Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijevi Ponovimo Svaka strogo

Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević

Ponovimo: • Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. • Za svaku funkciju f : A , suženje f : A f(A) je surjekcija. • Ako je f : A strogo monotona na nekom intervalu I A, onda je suženje f : I f(I) bijekcija.

Ako je f : A B bijekcija onda vrijedi: • Postoji funkcija g : B A tako da vrijedi g f = i. A i f g = i. B. Funkcija g : B A je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcije f. • Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

Osnovne elementarne funkcije: i) iii) iv) v) vi) Konstantna funkcija Opća potencija Eksponencijalna funkcija Logaritamska funkcija Trigonometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije

Konstantna funkcija f(x) = c, c y=c x f: f( ) = {c}

Opća potencija f(x) = xr, r {0} Razlikujemo slučajeve: 1. r = n 2. 2. r = -n 3. 3. r = m/n 4. 4. r Napomena: ako je r = 0, onda je x 0 = 1, za x 0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.

Potencije s prirodnim eksponentom f(x) = xn, n y y = x 2 y=x x y = x 3 f : , f( ) = za n neparan, f( ) = [0, ) za n paran

Potencije s cijelobrojnim eksponentom oblika f(x) = x-n, n y y= 1/x 2 y= 1/x x y= 1/x 3 Budući je x-n = , onda je f: {0} i vrijedi: f( {0}) = {0}, za n neparan, f( {0}) = (0, ), za n paran.

Potencije s racionalnim eksponentom oblika f(x) = x 1/n, n {1}. Budući je x 1/n = onda je: f : i f( ) = za n neparan, f: [0, ) i f([0, )) = [0, ) za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x D(f) je (x 1/n )n = ( te za svaki y f(D(f) ) je (yn )1/n = )n = x, = y.

Neka je funkcija g 1 : [0, ) suženje Primjeri: 1. n = 2 y y=x 2 funkcije g(x) = x 2. y=x 1/2 x Funkcja g 1 jefunkciju bijekcija. Definirajmo f 1: [0, ) tako da je f 1(x) = x 1/2. Za svaki x [0, ) vrijedi f(x) = x 1/2 f: [0, ) f( [0, ) ) = [0, ) f 1(g 1(x)) = (x 2 )1/2 = |x| = x, te za svaki y [0, ) vrijedi g 1(f 1 (y)) = (y 1/2 -1)2 = y. Dakle, f 1 = g 1

Uočimo: Suženje g 2 : (- , 0] [0, ) y=x 2 y=x y funkcije g(x) = x 2 je bijekcija. Definirajmo funkciju f 2: [0, ) (- , 0] tako da je x y=-x 1/2 f(x) = -x 1/2 f: [0, ) f( [0, ) ) = (- , 0] f 2(x) =-x 1/2. Za svaki x (- , 0] vrijedi f 2 (g 2(x)) = - (x 2 )1/2 = -|x| = x, te za svaki y [0, ) vrijedi g 2(f 2 (y)) = (-y 1/2)2 = y. Dakle, f 2 = g 2 -1

2. n=3 Promatrajmo funkciju y y=x 3 y=x 1/3 x g(x) = x 3. Funkcija g: je bijekcija. Ako je f: tako da je f(x) = x 1/3 onda za svaki x vrijedi f(x) = x 1/3 f: f( ) = f (g(x)) = (x 3 )1/3 = x, te za svaki y vrijedi g(f (y)) = (y 1/3)3 = y. Dakle, f = g-1

Potencije s racionalnim eksponentom oblika f(x) = xm/n, m/n . Uz pretpostavku m , n , te M(m, n) = 1 razlikujemo slučajeve: • n neparan i m > 0, onda je D(f) = , • n neparan i m < 0, onda je D(f) = {0}, • n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ), • n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ). Napomena: xm/n : =

Graf od f 1(x) = x 2/3 se naziva “galeb”. Primjeri: y y y= x-3/2 y = x 2/3 y = x-2/3 x f 1(x) = x 2/3, D(f 1) = , x f 3(x) = x 3/2, f 1( ) = [0, ). f 2(x) = x-2/3, D(f 2) = {0}, f 2( {0} ) = (0, ). D(f 3) = [0, ), f 3([0, )) = [0, ). f 4(x) = x-3/2, D(f 4)= (0, ), f 4((0, )) = (0, ).

Potencije s realnim eksponentom oblika f(x) = xr, r . Vrijedi: • za r > 0 je D(f) = [0, ), • za r < 0 je D(f) = (0, ). y r=- r= r= x

Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f– 1 (y) = y 1/r , “kad god ti izrazi imaju smisla”. y y = x 1/r y=x y = xr x

Eksponencijalna funkcija 1<a 0<a<1 y y y = ax x x f(x) = ax, a > 0 i a 1, f: , f( ) = (0, ).

Funkcija f(x) = ax , f: je strogo monotona i f( ) = (0, ). Dakle, suženje f 1 : (0, ) je bijekcija. a>1 y y= y = ax ax y=x y 0<a<1 y=x y = logax x x y = logax Definirajmo funkciju: g loga : (0, ) , tako da vrijedi: g(f 1(x)) = loga (ax) = x, za svaki x , f 1(g(y)) = a loga (y) = y, Dakle, za svaki y (0, ). f 1 -1 = g.

Logaritamska funkcija 1<a 0<a<1 y y y = logax x x y = logax f(x) = logax, a > 0 i a 1, f: (0, ) . f ((0, )) = .

U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadska i s bazom e – prirodna, prirodna gdje je e 2. 71828. . . transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ili Briggsov logaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritam Definiramo: log 10 x : = log x i logex : = ln x. Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)

Trigonometrijske funkcije su: • • sinus kosinus tangens kotangens

Namatanje pravca na kružnicu 1 T’ x 1 T x 0 O’ O O’ T T’

Namatanje pravca na kružnicu Uočimo: sve točke oblika x+2 k , k namatanjem preslikaju u istu točku. 1 T’ = S’ O’ 1 0 , se O O’ T T’ S S’ x x+2π T S

Trigonometrijska kružnica 1 sinx T (cosx, sinx) x cosx p. T 1

Trigonometrijske funkcije sinus y 1 kosinus y -1 x 2 1 /2 -1 f(x) = sinx, f(x) = cosx, f: f( ) = [-1, 1] 2 x

tangens y Definiramo: -3π/2 /2 - /2 3π/2 x tg x : = 2 y = tgx f(x) = tg x, f: A , f(A) = , gdje je A = D(f) = { x | cos (x) = 0}, tj. A= {x |x= + kπ, k }.

kotangens y Definiramo: -3π/2 /2 - /2 3π/2 x 2 ctg x : = y = ctgx f(x) = ctg x, f: A , f(A) = , gdje je A = D(f) = { x | sin (x) = 0}, tj. A = { x | x = kπ, k }.

Trigonometrijska kružnica tgx 1 Os kotangensa x ctgx 1 Uočimo: Za x = /2 os tangensa i pravac p. T nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran! Slično za kotanges u x = 0. p. T Os tangensa

Svojstva trigonometrijskih funkcija sin cos tg ctg { kπ, k } Područje definicije Df {π /2 + kπ, k } Slika f(Df) [-1, 1] Nul-točke x = kπ, k x = π /2 + kπ, k Parnost neparna Osnovni period 2π 2π π π Predznak po kvadrantima I, III, IV +, +, -, -, + +, -, +, -

Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcija sin 2 x + cos 2 x = 1, sin 2 x = 2 sinx cosx, cos 2 x = sin 2 x - cos 2 x , sin 2 x = 1/2·(1 - cos 2 x), cos 2 x = 1/2·(1 + cos 2 x), ctgx = 1/tgx tg 2 x = 2 tgx/(1 -tg 2 x), sin 2 x = tg 2 x/(tg 2 x+1), ctg 2 x = (ctg 2 x-1)/2 ctgx cos 2 x = ctg 2 x/(ctg 2 x+1).

Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija. Ciklometrijske funkcije su : • arkus-sinus • arkus-kosinus • arkus-tangens • arkus-kotangens

Neka je Sin: [-π/2, π /2] [-1, 1] suženje funkcije sin. Dakle, za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x = Sin x. Funkcija Sin je bijekcija. y - /2 Definirajmo: y=x /2 x y = sinx Arcsin: [-1, 1] [- π /2, π /2] , tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x) = x, y є [-1, 1], Sin(Arcsin y) = y. Dakle, Sin-1 = Arcsin.

Neka je Cos: [0, π ] [-1, 1] suženje funkcije cos. Dakle, za svaki x є [0, π], vrijedi cos x = Cos x. Funkcija Cos je bijekcija. y y=x y = cosx Definirajmo: x Arccos: [-1, 1] [0, π] , tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) = x, y є [-1, 1], Cos(Arccos y) = y. Dakle, Cos-1 = Arccos.

arcsin arccos y π /2 y π x π /2 x -π /2 arcsin: [-1, 1] , arccos: [-1, 1] , arcsin x = Arcsin x, arccos x = Arccos x, arcsin([-1, 1]) = [-π /2, π /2]. arcos([-1, 1]) = [0, π].

Vrijedi: y f 1(x) = sin(arcsin x), y = sin(arcsin x) f 1: [-1, 1] , x f 1([-1, 1]) = [-1, 1], sin(arcsin x) = x. f 2(x) = arcsin(sin x), f 2: , f 2( ) = [-π /2, π /2]. Za x є [-π /2, π /2] je arcsin(sin x) = x. y π /2 -π /2 y = arcsin(sin x) x

Vrijedi: y f 1(x) = cos(arccos x), y = cos(arccos x) f 1: [-1, 1] , x f 1([-1, 1]) = [-1, 1], cos(arccos x) = x. f 2(x) = arccos(cos x), f 2: , f 2( ) = [0, π]. Za x є [0, π] je arccos(cos x) = x. y π π y = arccos(cos x) x

Neka je Tg : (-π/2, π /2) suženje funkcije tg. Dakle, za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x = Tg x. Funkcija Tg je bijekcija. y y=x π /2 -π /2 x -π /2 y = tg x Definirajmo: Arctg: (-π/2, π /2) , tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) = x, y є , Tg(Arctg y) = y Dakle, Tg-1 = Arctg.

Neka je Ctg : (0, π) suženje funkcije ctg. Dakle, za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x = Ctg x. Funkcija Ctg je bijekcija. y y=x π y = ctg x π Definirajmo: x Arcctg: (0, π) , tako da vrijedi: x є (0, π ), Arcctg(Ctg x) = x, y є , Ctg(Arcctg y) = y. Dakle, Ctg-1 = Arcctg.

arctg arcctg y π /2 y π x -π /2 x arctg: , arctg x = Arctg x, arcctg x = Arcctg x, arctg ( ) = (-π /2, π /2). arcctg ( ) = (0, π).

Uočimo: Svako suženje Sink: [- /2 + k , /2 + k ] [-1, 1] , k є , funkcije sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju. y y=x 1 -1 x y = sinx Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!

Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja. Primjer: y y=x x y = ctgx

Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

Osnovna podjela elementarnih funkcija: 1. 2. 3. 4. Polinomi Racionalne funkcije Algebarske funkcije Transcendentne funkcije

1. Polinomi Polinom n-tog stupnja, n {0}, je funkcija Pn : , Pn (x) = anxn + an-1 xn-1 +. . . + a 1 x + a 0, pri čemu su an, an-1, . . . , a 1, a 0 i an 0 za n . Napomena: Ako je n = 0, onda je P 0 (x) = a 0 konstantna funkcija.

2. Racionalne funkcije Racionalna funkcija je funkcija oblika R(x) = gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom. Dakle, R : X , gdje je X = D(R) = { x | Qm(x) = 0}. Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.

• Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojeva onda kažemo da je R = Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima. • Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom m -tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = Pn/Qm prava racionalna funkcija, funkcija a ako je m n onda kažemo da je neprava racionalna funkcija U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x), gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog stupnja, redom, tako da je k < m.

Primjeri: 1. f(x) = je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija to nije. g(x) = 2. f 1(x) = f 2(x) = je prava racionalna funkcija. je neprava racionalna funkcija. Dijeljenjem dobivamo: f 2(x) =

3. Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima. Primjeri: f(x) = g(x) = je algebarska funkcija. nije algebarska funkcija.

4. Transcendentne funkcije Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne. Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan). Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.

Hiperbolne funkcije sinus hiperbolni kosinus hiperbolni Definiramo: ch x : = Definiramo: sh x : = y y y = shx y = chx x x Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”. f(x) = sh x, f: , f( ) = . f(x) = ch x, f: , f( ) = [1, ].

tangens hiperbolni Definiramo: kotangens hiperbolni th x : = Definiramo: cth x : = cth x = y y y = thx y = cthx x x f(x) = cth x, f(x) = th x, f: , f( ) = (1, 1). f: {0} , f( ) = (- , -1) (1, ).

Neke važnije veze između hiperbolnih funkcija ch 2 x - sh 2 x = 1, sh 2 x = 2 shx chx, ch 2 x = sh 2 x + ch 2 x , sh 2 x =1/2·(ch 2 x-1), ch 2 x =1/2·(1 + ch 2 x), cthx =1/thx th 2 x = 2 thx/(1+th 2 x), sh 2 x = th 2 x/(1 -th 2 x), ch 2 x =(cth 2 x+1)/2 cthx ch 2 x = cth 2 x/(cth 2 x-1), Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!

Area-funkcije area-sinus hiperbolni Funkcija sh: je bijekcija. Inveznu funkcije sh nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh. y y=x y = arshx x y = shx f(x) = arsh x, f: , f( ) = Može se pokazati da vrijedi arsh x =

area-kosinus hiperbolni Neka je Ch: [0, ) [1, ) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkcije Ch označimo s Arch. Dakle, Arch : [1, ) [0, ). y y=x y = chx y = archx x arch: [1, ) , arch x = Arch x, arch ([1, )) = [0, ). Može se pokazati da je arch x =

area-tangens hiperbolni Neka je Th: (-1, 1) suženje funkcije th. Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i označavamo arth. y y=x y = thx x y = arthx f(x) = arth x, f: (-1, 1) , f ((-1, 1)) = . Može se pokazati da vrijedi arth x =

area-kotangens hiperbolni Neka je Cth: {0} (- , -1) (1, ), suženje funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkcije Cth označimo s Arcth. Dakle, Arcth: (- , -1) (1, ) {0}. y y=x y = cthx y = arcthx x arcth: (- , -1) (1, ) , Može se pokazati da vrijedi arcth x = Arcth x, arcth ( (- , -1) (1, ) ) = {0}. arcth x =

Još neke važnije elementarne funkcije Apsolutna vrijednost Predznak sgn(x) = |x| = Vrijedi: y sgn(x) = y y = |x| x y = sgn(x) x f(x) = |x|, f : , f( ) = [0, ). f(x) = sgn(x), f : {0} , 1}. f( ) = {1, -

Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla. Borka Jadrijević e-mail: borka@fesb. hr URL: http: //www. fesb. hr/~borka