EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Objetivos

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Objetivos de aprendizaje • Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas. • Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su cálculo para montos únicos y la relación entre ellos. • Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una anualidad ordinaria como de una anualidad anticipada, y calcular el valor presente de una perpetuidad.

Objetivos de aprendizaje (cont. ) • Calcular tanto el valor futuro como el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo. • Comprender el efecto que produce la capitalización de los intereses, con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre la tasa de interés efectiva anual. • Describir los procedimientos implicados en: 1. la determinación de los depósitos necesarios para acumular una suma futura, 2. la amortización de préstamos, 3. el cálculo de tasas de interés o crecimiento, y 4. el cálculo de un número desconocido de periodos.

El papel del valor del tiempo en las finanzas • La mayoría de las decisiones financieras implican costos y beneficios que se extienden a lo largo del tiempo. • El valor del dinero en el tiempo permite comparar flujos de efectivo de diversos periodos. • Pregunta: Suponga que su padre le ofrece entregarle una cantidad de dinero y le da a elegir una de las siguientes dos opciones: • recibir $1, 000 hoy, o • recibir $1, 100 en un año a partir de hoy. ¿Qué elegiría usted?

El papel del valor del tiempo en las finanzas (cont. ) • La respuesta dependerá de la tasa de interés que pueda obtener sobre cualquier cantidad que reciba el día de hoy. • Por ejemplo, si pudiera depositar los $1, 000 hoy al 12% anual, usted preferiría recibir el dinero hoy. • Por otra parte, si pudiera recibir solamente el 5% sobre los fondos depositados, le convendría más aceptar los $1, 100 en un año.

Valor futuro frente a valor presente • Suponga que una empresa tiene ahora la oportunidad de gastar $15, 000 en alguna inversión que le generará $17, 000 distribuidos durante los siguientes 5 años, como se indica a continuación: • ¿Es esto una buena inversión? • Para tomar la decisión correcta de inversión, los gerentes necesitan comparar los flujos de efectivo en el mismo momento en el tiempo

Figura 5. 1 Línea de tiempo

Figura 5. 2 Capitalización y descuento

Figura 5. 3 Teclas de la calculadora

Valor futuro de un monto único • Valor futuro es el valor en una fecha futura específica de un monto colocado en depósito el día de hoy y que gana un interés a una tasa determinada. Se calcula aplicando un interés compuesto durante un periodo específico. • Interés compuesto es el interés ganado en un depósito específico y que se vuelve parte del principal al final de un periodo determinado. • Principal es el monto de dinero sobre el que se pagan intereses.

Ejemplo de finanzas personales • Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés compuesto anualmente, ¿cuánto dinero tendrá al cabo de un año? • Si Fred mantuviera este dinero en la cuenta durante otro año, ¿cuánto dinero tendría el cabo del segundo año?

Valor futuro de un monto único: Ecuación para calcular el valor futuro • Usamos la siguiente notación para las diferentes entradas: • VFn = valor futuro al final del periodo n • VP = valor presente o capital inicial • i = tasa anual de interés pagada. (Nota: En las calculadoras financieras, normalmente se usa I para identificar esta tasa). • n = número de periodos (generalmente años) que el dinero se mantiene en depósito • La ecuación general para el valor futuro al final del periodo n es

Valor futuro de un monto único: Ecuación para calcular el valor futuro • Jane Farber deposita $800 en una cuenta de ahorros que paga el 6% de interés compuesto anual. Desea saber cuánto dinero tendrá en la cuenta al término de 5 años. VF 5 = $800 (1 + 0. 06)5 = $800 (1. 33823) = $1, 070. 58 • Este análisis se representa en una línea de tiempo de la siguiente manera:

Valor presente de un monto único • Valor presente es el valor actual en dólares de un monto futuro; es decir, la cantidad de dinero que debería invertirse hoy a una tasa de interés determinada, durante un periodo específico, para igualar el monto futuro. • Se basa en la idea de que un dólar hoy vale más que un dólar mañana. • Descuento de flujos de efectivo es el proceso para calcular los valores presentes; es lo contrario de la capitalización de intereses. • La tasa de rendimiento o de retorno anual recibe diversos nombres, como tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital y costo de oportunidad.

Ejemplo de finanzas personales • Paul Shorter tiene la oportunidad de recibir $300 dentro de un año a partir de hoy. Si puede ganar el 6% sobre sus inversiones, ¿cuánto es lo máximo que debería pagar ahora por esa oportunidad? VP (1 + 0. 06) = $300 VP = $300/(1 + 0. 06) = $283. 02

Valor presente de un monto único: Ecuación para calcular el valor presente • El valor presente, VP, de cierto monto futuro, VFn, que se recibirá en n periodos a partir de ahora, suponiendo una tasa de interés (o costo de oportunidad) de i, se calcula de la siguiente manera:

Valor presente de un monto único: Ecuación para calcular el valor presente • Pam Valenti desea calcular el valor presente de $1, 700 que recibirá dentro de 8 años. El costo de oportunidad de Pam es del 8%. VP = $1, 700/(1 + 0. 08)8 = $1, 700/1. 85093 = $918. 46 • La siguiente línea de tiempo muestra este análisis:

Anualidades Anualidad es un conjunto de flujos de efectivo periódicos e iguales durante un lapso determinado. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas de rendimientos obtenidos por inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros. • Anualidad ordinaria (o diferida) es una anualidad en la que el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo. • Anualidad anticipada es aquella en la que el flujo de efectivo ocurre al inicio de cada periodo. • Una anualidad anticipada siempre será mayor que una anualidad ordinaria equivalente, ya que el interés se capitalizará un periodo adicional.

Ejemplo de finanzas personales • Fran Abrams está tratando de decidir cuál de dos anualidades recibir. Ambas son anualidades de $1, 000 durante 5 años; la anualidad A es una anualidad ordinaria, y la anualidad B es anticipada. Fran elaboró una lista de los flujos de efectivo, la cual se presenta en la tabla 5. 1. de la siguiente diapositiva. Note que la cantidad de ambas anualidades es $5, 000.

Tabla 5. 1 Comparación de los flujos de efectivo entre una anualidad ordinaria y una anualidad anticipada ($1, 000, 5 años)

Cálculo del valor futuro de una anualidad ordinaria • Usted puede calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria que paga un flujo de efectivo anual usando la siguiente ecuación: FE, • Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera equivalente, el número de años que dura la anualidad).

Ejemplo de finanzas personales • Fran Abrams desea determinar cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años si elige la anualidad A, la anualidad ordinaria que paga el 7% de interés anual. La anualidad A se ilustra gráficamente a continuación: • La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:

Cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria • Usted puede calcular el valor presente de una anualidad ordinaria que paga un flujo de efectivo anual siguiente ecuación: FE, usando la • Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera equivalente, el número de años que dura la anualidad).

Cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria (cont. ) • Braden Company, una pequeña empresa fabricante de juguetes de plástico, desea determinar el monto máximo que debería pagar para obtener una anualidad ordinaria determinada. La anualidad consiste en flujos de efectivo de $700 al final de cada año durante cinco años. La empresa requiere que la anualidad brinde un rendimiento mínimo del 8%. • La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:

Cálculo del valor futuro de una anualidad anticipada • La ecuación para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada que hace pagos anuales de siguiente ecuación: FE por n años es la • Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera equivalente, el número de años que dura la anualidad).

Obtención del valor presente de una anualidad anticipada • El valor presente de una anualidad ordinaria que paga un flujo anual FE se calcula utilizando la siguiente ecuación: • Como antes, i en esta ecuación representa la tasa de interés, y n representa el número de pagos en la anualidad (o, de manera equivalente, el número de años que dura la anualidad).

Cálculo del valor presente de una perpetuidad • Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita que garantiza un flujo de efectivo anual continuo. • Si una perpetuidad paga un flujo de efectivo anual de FE, iniciando dentro de un año a partir de ahora, el valor presente del conjunto de los flujos de efectivo es

Ejemplo de finanzas personales • Ross Clark desea fundar una cátedra de finanzas en su universidad. La institución le indicó que requiere de $200, 000 anuales para mantener la cátedra; la donación ganaría el 10% anual. Si queremos determinar el monto que Ross debe donar a la universidad para fundar la cátedra, debemos calcular el valor presente de una perpetuidad de $200, 000 descontada al 10%. VP = $200, 000 ÷ 0. 10 = $2, 000

Valor futuro de un ingreso mixto Shrell Industries, un fabricante de armarios, espera recibir los siguientes flujos de efectivo de ingresos mixtos, durante los próximos 5 años, de uno de sus clientes menores.

Valor futuro de un ingreso mixto Si Shrell espera ganar el 8% sobre sus inversiones, ¿cuánto acumulará al término de 5 años si invierte esos flujos de efectivo tan pronto como los recibe? La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:

Valor presente de un ingreso mixto • Frey Company, una fábrica de calzado, tiene la oportunidad de recibir el siguiente ingreso mixto de flujos de efectivo durante los próximos 5 años:

Valor presente de un ingreso mixto (cont. ) Si la empresa debe ganar por lo menos el 9% sobre sus inversiones, ¿cuánto es lo máximo que debería pagar por esa oportunidad? La situación se representa en la siguiente línea de tiempo:

Capitalización de intereses con una frecuencia mayor que la anual • Capitalizar con una frecuencia mayor que la anual da como resultado una tasa de interés efectiva más elevada, ya que se está ganando interés sobre los intereses también con mayor frecuencia. • Como resultado, la tasa de interés efectiva es mayor que la tasa de interés nominal (anual). • Además, la tasa de interés efectiva aumentará cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización del interés.

Tabla 5. 3 Valor futuro de una inversión de $100 al 8% de interés capitalizado semestralmente durante 24 meses (2 años)

Tabla 5. 4 Valor futuro de una inversión de $100 al 8% de interés capitalizado trimestralmente durante 24 meses (2 años)

Tabla 5. 5 Valor futuro de los años 1 y 2 de una inversión de $100 al 8% de interés, con diversos periodos de capitalización

Capitalización de intereses con frecuencia mayor que la anual (cont. ) una • Una ecuación general para capitalizar con mayor frecuencia que la anual es: • Recalcule el ejemplo para Fred Moreno suponiendo: 1. la capitalización semestral y 2. la capitalización trimestral.

Capitalización continua • La capitalización continua implica la capitalización del interés un número infinito de veces al año a intervalos de microsegundos. • Una ecuación general para la capitalización continua es: donde e es la función exponencial.

Ejemplo de finanzas personales • Calcule el valor al término de 2 años (n = 2) del depósito de $100 de Fred Moreno (VP = $100) en una cuenta que paga el 8% de interés anual (i = 0. 08) capitalizable continuamente. VF 2 (capitalización continua) = $100 e 0. 08 2 = $100 2. 71830. 16 = $100 1. 1735 = $117. 35

Tasas nominales y efectivas de interés anual • La tasa nominal anual (establecida) es la tasa de interés anual contractual que cobra un prestamista o que promete pagar un prestatario. • La tasa efectiva anual (verdadera) (TEA) es la tasa de interés anual pagada o ganada en realidad. • En general, la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal siempre que ocurre la capitalización más de una vez al año

Ejemplo de finanzas personales • Fred Moreno desea calcular la tasa efectiva anual relacionada con una tasa nominal anual del 8% (r = 0. 08) cuando el interés se capitaliza: 1. anualmente (m = 1); 2. semestralmente (m = 2); y 3. trimestralmente (m = 4).

Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Depósitos necesarios para acumular una suma futura • La siguiente ecuación calcula el pago anual (FE) que tendríamos que ahorrar para lograr un valor futuro (FVn): • Suponga que usted desea adquirir una casa en 5 años, y calcula que en ese momento requerirá dar un enganche de $30, 000. Para acumular $30, 000, deberá hacer depósitos anuales iguales al final de cada año en una cuenta que pague un interés anual de 6%. • FE

Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Amortización de préstamos • Amortización del préstamo es la determinación de los pagos iguales y periódicos que son necesarios para brindar a un prestamista un rendimiento de interés específico y para reembolsar el principal del préstamo en un periodo determinado. • El proceso de amortización del préstamo implica efectuar el cálculo de los pagos futuros durante el plazo del préstamo, cuyo valor presente a la tasa de interés estipulada equivale al monto del capital inicial prestado. • El programa de amortización del préstamo es el programa de pagos iguales para reembolsar un préstamo. Muestra la distribución de cada pago del préstamo al interés y al principal.

Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Amortización de préstamos (cont. ) • La siguiente ecuación calcula los pagos periódicos iguales del préstamo (FC) necesarios para pagar al prestamista un rendimiento específico y reembolsar el principal del préstamo (VP) en un periodo específico: • Suponga que pide prestados $6, 000 al 10% y acuerda realizar pagos anuales iguales a fin de año, durante 4 años. Para calcular el monto de los pagos, el prestamista determina el monto de una anualidad de 4 años descontada al 10% que tiene un valor presente de $6, 000. • FC

Tabla 5. 6 Programa de amortización del préstamo ($6, 000 de principal, 10% de interés, periodo de reembolso de 4 años)

Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo de las tasas de interés o de crecimiento • Con frecuencia es necesario calcular el interés anual compuesto o la tasa de crecimiento (es decir, la tasa anual de cambio de los valores) de una serie de flujos de efectivo. • La siguiente ecuación nos servirá para obtener la tasa de interés (o tasa de crecimiento) que representa el incremento del valor de algunas inversiones entre dos periodos.

Ejemplo de finanzas personales • Ray Noble realizó una inversión de $1, 250 hace 4 años. Ahora tiene $1, 520. ¿Qué tasa de interés anual compuesto de rendimiento ganó Ray con esta inversión? Al introducir los valores adecuados en la ecuación 5. 20, tenemos: i = ($1, 520 ÷ $1, 250)(1/4) – 1 = 0. 0501 = 5. 01% anual

Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo: Cálculo de un número desconocido de periodos • En ocasiones, es necesario calcular el número de periodos que se requieren para generar un monto determinado de flujo de efectivo a partir de un monto inicial. • El caso más sencillo es cuando una persona desea determinar el número de periodos, n, que se requerirán para que un depósito inicial, VP, crezca hasta convertirse en un monto específico en el futuro, VFn, con una tasa de interés establecida, i.