Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 24 November, 2009 Structuur der Materie
Inhoud • Inleiding • Feynman berekeningen • Deeltjes • Interacties • Gouden regel • Feynman regels • Diagrammen • Relativistische kinematica • Lorentz transformaties • Viervectoren • Energie en impuls • Symmetrieën • Elektrodynamica • Dirac vergelijking • Werkzame doorsneden • Quarks en hadronen • Behoudwetten • Discrete symmetrieën • Elektron-quark interacties • Hadron productie in e+e- • Zwakke wisselwerking • Muon verval • Unificatie Najaar 2009 Jo van den Brand 2
Levensduur Bijna alle elementaire deeltjes vervallen! d. w. z. m. B m. C m. A c. m. systeem verschillende vervalskanalen, b. v. Levensduur: Vertakkingsverhouding Eenheden b. v. Najaar 2009 Jo van den Brand 3
Werkzame doorsnede Telsnelheid A + B C + D Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Najaar 2009 Jo van den Brand 4
Voorbeelden Foton-koolstof/lood n-238 U Najaar 2009 Jo van den Brand 5
Voorbeeld: verstrooiing aan een harde bol Verstrooiing aan een massieve bol: Berekening werkzame doorsnede Geometrie b R Berekening werkzame doorsnede: (vgl. Rutherford verstrooiing) Totale werkzame doorsnede, oppervlak zoals de bundel die ziet: Najaar 2009 Jo van den Brand 6
Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Alfa deeltjes: Tb = 4 – 7 Me. V Coulomb potentiaal Najaar 2009 Jo van den Brand 7
Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Najaar 2009 Voor bb < bb+dbb Jo van den Brand 8
Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > bmin=Ra + Rt ofwel Meet interactieafstand bmin versus A Eigenlijk bmin Ra + Rt + Rs Najaar 2009 Jo van den Brand 9
Rutherford verstrooiïng Plot bmin versus A 1/3 Er geldt Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol Rutherford vond Najaar 2009 Jo van den Brand 10
Gouden regel van Fermi In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi’s Golden Rule Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa’s, energieën en impulsen Voor de afleiding: zie dictaat quantummechanica. Verder eisen wij een Lorentzinvariante beschrijving. Najaar 2009 Jo van den Brand 11
Faseruimte – Klassiek Faseruimte in 1 D: Klassiek neemt elke toestand een punt met (x, px) in In QM hebben we rekening te houden met h h Volume van elke toestand is h Faseruimte met volume Lp bevat N cellen, Celvolume in 3 D is Aantal toestanden in volume is Aantal toestanden per volume eenheid Toestandsdichtheid Najaar 2009 Jo van den Brand 12
Delta functie van Dirac In de berekeningen maken we veelvuldig gebruik van de Dirac d functie: `een oneindig smalle piek met integraal 1’ Elke functie met bovenstaande eigenschappen kan d(x) representeren, bijvoorbeeld Lim a → 0 In relativistische quantummechanica zijn delta functies nuttig voor integralen over de faseruimte, bijvoorbeeld in het verval a 1 + 2. Ze drukken dan energie en impulsbehoud uit. Najaar 2009 Jo van den Brand 13
Delta functie van een functie We zoeken een uitdrukking voor d( f(x) ) Stel dat f(x) een enkel nulpunt heeft voor x = x 0 Dan geldt Schrijft y = f(x) Er geldt dan Omschrijven levert Najaar 2009 Jo van den Brand 14
Voorbeeld: Delta functie van een functie Meerdere nulpunten: Opgave: Vereenvoudig de uitdrukking Oplossing: Er geldt Nulpunten voor x 1 = 1 en x 2 = -2 Afgeleide Dus Najaar 2009 en Jo van den Brand 15
Voorbeeld: Delta functie van een functie Deeltjesverval a 1 + 2 in CM systeem Bereken a dit is je functie f(x) dit dx Er geldt Stel is de waarde van de impuls waarvoor Dan Najaar 2009 Jo van den Brand 16
Gouden regel van Fermi – revisited Gouden regel van Fermi: niet-relativistisch Faseruimte is dichtheid van de eindtoestanden We schrijven (met Ei = Ef) Integreer over alle mogelijke toestanden met elke energie, merk op dat De gouden regel luidt nu Met impulsbehoud en a 1 + 2 energiebehoud Najaar 2009 Jo van den Brand impulsbehoud toestandsdichtheid 17
Lorentzinvariante faseruimte In niet-relativistische QM normeren we op 1 deeltje / volume eenheid Relativistische contraheert volume met Deeltjesdichtheid neemt toe met Conventie: a a a/g Normeer op 2 E deeltjes / volume eenheid Gebruik Lorentzinvariant matrixelement Najaar 2009 Jo van den Brand 18 a
Lorentzinvariante vervalsnelheid Beschouw het verval 1 2 + 3 + 4 + … + n E 1 Deeltje i heeft vierimpuls pi = (Ei/c, pi) tijddilatatie Energie Ei is een functie van pi vanwege We gaan er van uit dat deeltje 1 in rust is, dus p 1 = (m 1 c, 0) S is het product van statistische factoren: 1/j! voor elke groep van j identieke deeltjes in de eindtoestand Formule geeft de differentiële vervalsnelheid, waarbij de impuls van deeltje 2 in het gebied d 3 p 2 rond de waarde p 2 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand. Bijvoorbeeld voor 1 2 + 3 Najaar 2009 Jo van den Brand 19
Voorbeeld: p 0 g + g Bereken vervalsnelheid voor 1 2 + 3 met m 1 = m 2 = 0; amplitude M(p 2, p 3) Herschrijf delta functie Er geldt en dus Sferische coördinaten Hoekintegratie We vinden Er geldt Najaar 2009 Jo van den Brand S = ½ voor p 0 20 g + g
Tweedeeltjesverval Bereken vervalsnelheid voor 1 2 + 3 Er geldt . Integreer over p 3 Sferische coördinaten en hoekintegratie. Met r = | p 2 | vinden we We moeten nu nog over de delta functie integreren Dat kan in principe met We doen het nu echter met een andere methode Najaar 2009 Jo van den Brand 21
Tweedeeltjesverval We hebben Verander van variabele Er geldt Mits m 1 > m 2 + m 3, anders niet in het integratie interval! Merk op dat r 0 de waarde van r (= | p 2 | ) is waarvoor E = m 1 c 2 Je vindt Uiteindelijk Najaar 2009 Jo van den Brand Bij meer dan 2 deeltjes moet je integreren over het matrixelement 22
Gouden regel voor verstrooiing Beschouw de botsing 1 + 2 3 + 4 + … + n Formule geeft de differentiële werkzame doorsnede, waarbij de impuls van deeltje 3 in het gebied d 3 p 3 rond de waarde p 3 ligt, etc. In het algemeen integreren we over de impulsen in de eindtoestand en zijn we bijvoorbeeld geinteresseerd in enkel de hoekverdeling van deeltje 3. Uitdrukking volgt uit Telsnelheid = n 1(v 1 + v 2) n 2 s s = Gfi / (v 1 + v 2) Vervolgens wordt de fluxfactor Lorentzinvariant geschreven In LAB Najaar 2009 Jo van den Brand 23
Elastische verstrooiing in het CM systeem 3 Beschouw de botsing 1 + 2 3 + 4 in CM systeem 1 Dan geldt 4 2 p 2 = -p 1 Dus Herschrijf de delta functie Integreer over impuls delta functie: Najaar 2009 Gebruik Jo van den Brand 24
Elastische verstrooiing in het CM systeem We vinden Het matrixelement hangt in principe van alle impulsen af. Echter en , dus geldt. Omdat vastligt, geldt . Gebruik We vinden Najaar 2009 Jo van den Brand 25
Lorentzinvariante werkzame doorsnede Voor elastische verstrooiing geldt Dan geldt Dit geldt ook in de limiet Merk op dat de differentiële werkzame doorsnede NIET Lorentinvariant is De hoeken refereren naar het CM systeem! Voor een algemeen geldige vergelijking: druk d uit in viervectoren Vierimpuls overdracht Najaar 2009 Jo van den Brand 26
Lorentzinvariante werkzame doorsnede Druk uit in termen van de Lorentzinvariant dt In CM frame: Dit geeft en dus Integratie over Najaar 2009 geeft Lorentzinvariant Jo van den Brand 27
Fluxfactor voor A + B … c. m. stelsel: P 1=(E 1, +p) P 2=(E 2, p) lab stelsel: P 1=(E, p) P 2=(m 2, 0) Najaar 2009 Jo van den Brand 28
Toy-model: ABC theorie Drie deeltjes: A, B en C Ieder deeltje is zijn eigen antideeltje Spin van de deeltjes is 0 m. A > m B + m C Najaar 2009 Jo van den Brand 29
Feynman regels Berekening van de amplitude -i. M: Hiervoor is de dynamica van wisselwerking nodig. In het vervolg zullen we de amplitudes berekenen voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen. Om een idee te krijgen eerst de amplitude voor een hypothetisch model, 3 toy-model: Feynman regels ABC theorie: p 2 p 1 A ig B p 3 C B p 1 p 2 q p 3 p 4 ig C ig A Najaar 2009 Jo van den Brand B A 30
Levensduur ( 3 toy-model) B Het matrixelement A is [g]=[Ge. V] g C De vervalsbreedte wordt met Fermi’s regel: En de levensduur van deeltje A is dus De impuls van B (of C) kan bepaald worden, in c. m. systeem: Najaar 2009 Jo van den Brand 31
Verstrooiing A+A B+B ( 3 toy-model) A p 2 (A) p 4 B Tweede diagram! A p 2 C q A p 1 (B) C q p 3 B A p 1 B p 4 p 3 B (A): (B): (A+B): Najaar 2009 Jo van den Brand 32
Verstrooiing A+A B+B ( 3 toy-model) B A In het c. m. stelsel Veronderstel m. A=m. B=m en m. C=0 B A c. m. frame Twee identieke deeltjes in eindtoestand (dus een extra factor ½!=½) Werkzame doorsnede: Najaar 2009 Jo van den Brand 33
Verstrooiing A+B ( 3 toy-model) A p 2 (A) C B p 1 p 4 B q p 3 Twee diagrammen dragen bij! A p 2 p 1 A (B) B p 4 q C p 3 A B (A): (B): (A+B): Najaar 2009 Jo van den Brand 34
Verstrooiing A+B ( 3 toy-model) B A In het c. m. stelsel Veronderstel m. A=m. B=m en m. C=0 A B c. m. frame Werkzame doorsnede: Najaar 2009 Jo van den Brand 35
- Slides: 35