producţie (CT) reprezintă totalitatea cheltuielilor efectuate de o firmă pentru realizarea de produse sau servicii. � Definiţie 16. Raportul dintre costul total şi mărimea producţiei se numeşte cost total mediu sau cost unitar. � Se notează CTm � Avem CTm=CT/Q , unde cu Q este notată mărimea producţiei

Definiţii: �Definiţie 17. Raportul dintre costul variabil şi mărimea producţiei se numeşte cost variabil mediu. �Se notează CVm. Avem CVm=CV/Q. �Definiţie 18. Profitul este diferenţa dintre preţul de vînzare al unui produs şi costurile sale totale de producţie sau dintre încasări (venituri) (VT) şi cheltuieli. � Se notează P.

Avem: �P = VT - CT sau P = p. Q - CT, unde � P = profitul, � VT = venituri totale, � CT = costul total (costul producţiei), � p = preţul unitar (preţul unui produs), � Q = producţia (număr de produse vîndute). � Definiţie 19. Raportul procentual dintre profit şi cost se numeşte rata profitului. � Se notează Rp. � Avem Rp =Px 100% /CT.

Generalizare: Dacă: �cheltuielile sînt mai mici decît veniturile, atunci avem profit. �celtuielile sînt mai mari decît veniturile, atunci avem pierderi. �cheltuielile sînt egale cu veniturile, atunci avem punct mort al activităţii.

Problemă rezolvată: �. Un producător îşi poate vinde producţia la preţul de 110 u. m. pe produs. Costurile fixe sînt de 7500 u. m. , iar costurile variabile de 60 u. m. pe unitatea de produs. Cîte unităţi de produs trebuie să vîndă producătorul pentru a obţine profit? � Rezolvare: � Fie n numărul de produse vîndute. Pentru a obţine profit, veniturile trebuie să fie mai mari decît cheltuielile, adică 110 n 7500 + 60 n n 150. � Răspuns: Producătorul trebuie să vîndă mai mult de 150 de produse.

4. 3. Taxa de valoare adăugată �Definiţii. 20. Fie un produs avînd valoarea V 0. O firmă a procurat acest produs, la prelucrat sau l-a îmbunătăţit şi astfel valoarea produsului creşte. Apoi firma îl vinde la valoarea V 1 V 0. Diferenţa V 1 – V 0 se numeşte valoarea adăugată.

Definiţie: � 21. Taxa pe valoare adăugată (TVA) este un impozit, care se aplică asupra operaţiilor de vînzare-cumpărare (de transfer al bunurilor şi prestări servicii). � Valoarea TVA (în folosul bugetului de stat ) rezultă din aplicarea unei cote (exprimată printr-un raport procentual) asupra valorii adăugate. De exemplu, în Republica Moldova în anul 2010 cota TVA a fost 20%.

Generalizare: �Dacă un produs a fost cumpărat, prelucrat, pe rînd, de firmele F 1, F 2, F 3. . . , Fn la preţul de cumpărare PCn şi preţul de vînzare PVn, atunci valoarea adăugată an este: �an = PVn – PCn, n 1.

Aplicaţii: � Elevii clasei a XII-a au confecţionat în scopuri caritabile 1350 de jucării. Incasările au fost de 450 u. m. , cu rata profitului de 25%. Succesul acţiunii i-a determinat să mărească profitul cu 20% şi să scadă costurile cu 10%. � Ce profit au avut elevii iniţial? � Cum s-a modificat rata profitului după diminuarea costurilor? � Care a fost costul unitar iniţial?

Rezolvare: � a) Rp= P/C · 100% , adică 25/100= (V-C) /C � Deci 100 V=120 C, de unde � C= 45000/125 =360 ( u. m. ) � b) Noile costuri sînt de 360· 85/100=306 (u. m. ) , iar profitul de 90· 120/100=108 (u. m. ) �. Deci rata profitului în acest caz este Rp₁=108 • 100% /306 = 35, 29 % � c) Costul iniţial al unei jucării: p=1350/450 =3(u. m. )

Exerciţii şi probleme � 1. Valoarea unei instalaţii este de 12 milioane lei, iar amortizarea anuală este de 3 milioane lei. Să se calculeze: a) termenul de amortizare; b) rata anuală a amortizării. (Răspuns: a) T = 4 ani; b) r = 25%). � 2. O firmă trebuie să decidă dacă este avantajos să cumpere un utilaj care costă 600 000 u. m. utilajul are o amortizare de 100 000 u. m. pe timpul a 10 ani de viaţă productivă. Dacă rata inflaţiei este de 9% pe perioada de 10 ani, este avantajoasă achiziţia? (Răspuns: Achiziţia este avantajoasă).

Rezolvaţi: � 3. Un fermier îşi poate vinde producţia la preţul de 110 u. m. pe tonă. Costurile fixe sînt de 7 500 u. m. iar costurile variabile de 60 u. m. de tonă. Cîte tone trebuie să vîndă fermierul pentru a obţine profit. (Răspuns: Trebuie să vîndă mai mult de 150 tone). � 4. În cadrul cheltuielilor pentru realizarea a 2 000 produse, amortizarea este de 6 milioane lei. Să se calculeze costul total mediu dacă se ştie că amortizarea reprezintă 40% din costurile materiale, iar costurile salariale reprezintă – 40% din costul total. (Răspuns: 12 500 lei)

§ 5. Bugetul �Difiniţie 22. Bugetul este un tabel (balanţa) de corelare între venituri şi cheltuieli, detaliate pe surse de venituri şi obiective de cheltuieli (destinaţie) prevăzute pentru o anumită perioadă de timp.

Se consideră următoarele tiprui de buget: � bugetul de stat – este anual şi este alcătuit din bugetul administraţiei centrale de stat şi din bugetele locale. Bugetul de stat se aprobă de către parlamentul Republicii Moldova. Fiecare instituţie (inclusiv liceul) îşi aprobă anual un buget, pe care îl realizează pe parcursul anului financiar (bancar). � bugetul de familie – corelează veniturile şi cheltuielile unei familii pentru o perioadă de timp (lună, trimestru, semestru, an etc. ) � bugetul personal este necesar pentru formarea şi utilizarea resurselor financiare proprii ale unei persoane.

Problemă rezolvată: � � � � Părinţii doresc să-i procure Lenuţei un calculator de ziua ei (mai). Bugetul familiei pe luna în curs (ianuarie) este: Venituri 1. Salariu tata 3 200 lei 2. Salariu mama - 2 900 lei 3. Pensia bunica – 1 100 lei Total: 7 200 lei Cheltuieli 1. Întreţinere casa - 600 lei 2. Transport 400 lei 3. Nota telefonică - 300 lei 4. Abonament TV - 300 lei 5. Alimente 2 800 lei 6. Taxe comunale -1 200 lei 7. Alte cheltuieli - 500 lei Total: 6 100 lei

Întrebare: Ce economii lunar (în lei) trebuie sa facă părinţii, cu condiţia că situaţia financiară lunară privind veniturile şi cheltuielile în lunile ianuarie-aprilie nu se modifică, ca să poată procura în luna mai calculatorul care costă 6800 lei? Cu cîte procente lunar ar trebui sa fie micşorate cheltuielile pentru a achita în mai această sumă? �

Rezolvare: Rezerva de bani în fiecare lună este de: 7200 -6100=1100 (lei). În cele 4 luni (ianuarie-aprilie) va fi acumulată suma : 4 x 1100=4400 (lei). Economia necesară va fi de: 6800 -4400 =2800 (lei). Adică economia lunară va fi de 2800: 4=700(lei). De aici rezultă că cheltuielile ar trebui micşorate lunar cu 11, 5%. � �

Exerciţii şi probleme: � 1. Elaboraţi bugetul personal pentru luna în curs. � 2. Determinaţi bugetul familial pentru anul în curs. � În bugetul anual al unei familii, pentru cheltuieli de transport s-au planificat iniţial 8% din venituri. S-au economisit 3% din aceste cheltuieli şi economiile familiei s-au majorat cu 600 lei. Să se afle suma planificată pentru produse alimentare, dacă ea reprezintă 45% din venituri. � 3. Din venitul anual al unei familii cheltuielile pentru întreţinerea casei reprezintă 12%, iar pentru transport – 6%. Dacă cheltuielile pentru întreţinerea casei s-ar reduce cu 20%, iar pentru transport – cu 2%, atunci economiile familiei ar creşte cu 340 lei. Să se afle venitul anual al familiei.