El argumento original de Lucas De qu manera

El argumento original de Lucas

¿De qué manera se pueden determinar las fórmulas que componen una teoría T? A es una verdad de T A es teorema de T

1. No se dispone de una prueba que garantice que toda verdad de T es un teorema de T 2. Se dispone de una demostración que establece que la supoción de que toda verdad de T es un teorema de T conduce a contradicción. 3. Disponemos de una demostración que establece la existencia de una fórmula A que es una verdad de T pero que no es un teorema de T

Reinterpretación del Punto Fijo G de Gödel 1. La verdad de G se establece mediante un argumento racional en el que se determina igualmente que G no es un teorema de T (PA, en este caso) 2. G puede añadirse a T (PA), pero el argumento se reproduce para un enunciado G’. 3. No hay una teoría T’ con mayor potencia que T (PA) en la que la situación se resuelva

Análisis del enunciado G Premisa principal: PA G ¬Bew(G) Hipótesis: ¿ PA G? o ¿ PA ¬G?

G no es demostrable en PA 1. PA G ¬Bew(G) 2. PA G Hyp 3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2 4. PA Bew(G), 5. , 6. No ocurre que PA G, por 2 y el significado de Bew(. ) por 3 y 4 reductio 2 -5

¬G no es demostrable en PA 1. PA G ¬Bew(G) 2. PA ¬G 3. PA Bew(G), 4. PA y Prov(y, G), 5. PA G, Hyp por 1 y 2 por 3 por -consistencia

-Consistencia: Una teoría T es -consistente syss no se da el caso de que todas las fórmulas en { x , (x/a 1), (x/a 2), . . . (x/ai), . . . } sean teoremas de T.

¬G no es demostrable en PA 1. PA G ¬Bew(G) 2. PA ¬G 3. PA Bew(G), 4. PA y Prov(y, G), 5. PA G, 6. , 7. No ocurre que PA ¬G, Hyp por 1 y 2 por 3 por -consistencia por 2 y 5 reductio 2 -6

Argumento de Lucas (argumento mirabilis): 1. La demostración anterior establece que ni G, ni su negación ¬G son demostrables en PA 2. No hemos cambiado de teoría de modelos, por tanto, una de las dos ha de ser verdadera 3. Advertimos, por simple inspección, que G es la verdadera 4. Sin embargo, 3 no se puede representar en PA

Por tanto, 5. Disponemos de medios objetivos que permiten aceptar enunciados que no pueden ser generados en el interior de ningún sistema de reglas

Rectificación del argumento de Lucas Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente, entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su negación, son demostrables en PA.

1. PA G ¬Bew(G) 2. PA G Hyp 3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2 4. PA Bew(G), 5. , 6. No ocurre que PA G, por 2 y el significado de Bew(. ) por 3 y 4 reductio 2 -5

1. PA G ¬Bew(G) 1’. PA es Consistente, Hyp 2. PA G Hyp 3. PA ¬Bew(G), por 1 y 2 4. PA Bew(G), 5. , 6. No ocurre que PA G, por 2 y el significado de Bew(. ) por 3 y 4 reductio 2 -5 7. PA es Consistente No ocurre que PA G, introd. del condicional

El enunciado cuya verdad advertimos no es G Sino, PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable

Pero, PA es Consistente No ocurre que G sea demostrable Es demostrable en PA: PA Con(PA) ¬Bew(G) De hecho, constituye la prueba de. . .

Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.