ELASTINA LINIJA GREDE Z v Deformisani oblik osovine

ELASTIČNA LINIJA GREDE Z v Deformisani oblik osovine grede naziva se elastična linija grede. Ordinate el. linije su ugibi grede v Promena ugla između tangente na el. liniju i ose štapa je nagib grede Krivina je proporcionalna momentu 1

ODREĐIVANJE DEFORMACIJA GREDE Maksvel-Morova metoda fiktivnog nosača Koristimo za određivanje ugiba i nagiba elastične linije. Bazira se na matematičkoj analogiji između diferencijalne jednačine elastične linije. . 1 i diferencijalne zavisnosti između napadnog momenta i spoljašnjeg opterećenja. . 2 Znači ugib mozemo odrediti tretirajući desnu stranu jednačine 1 kao opterećenje fiktivnog grednog nosača, pa za njega nacrtati dijagram momenata. Tako dobijene vrednosti momenata su ugibi elastične linije. 2

Nagibi su jednaki transverzalnoj sili na fiktivnom nosaču Fiktivni nosač mora da ispuni analogiju graničnih uslova Ugibu odgovara momenat a nagibu transverzalna sila Čvor a Stvarni nosač a b L= D L c D Fiktivni nosač d e Stvarni nosač Fiktivni oslonac Čvor b Stvarni nosač Fiktivni oslonac Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Nema promene T sile nema oslonca 3

Čvor c Stvarni nosač a b c d D L Fiktivni nosač Čvor e Stvarni nosač Fiktivni oslonac Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Ima promene T sile ima oslonac-reakcija Čvor d Stvarni nosač Fiktivni oslonac Reakcija je sila koja menja vrednost T sile Ima promene T sile ima oslonac-reakcija Slobodan kraj 4

7. 1 Za zadati nosač odrediti ugib čvora A i nagibe tangente u tačkama A i C Postupak: F 1. Na stvarnom nosaču nacrtamo dijagram momenata usled spoljašnjeg opterećenja A B C 2. Usvojimo i nacrtamo fiktivni nosač L L 3. Opteretimo fiktivni nosač sa fiktivnim opterećenjem odnosno dijagramom momenata iz tačke 1 sa predznakom minus. 4. Vrednost fiktivnog momenta u čvoru A je vrednost ugiba u čvoru A 5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u čvorovima A i C je vrednost nagiba u tim čvorovima 5

L F A B L F L L - M C D 1. Crtanje dijagrama momenata MB=-F L Momenat je negativan sa leve strane U čvorovima A i C M=0 2. Usvajanje fiktivnog nosača čvor A Fiktivni nosač čvor B čvor C 6

F L 2/3 L F L L/2 Mf A A Vf. A - M 2/3 L F L L/2 B L 3. Opteretimo fiktivni nosač sa fiktivnim opterećenjem odnosno dijagramom momenata iz tačke 1 sa predznakom minus. Prenesemo dijagram momenata na fiktivni nosač, obrnemo strelice i tako dobijemo fiktivno opterećenje C L Vf. C 4. Vrednost fiktivnog momenta u čvoru A je vrednost ugiba u čvoru A Potrebno je da odredimo reakcije fiktivnog nosača Trougaono podeljeno opterećenje zamenimo silama. Hf. A=0 7

2/3 L F L L/2 Mf A 2/3 L F L L/2 Iz Iz A Vf. A B L C L Nije potrebno da crtamo Dijagrame presečnih sila Vf. C Iz 8

Vrednost fiktivnog momenta u čvoru A je vrednost ugiba u čvoru A L D Ugib je pozitivan ako se fiktivni momenat poklapa sa pozitivnim smerom momenta 5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u čvorovima A i C je vrednost nagiba u tim čvorovima Transverzalna sila je suprotna pozitivnom smeru T sile Transverzalna sila se poklapa sa pozitivnim smerom T sile Vrednost Eix se naziva krutost na savijanje i zavisi od materijala grede (E) i njenog poprečnog preseka (Ix) 9

C A v. A A B C Pozitivan ugib je ugib na dole Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru kazaljke na časovniku 10

7. 2 Odrediti metodom fiktivnog nosača ugib i nagib u čvoru C Uslovi ravnoteže 1) Hi=0 2) Vi=0 3) MA=0 11

Dijagrami presečnih sila na stvarnom nosaču usled spoljašnjeg opterećenja 12

Usvajanje fiktivnog nosača čvorovi C i E čvorovi A i B 13

Opteretimo fiktivni nosač sa dijagramom momenata sa predznakom - Fiktivni nosač sa opterećenjem Prosta greda u sredini sa opterećenjem Konzole na krajevima sa opterećenjem 14

Prosta greda u sredini sa opterećenjem Q 1=20 2=40 k. N Q 2=20 2/2=20 k. N 15

Krajnja konzola u čvoru C L vc D c 16

Maksvel-Morova metoda jedinične sile Gde su Mx(z) –momenti usled spoljašnjeg opterećenja Mx(z) –momenti usled jedinične sile na mestu tražene deformacije Metoda Vereščagina Za konstantnu krutost na savijanje Dobijamo množenjem dijagrama od spoljašnjeg opterećenja i dijagrama momenata usled jedinične sile 17

AM T M Gde su M M AM-površina dijagrama momenata usled spoljašnjeg opterećenja M-ordinata dijagrama momenata usled jedinične sile na mestu težišta dijagrama momenata od spoljašnjeg opterećenja 18

7. 3 Odrediti metodom Vereščagina ugib i nagib kraja konzole usled dejstva vertikalne sile F na kraju konzole Ugib kraja konzole Zadati nosač 1 F L L F L - 1 L M Dijagram momenata od osnovnog opterećenja - M Dijagram momenata od jedinične sile na mestu i u pravcu traženog pomeranja Određivanje ugiba kraja konzole: Opteretimo nosač sa jediničnom silom na mestu traženog pomeranja i u pravcu traženog pomeranja 19

F L - AM=FL L/2 Određivanje ugiba M T L 1 L L/3 M=2/3 L M 2/3 L Ugib kraja konzole Jedinice: FL 3= k. N m 3 Znak pri množenju dijagrama: U ovom slučaju oba dijagrama momenata su negativna pa je proizvoda pozitivan - - =+ Zaključak: Ako su dijagrami sa iste strane proizvod je +, a ako su sa suprotnih strana nulte linije proizvod je - 20

7. 4 Određivanje nagiba kraja konzole: Opteretimo nosač sa jediničnim momentom na mestu traženog pomeranja i u pravcu traženog pomeranja Nagib kraja konzole Zadati nosač F 1 L L F L - M 1 - 1 M Određivanje ugiba Nagib kraja konzole (rad) 21

Z v Pozitivan ugib je ugib na dole Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru kretanja kazaljke na časovniku 22

7. 5 Odrediti metodom Vereščagina ugib u sredini proste grede usled dejstva koncentrisane sile F u sredini grede F Dijagrami momenata usled spoljašnjeg opterećenja B A L A F F/2 Reakcije u A i B su jednake i vrednost im je F/2 B F/2 + Vrednost momenta u sredini proste grede je F/2 l/2=FL/4 M FL/4 23

1 Dijagrami momenata usled jedinične sile u pravcu traženog pomeranja B A L Reakcije u A i B su jednake i vrednost im je 1/2 1 A B 1/2 + M L/4 T AM + FL/4 M Vrednost momenta u sredini proste grede je 1/2 L/2=L/4 Određivanje ugiba M T M Ugib proste grede (m) 24

7. 6 Odrediti pomeranje čvora C i obrtanje poprečnog preseka B nosača na slici. Takođe odrediti i promenu rastojanja između tačaka B i C. Dato je: F 1=10 k. N F 2=20 k. N E=20 MN/cm 2 I=3000 cm 4 F 2=20 k. N B 2 A C 2 F 1=10 k. N 2 Crtanje dijagrama momenata Za rešenje zadatka potrebni su nam samo dijagrami momenata. Odredićemo dijagrame momenata bez određivanja reakcija oslonaca. 25

F 2=20 k. N B D 2 A F 1=10 k. N C A B Mdole. D=-10 2=-20 k. Nm sve do B je isti momenat Mdesno. A=-10 2 -20 2=-60 k. Nm izjednačavanje momenata u uglu 20 - 2 20 60 2 Crtanje dijagrama momenata D C 20 M crta se od štapa prema dijagramu mora imati suprotan smer da bi suma bila O (čvor u ravnoteži) 26

Horizontalno pomeranje čvora C B D 2 A 1 C 2 A - 2 Mdole. D=-1 2=-2 m sve do A je isti momenat 2 2 B D C Opteretimo nosač sa jediničnom silom na mestu traženog pomeranja. Smer pomeranja pretpostavimo (smer strelice). 2 Određivanje pomeranja M 1 za određivanje vrednosti integrala koristićemo tablice u kojima su dati obrasci za množenje dijagrama 27

20 20 60 - B D 2 A C 2 A - 20 - štap C-D - x M 2 štap B-D - x - štap A-B - x - 2 2 množenje dijagrama B D C 2 M 1 28

Vertikalno pomeranje čvora C B D 2 A Opteretimo nosač sa jediničnom silom na mestu traženog pomeranja. Smer pomeranja pretpostavimo (smer strelice). C 2 4 A - 1 2 Mdole. D=0 MA=-1 4=4 m 2 B Određivanje pomeranja D C M 1 29

20 20 60 - B D 2 A C 2 4 A - množenje dijagrama 20 M štap C-D štap B-D - x štap A-B - x - 2 2 B - D C M 2 30

Obrtanje preseka B 1 B D 2 A C 2 1 A - Opteretimo nosač sa jediničnim momentom na mestu traženog obrtanja. Smer obrtanja pretpostavimo (smer strelice). 2 MA=-1 (nema jedinice) 1 B Određivanje pomeranja D C M 3 31

20 20 60 - B D 2 A C 2 1 A - množenje dijagrama 20 M štap C-D štap B-D štap A-B 2 - x - 1 B D C M 3 32

Promena rastojanja između B i C 1 B D C Momenti se javljaju samo između sila 2 A Opteretimo nosač sa jediničnim silama u pravcu B-C 2 2 1 A B M 4 - D 1 Određivanje pomeranja C 33

20 20 60 - B D 2 A C 2 2 1 A B M 4 množenje dijagrama - D 20 - štap C-D - x M štap B-D - x - štap A-B C 34

7. 7 Za zadati nosač odrediti: a) Dijagrame M, N, T b) Ugib zgloba E EI=const. q=10 k. N/m C D E 4 A B 3 4 2 35

Rešenje Zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca q=10 k. N/m C D E 4 HA A VA 3 4 B HB 2 VB L D Imamo četri nepoznate reakcije Uslovi ravnoteže 1) Hi=0 2) Vi=0 3) MA=0 4) MDdole=0 36

Iz q=10 k. N/m C D E 4 A 8, 58 3 B 4 2 5 4 3 51, 42 37

L Dijagram normalnih sila D q=10 k. N/m E 4 A 3 B 4 /2 - 8, 58 /2 - 8, 5 8 co s 51, 42 , 86 6 - 51, 42 8, 58 2 A 8 s in D 8, 5 C Čvor A N Štap A-C Štap B-D Štap D-E Štap C-D N=-8, 58 sin =-6, 86 N=-51, 42 N=0 38

L Dijagram transverzalnih sila q=10 k. N/m C D E x B + 5, 1 x 20 + - Čvor A TA=8, 58 cos =5. 15 Čvor C TC=8, 58 Čvor Dlevo TLD=8, 58 -10 4=-31, 42 Čvor Ddesno TDD=-31, 42+51, 42=20 Čvor E 2 51, 42 31, 42 8, 58 4 5 A 3 8, 58 4 D TE=0 Tx=0 8, 58 -10 x=0 + x=8, 58/10=0, 86 m T 39

L Dijagram momenata savijanja q=10 k. N/m C D Čvor A MA=0 (zglob) Čvor CL MLC=8, 58 3=25, 74 Čvor CD MDC=MLC E 4 3 5, 1 8, 58 5 Čvor DL MLD=8, 58 7 -10 4 2= MLD=-20 k. Nm B , 74 20 20 25 2 51, 42 25, 74 4 + 6, 8 6 A + x=0, 86 f 2 - f 1 M D Čvor DD MDD=-10 2 2/2= MDD=-20 k. Nm Čvor E ME=0 f 1=10 42/8=20 f 2=10 22/8=5 Maksimalna vrednost momenta Mx=8, 58 (3+0, 86)-10 0, 862/2= Mx=29, 42 k. Nm 40

Ugib čvora E F=1 C D E 4 A B 3 2/7 4 2 9/7 41

F=1 C D L D E 4 A B 3 2/7 2 9/7 2 2 6/7 - - 6/7 4 - M 42

C + + , 74 20 20 25 25, 74 Određivanje ugiba množenjem dijagrama - D f 1=20 A - 0, 86 f 2=5 E M B 2 2 - množenje dijagrama + štap A-C - štap D-E - - x x - M 43

+ f 1=20 III M 0, 86 = 25, 74 M + II 20 25, 74 štap C-D - + + f 1=20 2 - 44