El estadstico Chicuadrado y contrastes asociados ING RAL

El estadístico Chicuadrado y contrastes asociados ING. RAÚL ALVAREZ GUALE, MPC

Estimación de Intervalos y Prueba de Hipótesis para Varianzas Poblaciones ING. RAÚL ALVAREZ GUALE, MPC

Estimación y prueba de hipótesis de dos medias o proporciones poblacionales Análisis del valor de una varianza poblacional o de la relación entre dos varianzas poblacionales

Ejemplos Conocer el volumen promedio que una máquina llena las botellas de soda puede no ser suficiente para el gerente de producción. La variabilidad del contenido puede ser también de alta importancia: Una alta variabilidad implicará un alto número de botellas con bajo contenido, las cuales producen molestias y reclamos de los clientes; así como un alto número de botellas con exceso de soda, en perjuicio de la empresa. Se requiere controlar tanto la media como la variabilidad del volumen de llenado de las botellas. Un gerente puede requerir conocer si hay diferencias en la variabilidad de las ventas entre dos áreas geográficas distintas. Se puede requerir saber si un proceso genera una producción de mayor variabilidad que otro.

Se presentarán métodos que pueden ser usados para efectuar inferencias respecto de una o dos varianzas poblacionales. Se presentarán dos nuevas distribuciones: Chi-cuadrado F

Objetivos Formular y probar hipótesis para una varianza poblacional Hallar el(los) valor(es) crítico(s) chi-cuadrado(s) de la tabla Chi-cuadrado

Prueba de Hipótesis para Varianzas Prueba para Una Varianza Poblacional Prueba para Dos Varianzas Poblacionales Estadístico de prueba Chi-cuadrado Estadístico de prueba F

Caso de una Varianza Poblacional Los casos que involucran una varianza poblacional emplean uno de dos procedimientos estadísticos: Prueba de hipótesis Estimados de intervalos de confianza El gerente de un banco puede creer que la varianza poblacional del tiempo de servicio al cliente es no mayor a 36 minutos al cuadrado. Se plantea la hipótesis nula que la varianza es mayor o igual a 36 min 2 y, en base a data muestral, se debe estar en capacidad de rechazar o no la hipótesis nula.

Caso de una Varianza Poblacional Un gerente requiere tomar una muestra de los clientes del restaurante para determinar el número de veces al mes que cenan fuera de casa. Para esto requiere determinar el tamaño de la muestra, lo cual depende de la varianza poblacional. Puede tomar una muestra piloto y construir un intervalo de confianza para la estimación de la varianza poblacional.

Lo ideal serían pruebas sobre la desviación estándar, sin embargo no se disponen de las mismas, se debe recurrir a pruebas sobre la varianza para a partir de las mismas inferir sobre la desviación estándar. Interrogantes como ¿σ2 ≤ 36? Pueden analizarse a través de pruebas de hipótesis con los procedimientos llamados Pruebas Chi-cuadrado. Cuando una muestra aleatoria proviene de una población distribuida normalmente, la distribución de la varianza muestral estandarizada es una distribución chi-cuadrado.

Distribución Chi-cuadrada Una variable continua X tiene una distribución chi cuadrada, con v grados de libertad, si su función de densidad es dada por

Teorema

Prueba de Hipótesis para Una Varianza: Estadístico de Prueba Chi-cuadrado El estadístico de prueba chi-cuadrado para una varianza poblacional como se mencionó es: Donde 2 = Variable chi-cuadrada estandarizada n = Tamaño de muestra s 2 = Varianza muestral σ2 = Varianza (supuesto) El estadístico de prueba estandariza la varianza muestral (similar a los estadísticos z y t de los capítulos anteriores)

Gráfico de la Distribución Chi Cuadrado

Hallando el Valor Crítico El valor crítico, , puede obtenerse de la Tabla Chi-cuadrado 2 Prueba Unilateral Derecha: H 0: σ2 ≤ σ02 HA: σ2 > σ02 2 0 No rechazar H 0 2 Rechazar H 0

Distribución Chi-cuadrado La distribución chi-cuadrado es una familia de distribuciones, que depende de los grados de libertad: g. l. = n – 1 Supuesto: La población es normal 0 4 8 12 16 20 24 28 g. l. = 1 2 0 4 8 12 16 20 24 28 g. l. = 5 2 0 4 8 12 16 20 24 28 g. l. = 15 2

Teorema Si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, se puede escribir:

Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chi-cuadrado 1. Formular las hipótesis en términos de s 2 2. Fijar el nivel de significancia 3. Construir la región de rechazo 4. Calcular el estadístico de prueba, 2 5. Tomar una decisión 6. Interpretar los resultados

Hipótesis concernientes a una varianza Hipótesis alternativa Rechazar la hipótesis nula si:

Ejemplo: Solución Hipótesis: H 0: σ2 ≤ 16, HA: σ2 > 16 Región de rechazo: Usar la tabla Chi-cuadrado para hallar el valor crítico: 2 = 24. 9958 ( = 0. 05 y 16– 1=15 g. l. ) 2 = 24. 9958 = 0. 05 2 0 Estadístico de prueba: No rechazar H 0 Rechazar H 0 2 2 Decisión: Como = 22. 5 < 24. 9958 = , no rechazamos H 0 Conclusión: No hay evidencia significativa al nivel = 0. 05 para concluir que la varianza excede a 16 grados 2.

Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chicuadrado: Unilateral y Bilateral Prueba Unilateral Izquierda: Prueba Bilateral: H 0: σ2 σ02 HA: σ2 < σ02 H 0: σ2 = σ02 HA: σ2 ≠ σ02 /2 /2 2 0 Rechazar H 0 No rechazar H 0 21 - 0 Rechazar No rechazar Rechazar H 0 H 0 2 1 - /2 2 /2 ( 2 L) ( 2 U) 2

Ejemplo Una congeladora comercial debe mantener la temperatura seleccionada con poca variación. Las especificaciones indican que la desviación estándar no debe ser mayor a 4 grados (o la varianza a 16 grados 2). Una muestra de 16 datos es evaluada y da una varian za muestral de s 2 = 24. Evalúe si la desviación estándar espe cificada ha sido excedida. Use = 0. 05.

Problema 1

Solución: Problema 1

Solución: Problema 1 Con un nivel de significancia del 5%: No existe evidencia de que la duración de las baterías no sea de un año

Problema 2

Solución: problema 2

Solución: problema 2

Solución: problema 2

Solución Problema 2 Al 10% de nivel de significancia, se rechaza Ho

Hipótesis respecto a varias proporciones

Tabla de varias proporciones Muestra 1 Muestra 2 Muestra k Éxitos Fracasos Total

Problema 3: Material A Desmonorami ento Permanece Intacto Total Material C l. B Total

Solución Problema 3:

Forma resumida de Cálculos Material A Material l. B C Total Desmonoramiento Tabla Real Permanece Intacto Total Material A Desmonoramiento Material B Material C Total Tabla Esperada Permanece Intacto Total

Problema 4: Están en desarrollo cuatro métodos para fabricar discos de un material superconductor. Se elaboran cincuenta discos con cada método y se comprueba su superconductividad cuando se enfrían con nitrógeno líquido: Métod o 1 Método 2 3 4 Total Supercondu ctores Fallas Total Realice una prueba chi cuadrada con un nivel de significancia del 5%. Si hay diferencia significativa entre las proporciones de los superconductores fabricados, grafique los intervalos de confianza.

Solución Problema 4:

Forma resumida de Cálculos Material A Material B Material C Total Desmonoramiento Tabla Real Permanece Intacto Total Material A Desmonoramiento Material B Material C Total Tabla Esperada Permanece Intacto Total

Estimación del Intervalo de Confianza para una Varianza Poblacional

Intervalo de Confianza para σ2 El intervalo de confianza para σ2 es: /2 /2 21 - /2 ( 2 L) 2 /2 ( 2 U) Donde 2 L y 2 U pertenecen a la distribución 2 con n -1 grados de libertad 2

Intervalo de Confianza: Ejemplo Una muestra de 16 datos de una congeladora da una varianza muestral de s 2 = 24. Formar un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional.

Intervalo de Confianza: Ejemplo (Solución) Usar la tabla chi-cuadrado para hallar 2 L y 2 U: ( = 0. 05 y 16 – 1 = 15 g. l. ) /2=0. 025 20. 975 ( 2 L) 6. 2621 20. 025 27. 4884 ( 2 U) Estamos 95% seguros que la varianza poblacional está entre 13. 096 y 57. 489 grados 2. (Tomando la raíz cuadrada, estamos 95% seguros que la desviación estándar poblacional está entre 3. 619 y 7. 582 degrees).

Prueba de Bondad de Ajuste y Análisis de Contingencia

Bondad de Ajuste Distintos procedimientos estadísticos requieren que la data muestral provengan de poblaciones normalmente distribuidas. Cuando se emplea la distribución t en la estimación de intervalos de confianza o en pruebas de hipótesis sobre una o dos medias poblacionales, las poblaciones de interés se asumen normalmente distribuidas. En distintos procedimientos ANOVA se asumen poblaciones normalmente distribuidas.

Bondad de Ajuste ¿Cómo se puede verificar que estos supuestos son satisfechos? En diversas situaciones se requiere conocer si la data muestral proviene o no de una determinada distribución probabilística. ¿Cómo proceder?

Bondad de Ajuste La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado es una prueba estadística que permite determinar si una data muestral proviene o no de una hipotética distribución.

Objetivos Usar la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste para determinar si los datos se ajustan a una distribución específica. Desarrollar una tabla de análisis contingencia y evaluar la independencia a través de la prueba chi-cuadrado.

Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste ¿Los datos de la muestra son coherentes con una distribución supuesta? Ejemplos: ¿Las llamadas al soporte técnico tienden a ser iguales todos los días de la semana? (¿Las llamadas siguen una distribución uniforme? ) ¿Las medidas en un proceso de producción siguen una distribución normal?

Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste (continuación) ¿Las llamadas al soporte técnico tienden a ser iguales todos los días de la semana? (Es decir: ¿Las llamadas siguen una distribución uniforme? ). Para cada día de la semana se tomó una muestra de 10 días: Total de llamadas (muestra): Lunes 290 Martes 250 Miercoles 238 Jueves 257 Viernes Sábado Domingo 265 230 Total = 1722 192

Lógica de la Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste § Si las llamadas estuvieran uniformemente dis-tribuidas, se esperaría que las 1, 722 llamadas se distribuyan equitativamente en los 7 días: § Prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste: Evalúa si los resultados muestrales son consistentes con los resultados esperados. (Es decir, datos observados = datos esperados)

Frecuencias Observadas vs. Esperadas Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sábado Domingo Total Observado oi 290 250 238 257 265 230 192 Esperado ei 246 246 1, 722

Estadístico de prueba chicuadrado H 0: La distribución de llamadas es uniforme respecto a los días de la semana (observado = esperado) HA: La distribución de llamadas no es uniforme El estadístico de prueba es: Donde: k = Número de categorías oi = Frecuencia observada en la categoría i ei = Frecuencia esperada en la categoría i

Región de Rechazo H 0: La distribución de llamadas es uniforme respecto a los días de la semana HA: La distribución de llamadas no es uniforme 0 2 No rechazar H 0 2 Rechazar H 0 (con k-1 grados de libertad) Rechazar H 0 si

Estadístico de Prueba Chi. Cuadrado H 0: La distribución de llamadas es uniforme respecto a los días de la semana HA: La distribución de llamadas no es uniforme 20. 05 = 12. 5916 (gl = k – 1 = 6) = 0. 05 Estadístico de prueba: 0 No rechazar H 0 Rechazar H 0 2 Decisión: Como 2 = 23. 05 > 2 = 12. 5916 entonces se rechaza H 0 Conclusión: Hay suficiente evidencia para concluir que la distribución no sea uniforme

Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste: Pasos 1. Formular hipótesis 2. Fijar el nivel de significancia 3. Determinar el valor crítico 4. Calcular el estadístico de prueba, 2 5. Tomar una decisión 6. Interpretar el resultado

Ejemplo: Distribución Normal ¿Las medidas obtenidas de un proceso de producción siguen una distribución normal con μ = 50 y σ = 15? , = 0. 05. Proceso: Obtener datos muestrales. Agrupar los datos muestrales en clases (celdas). La frecuencia esperada en cada celda debe ser al menos 5. Comparar las frecuencias observadas (datos muestrales) con las frecuencias esperadas.

Ejemplo: Distribución Normal (continuación) Datos muestrales y agrupados en clases: 150 medidas muestrales 80 65 36 66 50 38 57 77 59 …etc… Clase Frecuencia Menos de 30 10 [30 – 40> 21 [40 – 50> 33 [50 – 60> 41 [60 – 70> 26 [70 – 80> 10 [80 – 90> 7 De 90 a más 2 Total 150

Ejemplo: Distribución Normal (continuación) ¿Cuáles son las frecuencias esperadas para las clases si se asume distribución normal con μ = 50 y σ = 15? Clase Frecuencia Observada Menos de 30 10 [30 – 40> 21 [40 – 50> 33 [50 – 60> 41 [60 – 70> 26 [70 – 80> 10 [80 – 90> 7 De 90 a más 2 Total 150 Frecuencia Esperada ?

Ejemplo: Distribución Normal (Frecuencias Esperadas) Clase P(X Є clase) Frecuencia esperada Menos de 30 0. 09121 13. 68 [30 – 40> 0. 16128 24. 19 [40 – 50> 0. 24751 37. 13 [50 – 60> 0. 24751 37. 13 [60 – 70> 0. 16128 24. 19 [70 – 80> 0. 06846 10. 27 [80 – 90> 0. 01892 2. 84 De 90 a más 0. 00383 0. 57 1. 00000 150. 00 Total Frecuencias esperadas para un tamaño muestral n=150 de una distribución normal con μ=50 y σ=15 Ejemplo:

Ejemplo: Distribución Normal (Estadístico de Prueba) Clase Frecuencia observada, oi Frecuencia esperada, ei Menos de 30 10 13. 68 [30 – 40> 21 24. 19 [40 – 50> 33 37. 13 [50 – 60> 41 37. 13 [60 – 70> 26 24. 19 [70 – 80> 10 10. 27 [80 – 90> 7 2. 84 De 90 a más 2 0. 57 150. 00 Total Estadístico de prueba: Rechazar H 0 si (con k – 1 grados de libertad)

Ejemplo: Distribución Normal (Región de Rechazo) H 0: La distribución de las medidas es normal con μ = 50 y σ = 15 HA: La distribución no es normal con μ = 50 y σ = 15 Región de Rechazo: 2 14. 0671 = 0. 05 (7 g. l. , 8 clases) =0. 05 0 Estadístico de prueba: No rechazar H 0 Rechazar H 0 2 Decisión: Como 2 = 12. 097 < 2 = 14. 0671 entonces no se rechaza H 0 Conclusión: No hay suficiente evidencia para concluir que la distribución de las medidas no es normal con μ = 50 y σ = 15

13 -66 Ejemplo: Distribución Normal Importante: En el ejemplo desarrollado, la hipótesis especificaba tanto la media, como la desviación estándar, las probabilidades de la distribución normal se calcularon empleando esos valores. Si la media y/o la desviación estándar no fuesen especificadas, se usarían los datos de la muestra para su cálculo, en cuyo caso se perderían unidades adicionales de grados de libertad, una por cada parámetro estimado a partir de la muestra.

Análisis de Contigencia Se ha visto pruebas de hipótesis referidas a una o dos proporciones poblacionales, ¿Qué de las situaciones que involucran múltiples proporciones poblacionales?

Ejemplos Una compañía de fondos mutuos ofrece 6 tipos diferentes de fondos. Se desea determinar si la proporción de clientes que selecciona cada fondo está vinculada o no a las 4 regiones de venta en que opera la compañía. El administrador de un hospital recolecta data de satisfacción con el servicio de los pacientes a través de ratings por departamento y desea saber si hay diferencias significativas entre los mismos. Un gerente de personal está interesado en determinar si hay una relación entre el nivel de satisfacción del trabajador con su trabajo y el tipo de trabajo. En estos tres casos las proporciones se refieren a características categóricas de la variable de interés.

Análisis de Contingencia El procedimiento estadístico de Análisis de Contingencia puede ser adecuado para la toma de decisiones en contextos de múltiples proporciones, con data de tipo nominal u ordinal y valores determinados por conteo de número de ocurrencias en cada categoría.

Análisis de Contingencia Se aplica en situaciones que involucran propor-ciones poblacionales múltiples. Los datos deben ser categóricos. Usado para clasificar observaciones muestrales de acuerdo a dos o más características. Usa el estadístico Chi-cuadrado para determinar independencia de las características de interés. Los datos son resumidos en una tabla de contingencia (también llamada tabla cruzada).

Análisis de Contingencia: Ejemplo Preferencia manual vs. Género (dos variables), =0. 05. § Preferencia manual: Izquierda vs. Derecha § Género: Masculino vs. Femenino H 0: La preferencia manual es independiente del género HA: La preferencia manual no es independiente del género

Análisis de Contingencia: Ejemplo (continuación) Los resultados muestrales se encuentran organizados en una tabla de contingencia: Preferencia manual Tamaño muestral n =300 De 120 mujeres, 12 son zurdas De 180 hombres, 24 son zurdos Género Izquierda Derecha Femenino 12 108 120 Masculino 24 156 180 36 264 300

Lógica de la Prueba H 0: La preferencia manual es independiente del género HA: La preferencia manual no es independiente del género Si H 0 es verdadera, entonces la proporción de mujeres zurdas debería ser la misma como la proporción de hombres zurdos Las dos proporciones anteriores deberían ser las mismas como la proporción de zurdos (femenino y masculino) del total

Hallando Frecuencias Esperadas De 120 mujeres, 12 son zurdas Total: De 180 hombres, 24 son zurdos P(Zurdos) = 36/300 = 0. 12 Si fueran independientes, entonces P(Zurdas | Femenino) = P(Zurdos | Masculino) = 0. 12 Se esperaría que el 12% de 120 (femenino) y el 12% de 180 (masculino) sean zurdos… Es decir: (120)(0. 12) = 14. 4 mujeres serían zurdas (180)(0. 12) = 21. 6 hombres serían zurdos

Hallando Frecuencias Esperadas (continuación) Frecuencias esperadas: Ejemplo: Total de mujeres Total muestral Total de zurdos Frecuencia esperada de mujeres zurdas

Frecuencias Observadas vs. Esperadas Preferencia manual Género Izquierda Derecha Femenino Observado = 12 Esperado = 14. 4 Observado = 108 Esperado = 105. 6 120 Masculino Observado = 24 Esperado = 21. 6 Observado = 156 Esperado = 158. 4 180 36 264 300

Frecuencias Marginales Una frecuencia marginal es la suma de las celdas de una fila o columna Ejemplo, la frecuencia marginal (femenino) en el estudio fue 12+108=120 La frecuencia marginal esperada para una categoría DEBE SER IGUAL a la frecuencia marginal observada de la misma categoría Es decir, la frecuencia marginal esperada (femenino) en el estudio debe también ser 120

Estadístico de Prueba Chicuadrado El estadístico de prueba Chi-cuadrado es: Donde: oij = Frecuencia observada en la celda (i, j) eij = Frecuencia esperada en la celda (i, j) r = Número de filas c = Número de columnas NOTA: Todas las filas y columnas deben ser usadas

Estadístico de Prueba Chicuadrado (continuación) Preferencia manual Género Izquierda Derecha Femenino Observado = 12 Esperado = 14. 4 Observado = 108 Esperado = 105. 6 120 Masculino Observado = 24 Esperado = 21. 6 Observado = 156 Esperado = 158. 4 180 36 264 300

Análisis de Contingencia Regla de decisión: Si 2 > 3. 841, rechazar H 0; en otro caso, no rechazar H 0 3. 841= 20. 05, g. l. =(r-1)(c-1)=1 = 0. 05 No rechazar H 0 Rechazar H 0 Estadístico de prueba: 0. 7576 Decisión: Como 2 = 0. 7576 < 3. 841, no se rechaza H 0 Conclusión: No hay suficiente evidencia para concluir que el género y la preferencia manual no son independientes 2

Prueba Chi-cuadrado: Consideraciones La distribución chi-cuadrado es solamente una aproximación de la verdadera distribución Pero es aceptable cuando todas las frecuencias esperadas son mayores que o iguales a 5 Cuando las frecuencias son menores que 5, el valor del estadístico de prueba chi-cuadrado podría incrementar la probabilidad del error tipo I Como regla, si la hipótesis nula no es rechazada, acepte el resultado así se tenga celdas con frecuencias esperadas menores a 5. 9. Si las frecuencias esperadas son pequeñas: Primero, incrementar el tamaño muestral Si es necesario, combinar las categorías de las variables

Resumen n n Se usó la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste para determinar si los datos se ajustan a una distribución específica: n Ejemplo de una distribución uniforme (discreta) n Ejemplo de una distribución normal (continua) Se usó la prueba chi-cuadrado en tablas de contingencia para evaluar independencia (análisis de contingencia) n Se comparó las celdas de frecuencias observadas con las esperadas.

Gracias