EL TEOREMA DE EUCLIDES SOBRE NMEROS PRIMOS DEFINICIONES
EL TEOREMA DE EUCLIDES SOBRE NÚMEROS PRIMOS
DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS • Vamos a trabajar sobre el conjunto de los números naturales, N: ={1, 2, 3, …, n, …}. En este conjunto podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Explicación • Definición: Dados números naturales n y m, se dice que n divide a m (o que m es divisible por n) si existe un número natural c tal que m=c n. Explicación • Definición: Diremos que un número natural p es primo si no es igual a 1 y solo es divisible por sí mismo y por 1. Como ejemplos de números primos tenemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Explicación Vamos a necesitar unos resultados previos para demostrar el teorema de Euclides. Son los siguientes: Teorema Cualquier número natural n mayor que 1 se puede escribir como producto de números primos. Explicación Veamos algunos ejemplos: • 35=5 7. • 162=2 34. • Sin embargo, esta factorización a veces no es fácil (intentar factorizar, por ejemplo, el número 62. 821. 427).
DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS • Vamos a trabajar sobre el conjunto de los números naturales, N: ={1, 2, 3, …, n, …}. En este conjunto podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Explicación • Definición: Dados números naturales n y m, se dice que n divide a m (o que m es divisible por n) si existe un número natural c tal que m=c n. Explicación • Definición: Diremos que un número natural p es primo si no es igual a 1 y solo es divisible por sí mismo y por 1. Como ejemplos de números primos tenemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Explicación Vamos a necesitar unos resultados previos para poder demostrar el teorema de Euclides. Son los siguientes: Teorema Cualquier número natural n mayor que 1 se puede escribir como producto de números primos. Explicación Teorema El número 1 no es divisible por ningún número primo.
EL TEOREMA Teorema de Euclides Existen infinitos números primos. Demostración: Vamos a demostrar este resultado usando una técnica matemática conocida como reducción al absurdo. Se supone que lo que se quiere demostrar es falso y se llega a una Explicación contradicción. Supongamos entonces que solo hay un número finito de primos, que llamaremos p 1, p 2, …, pk. Consideremos el número natural p 1 p 2…pk+1. Explicaci ón El teorema de factorización nos dice que este número se puede expresar como producto de primos: p 1 p 2…pk+1= q 1 q 2…qs. Explicación Si despejamos 1, tenemos que 1=q 1 q 2…qs -p 1 p 2…pk, Explicación de lo que se deduce que 1 es divisible por q 1. Esto nos lleva a contradicción. Nota: Hemos demostrado que en la factorización de p 1 p 2…pk+1 no puede aparecer ninguno de los primos p 1, p 2, …, pk. Explicación
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