El concepto de Computabilidad y la Mquina de

El concepto de Computabilidad y la Máquina de Turing Introducción a la Ingeniería en Computación UTM Ing. Moisés E. Ramírez G. MERG

Alan Turing (1912 -1954) n Una pregunta acechaba a Turing, y era el hecho de que: ¿Debe existir al menos en principio algún método definido, o proceso mediante el cual toda cuestión matemática pueda ser demostrada? (entscheidugsproblem) n Para contestar a esta pregunta necesitaba una definición del concepto método, y para ello analizó que era lo que hacía una persona para transformar un proceso metódico, y buscar una forma de hacer esto mecánicamente. Expresó el analisis en términos de una máquina teórica que sería capaz de transformar con precisión operaciones elementales previamente definidas en símbolos en una cinta de papel. En Agosto de 1936 presenta el concepto final de la Maquina de Turing en su artículo On Computable Numbers (1936). n En este artículo determinó la naturaleza y las limitaciones teóricas de las máquinas lógicas antes de que se construyera siquiera una sencilla computadora por completo programable MERG 2

n En Princeton, desarrolló una máquina de cifrado, y estudió sobre este campo debido a la utilidad de ello en la Guerra con Alemania. n Trabajando secretamente para el Colegio de Cifrado y Código Gubernamental o también llamado Departamento de Criptoanálisis. Turing fue reclutado por Inglaterra, en Bletchley Park, para descifrar los mensajes que componía la máquina alemana Enigma, y, como consecuencia, los aliados construyeron la máquina Colossus. n Es en este periodo cuando toma contacto con la más avanzada tecnología electrónica de la época y planea la Máquina de Turing Universal en su forma electrónica, de hecho había inventado las computadoras digitales. MERG 3

n En 1950, Turing publica el artículo Computing Machinery and Intelligence en la revista Mind, en el que introducía el célebre Test de Turing. Este artículo estimuló a los pensadores sobre la filosofía e investigación en el campo de la Inteligencia Artificial. n Turing tuvo la visión de una computadora con memoria que implementaría las funciones aritméticas mediante programación en vez de con componentes electrónicos, y que podría desempeñar todo tipo de tareas (por ejemplo, manejo de archivos, álgebra, jugar ajedrez, encriptamiento, etc. ) Hacia 1947, concibió la idea de las redes de cómputo y el concepto de subrutina y biblioteca de software. n En vez de publicar los principios fundamentales de cómputo que había descubierto, se dedicó a estudiar fisiología y neurología, y en un reporte interno del NLP (Laboratorio Nacional de Física, Inglaterra) de esa época, describe las ideas básicas de lo que hoy se conoce como una red neuronal. MERG 4

Test de Turing n En 1950, Alan Turing publicó en la revista Mind el artículo Computing Machinery and Intelligence en el que introducía el concepto de Test de Turing. n Este artículo puede considerarse el precursor de muchos de los desarrollos actuales en el campo de la Inteligencia Artificial. n El test consistía en juzgar el nivel de inteligencia de una máquina. Se supone un juez situado en una habitación, y una máquina y un ser humano en otras. El juez debe descubrir cuál es el ser humano y cuál es la máquina, estándoles a los dos permitidos mentir al contestar por escrito las preguntas que el juez les hiciera. La tesis de Turing es que si ambos jugadores eran suficientemente hábiles, el juez no podría distinguir quién era el ser humano y quién la máquina. MERG 5

¿Qué es computabilidad? n Consiste en ser capaz de encontrar la representación adecuada para la descripción de un problema o fenómeno. n Para tal representación es necesario: q q Un conjunto finito de símbolos. Hacer asociaciones entre conceptos y elementos del lenguaje (de símbolos) Encontrar las combinaciones adecuadas de símbolos para evitar ambigüedad. Definir una manera de confirmar tal descripción para que terceros puedan reproducirla y llegar a los mismos resultados. MERG 6

El concepto de modelo n Modelo: es una especificación, generalmente en términos de un lenguaje matemático, de los pasos necesarios para reproducir un subconjunto determinado de la realidad. La representación del modelo surge siempre a partir de su descripción. n ¿Es posible siempre pasar de la descripción de un modelo a su representación? ¿Todo lo que es descriptible puede ser representable? q Aparentemente la exactitud de la descripción hace depender a la exactitud de la representación. q Existen procesos que pueden ser descritos con gran exactitud, pero su representación o modelado no es posible. MERG 7

Teoría de la computabilidad n La Teoría de la Computabilidad consiste en encontrar maneras de representar descripciones de procesos, de tal manera que se pueda asegurar si existe o no una representación. n Se dice que un algoritmo es una manera formal y sistemática de representar la descripción de un proceso. MERG 8

La máquina de Turing* n n En el artículo On Computable Numbers, Turing construyó un modelo formal de computador, la Máquina de Turing, (con esto resolvió el entscheidungsproblem (planteado por, David Hilbert) y demostró que había problemas tales que una máquina no podía resolver. La máquina de Turing es el primer modelo teórico de lo que luego sería un computador programable. Con el tiempo a este tipo de máquina se la conoció como máquina de estado finito, debido a que en cada etapa de un cálculo, la siguiente acción de la máquina se contrastaba con una lista finita de instrucciones de estado posibles. * La “máquina” no se debe confundir con un aparato físico. Se trata más bien de una construcción matemática. MERG 9

Componentes de la máquina de Turing n Una cinta de longitud infinita dividida en celdas (cada celda puede tener solamente un símbolo tomado de un diccionario de símbolos predefinido). n Un control finito que tiene la capacidad de examinar el algún símbolo de alguna celda y tomar una decisión que depende del símbolo observado y del estado en que se encuentre el control finito. El control es finito porque puede estar solamente en alguno de los estados posibles, habiendo solamente un número finito de ellos. n Se supone un diccionario de símbolos finto. MERG 10

S 1 S 3 S 7 S 8 S 98 S 49 S 23 S 89 S 64 S 2 S 4 S 9 . . . Control Finito n Se puede observar la cinta de longitud infinita, que en este caso se encuentra en la primera celda de la cinta con el símbolo S 1. n Se debe entender a la máquina como un ser vivo que reacciona de maneras preestablecidas ante estímulos provenientes del exterior (en este caso la cinta). n Un estímulo lo será si ocurren dos sucesos: q Que el control finito se encuentre en cierto estado E 1 q En la celda actual existe un símbolo S 1 MERG 11

n Entonces la máquina reaccionará a este estímulo que consistirá en: q q q Pasará a un nuevo estado (puede ser el mismo que tenía antes). Escribirá un nuevo símbolo en el lugar recién leído (puede ser el mismo que el anterior). Moverá el control finito una celda a la derecha (D) o a la izquierda (I). Estímulos Reacciones Estado actual Símbolo Actual Estado Nuevo Símbolo Nuevo Movimiento E 1 S 1 E 2 S 4 I E 3 S 6 E 1 S 4 D . . . . MERG 12

Ejemplo de una MT n Estado Actual Simbolo Actual Nuevo Estado Nuevo Símbolo Mov. del control E 0 0 E 1 X D E 0 1 E 6 1 D E 1 0 D E 1 Y D E 1 1 E 2 Y I E 2 X E 3 X D E 2 0 E 4 0 I E 3 Y D E 3 B E 5 Z I E 3 1 E 6 1 D E 4 0 I E 4 X E 0 X MERG D n n n La máquina tiene 7 estados. Los estados finales son E 5 y E 6, el estado final es E 0. Maneja 6 símbolos: 0, 1, X, Y, Z, B El objetivo de este problema es darse cuenta de que es posible programar la máquina para que se comporte de tal forma que pueda lograr algún fin previsto. Esto es la representación de algún proceso que fue adecuadamente codificado en la máquina. El resultado final de la máquina será un conjunto de celdas que tendrán la solución encontrada. 13

Qué pasa en la siguiente cinta 0 0 1 1 B B … Ctrl . Estado Actual E 0 Cinta Actual Cinta Modificada 0011 BB X 011 BB E 1 X 011 BB E 2 … … MERG 14

Al número le resta 1 0111 D 2) 0 0 2 0 D 3) 1 0 2 0 D 4) 1 1 D 5) 1 _ 3 _ I 6) 2 0 D 7) 2 1 1 1 D 8) 2 _ 3 _ I 9) 3 0 3 1 I 10) 3 1 F 0 I n Cinta 1010__ 1) n 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) n n MERG Complemento a 2 x_0_D x 100 D x 001 D 0100 D 0_1_I 10 F 1 D 1110 I 1_F 1 D Cinta _1010__ 15

n . Complemento a 2 n 1) 0_1_D 0011 D 0110 D 1011 D 1_2_I 20 F 1 I 2120 I 2_F 1 I 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Cuenta los unos 14) I_0_D 0000 D 0110 D 0_F_D 1111 D 1010 D 1_2_D 2121 D 2_31 I 3131 I 3_4_I 4040 I 4141 I 4_0_D n Cinta n Inicio: I Fin: F 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) n n n Edo. I=0 Edo. F=F Cadenas: _011010__ n MERG _1010______ 16