Eksponentvrratused T Lepikult 2003 Eksponentvrratuste lahendamine Eksponentvrratuses esineb

Eksponentvõrratused © T. Lepikult, 2003

Eksponentvõrratuste lahendamine Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes eksponentfunktsiooni astendajas. Lahendamisel kasutatakse eksponentfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest väiksema aluse korral kahanev. y y = (1/2) x y = 2 x 8 5 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ax < b. (2) ja Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad.

Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui a > 1, siis on võrratus ax > b täidetud kui x > logab, võrratus ax < b aga juhul kui x < logab. b) juhul kui 0 < a < 1, siis on võrratus ax > b täidetud kui x < logab, võrratus ax < b aga juhul kui x > logab. a>1 b 1 logab 0 x y b 1 logab 0 y = ax , 0 < a < 1 x

Järeldus eksponentfunktsiooni monotoonsusest Eksponentvõrratus on a > 1 korral samaväärne võrratusega 0 < a < 1 korral aga võrratusega

Ülesanne 1 (I) Lahendada võrratus Lahendus Kirjutame paremal pool võrratusmärki oleva arvu 729 arvu 3 astmena: Lahendatava võrratuse saame nüüd ümber kirjutada nii: Kuna 3 > 1, siis eelmisel slaidil oleva järelduse tõttu saame lahendatava eksponentvõrratusega samaväärse ruutvõrratuse:

Ülesanne 1 (II) Ruutvõrratuse lahendihulgaks on lõik See on ka ülesandeks oleva eksponentvõrratuse lahendihulgaks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk

Ülesanne 2 (I) Lahendada eksponentvõrratus Lahendus Kirjutame kummalgi pool võrratusmärki olevad eksponentavaldised arvu 2 astmena: vasak pool: parem pool: Esialgne võrratus on seega samaväärne järgnevaga:

Ülesanne 2 (II) Astme alus (2) on ühest suurem, ja eksponentfunktsiooni omaduse tõttu on see võrratus samaväärne võrratusega Viimase ruutvõrratuse lahendamiseks leiame esmalt ruutvõrrandi lahendid: Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb vastav ruutparabool üles. Võrratuse y lahendihulgaks on funktsiooni y = x 2 - x - 2 positiivsuspiirkond: -1 2 x

Ülesanne 2 (III) Sama arvuhulk on ka esialgse eksponentvõrratuse lahendiks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk

Ülesanne 3 (I) Lahendada eksponentvõrratus Lahendus Läheme eksponentliikmetes üle alusele 4: Esialgne võrratus osutub samaväärseks järgnevaga: Kui teha asendus ( t > 0), saame viimasest eksponentvõrratusest ruutvõrratuse:

Ülesanne 3 (II) (1) Vastava ruutvõrrandi lahendid on Võrratus (1) on teisiti esitatav kujul (2) Kuna t = 4 x > 0, siis ka t + 3 > 0 ja võrratus (2) on täidetud kui ka tegur t – ½ on positiivne:

Ülesanne 3 (III) Asendades tagasi t = 4 x , saame lihtsaima eksponentvõrratuse mille lahendiks saame vastava valemi abil VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk